二次函数与一元二次方程的联系课件-湘教版（2012）数学九年级下册

第1页：封面标题：1.4二次函数与一元二次方程的联系副标题：湘教版九年级数学下册配图：平面直角坐标系中抛物线\(y=x^2-2x-3\)与x轴交于(-1,0)、(3,0)，标注方程\(x^2-2x-3=0\)的根，用虚线连接交点与根的对应关系落款：授课教师/日期第2页：学习目标知识与技能理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程根的关系，掌握“图象法”求方程近似根的方法能通过一元二次方程的判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数，反之亦然能运用二者的联系解决函数与方程的综合问题及简单实际问题过程与方法通过“图象观察—代数推导—归纳验证”，经历从“形”（函数图象）到“数”（方程根）的转化过程强化数形结合思想与转化思想，提升分析问题和解决综合问题的能力情感态度感受数学知识的内在统一性，体会“形数结合”的直观性与简便性，增强运用数学知识解决综合问题的信心第3页：复习回顾——衔接旧知回顾提问二次函数一般式为\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)），其图象与y轴的交点坐标是什么？（\((0,c)\)）一元二次方程的一般形式是\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），如何判断它的根的情况？（用判别式\(\Delta=b^2-4ac\)：\(\Delta＞0\)有两个不相等实根；\(\Delta=0\)有两个相等实根；\(\Delta＜0\)无实根）抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与x轴的交点满足什么条件？（当\(y=0\)时，\(x\)的值即为交点横坐标）情境引入我们知道抛物线与x轴的交点横坐标需满足\(y=0\)，而\(y=0\)时的式子正是一元二次方程。这两个看似独立的知识之间是否存在必然联系？今天我们就来探究“二次函数与一元二次方程的联系”。第4页：探究1——核心联系：交点横坐标与方程的根以二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）和一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）为例：图象观察与代数分析从“形”的角度：二次函数图象与x轴的交点，本质是当函数值\(y=0\)时对应的点，其横坐标记为\(x_0\)，即\((x_0,0)\)在抛物线上从“数”的角度：将\((x_0,0)\)代入二次函数表达式，得\(ax_0^2+bx_0+c=0\)，这说明\(x_0\)是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根核心结论二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与x轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的实数根反之，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的实数根，就是对应的二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与x轴交点的横坐标即时验证抛物线\(y=x^2-2x-3\)与x轴交于(-1,0)和(3,0)，方程\(x^2-2x-3=0\)的根为\(x_1=-1\)、\(x_2=3\)，二者完全对应；抛物线\(y=x^2-4x+4\)与x轴交于(2,0)（唯一交点），方程\(x^2-4x+4=0\)的根为\(x_1=x_2=2\)（相等实根），对应关系成立。第5页：探究2——判别式的桥梁作用：交点个数与根的情况结合判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，分析抛物线与x轴的交点个数：分情况讨论（\(a≠0\)）判别式\(\Delta\)的取值一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根的情况二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与x轴的交点个数图象示意（以\(a＞0\)为例）\(\Delta＞0\)两个不相等的实数根\(x_1\)、\(x_2\)2个交点（\((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)）抛物线开口向上，与x轴相交于两点\(\Delta=0\)两个相等的实数根\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)1个交点（顶点在x轴上，\((x_1,0)\)）抛物线开口向上，顶点恰好落在x轴上\(\Delta＜0\)没有实数根0个交点（抛物线与x轴无交点）抛物线开口向上，整体在x轴上方逆向应用若抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与x轴有两个不同交点，则\(\Delta＞0\)，方程有两个不相等实根；若抛物线与x轴只有一个交点，则\(\Delta=0\)，方程有两个相等实根；若抛物线与x轴无交点，则\(\Delta＜0\)，方程无实根。例题验证已知二次函数\(y=-2x^2+x+3\)，计算\(\Delta=1^2-4×(-2)×3=1+24=25＞0\)，抛物线与x轴有两个交点，对应方程\(-2x^2+x+3=0\)的根为\(x_1=-1\)、\(x_2=\frac{3}{2}\)，符合规律。第6页：探究3——图象法求一元二次方程的近似根当方程的根不易直接求解时，可通过函数图象估计根的近似值：方法步骤第一步：将方程转化为对应的二次函数（如方程\(x^2-2x-1=0\)转化为函数\(y=x^2-2x-1\)）；第二步：在平面直角坐标系中画出该函数的图象；第三步：找到图象与x轴交点的大致位置，估计交点横坐标的取值范围；第四步：在取值范围内取更精确的x值，计算对应的y值，当y值接近0时，对应的x值即为方程的近似根。实例演示求方程\(x^2-3x+1=0\)的近似根（精确到0.1）：①

对应函数\(y=x^2-3x+1\)；②

画图发现图象与x轴交于(0.4,0)和(2.6,0)附近；③

计算\(x=0.3\)时\(y=0.09-0.9+1=0.19\)，\(x=0.4\)时\(y=0.16-1.2+1=-0.04\)，故一个根在0.3~0.4之间，更接近0.4；④

同理可得另一个根约为2.6。注意事项：图象画得越精确，估计的近似根越准确；可通过“夹逼法”缩小取值范围，提升精度。第7页：典例精析例题1：判别式的综合应用已知二次函数\(y=kx^2-6x+3\)（\(k≠0\)），回答下列问题：（1）当k为何值时，抛物线与x轴有两个不同的交点？（2）当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点？此时交点坐标是什么？（3）当k为何值时，抛物线与x轴无交点？解答：（1）抛物线与x轴有两个不同交点，则\(\Delta＞0\)且\(k≠0\)：\(\Delta=(-6)^2-4×k×3=36-12k＞0\)，解得\(k＜3\)且\(k≠0\)；（2）抛物线与x轴只有一个交点，则\(\Delta=0\)且\(k≠0\)：\(36-12k=0\)，解得\(k=3\)；此时函数为\(y=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\)，交点坐标为(1,0)；（3）抛物线与x轴无交点，则\(\Delta＜0\)且\(k≠0\)：\(36-12k＜0\)，解得\(k＞3\)。例题2：函数与方程的逆向求解已知二次函数\(y=x^2+bx+c\)的图象与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，求b、c的值及函数的最小值。解答：∵图象与x轴交于(1,0)、(3,0)，∴方程\(x^2+bx+c=0\)的根为\(x_1=1\)、\(x_2=3\)；由根与系数的关系（韦达定理）：\(1+3=-b\)，\(1×3=c\)，解得\(b=-4\)，\(c=3\)；函数表达式为\(y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)，当\(x=2\)时，\(y\)有最小值\(-1\)。第8页：课堂练习基础题：已知二次函数\(y=2x^2-4x-6\)，（1）求其与x轴的交点坐标；（2）判断方程\(2x^2-4x-6=0\)的根的情况（答案：（1）(-1,0)、(3,0)；（2）\(\Delta=16+48=64＞0\)，有两个不相等实根）提升题：已知二次函数\(y=mx^2+(m-2)x-2\)的图象与x轴有交点，求m的取值范围（答案：当\(m=0\)时，函数为一次函数\(y=-2x-2\)，与x轴交于(-1,0)；当\(m≠0\)时，\(\Delta=(m-2)^2+8m=(m+2)^2≥0\)，故m为任意实数）拓展题：用图象法估计方程\(x^2-2x-2=0\)的正根（精确到0.1，答案：约2.7）第9页：课堂小结知识梳理（思维导图）：二次函数与一元二次方程的联系→

核心对应（交点横坐标↔方程实根）→

判别式关联（\(\Delta\)→交点个数/根的情况）→

应用（图象法求近似根、综合计算、实际问题）核心结论：二者联系的本质是“\(y=0\)”的桥梁作用，实现“形”（函数图象交点）与“数”（方程根）的转化；判别式是连接二者的关键工具，可双向判断交点个数与根的情况；图象法是求解方程近似根的重要手段，体现数形结合的直观优势。第10页：作业布置基础作业：教材P42第1、3题（判别式应用+交点与根的对应）提升作业：已知二次函数\(y=-x^2+2x+m\)的图象与x轴交于两点A、B，且AB=4，求m的值实践作业：在平面直角坐标系中画出函数\(y=x^2-5x+4\)的图象，标出与x轴的交点，写出对应方程\(x^2-5x+4=0\)的根，并验证二者的对应关系2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师：

.班级：

.

时间：

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1.4二次函数与一元二次方程的联系第1章

二次函数aiTujmiaNg(1)一次函数

y＝x＋2的图象与

x轴的交点为(

，

)，

一元一次方程

x＋2＝0的根为________.(2)一次函数

y＝－3x＋6的图象与

x轴的交点为(，)，

一元一次方程

－3x＋6＝0的根为_______.问题一次函数

y＝kx＋b的图象与

x

轴的交点与一元一次方程

kx＋b＝0

的根有什么关系？一次函数

y＝kx＋b

的图象与

x

轴的交点的横坐标就是一元一次方程

kx＋b＝0

的根.

复习引入－20－2202那么二次函数与一元二次方程有什么关系呢，接下来我们一起探讨.探究问题1画出二次函数

的图象：

你能从图象中看出它与

x轴的交点吗？(-1,0)与

(3,0)(-1,0)(3,0)一二次函数与

x轴的交点与一元二次方程的根的关系问题2二次函数

y=x2-2x-3与一元二次方程

x2-2x-3=0又有怎样的关系？

当

x

=

-1时，y=0，即

x2-

2x

-3

=0，也就是说，x=-1是一元二次方程

x2-2x-3=0的一个根；同理，当

x

=

3时，y=0，即

x2-

2x

-

3

=

0，也就是说，x

=

3是一元二次方程

x2-

2x

-3

=

0的一个根.知识要点

一般地，如果二次函数

y

=

ax2+bx+c的图象与

x轴有两个交点(

x1，0)，(

x2，0)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根

x1，x2.1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1问题3观察图象，完成下表：抛物线与

x轴交点个数交点的横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋90个2个重合的点x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3二次函数y=ax2+bx+c的图象与

x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac

=0没有交点没有实数根b2-4ac＜0

二次函数

y=ax2+bx+c与

x轴交点与一元二次方程

ax2+bx+c=0根的关系知识要点典例精析例1

二次函数

y＝kx2－6x＋3的图象与

x轴有交点，则

k的取值范围是(

)A．k＜3B．k＜3且

k≠0C．k≤3D．k≤3且

k≠0D1.若二次函数

y

=

ax2

+

b的图象经过点(-2，0)，则关

于

x

的方程

a(

x

-

2)2

+

b

=

0

的实数根为(

)A．x1

=

0，x2

=

4 B．x1

=

-2，x2

=

6C．x1

=，x2

=D．x1

=

-4，x2

=

0针对训练A

例2求一元二次方程的根的

近似值(精确到

0.1).分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线

y=x²-2x-1与

x

轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与

x

轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.典例精析利用二次函数确定一元二次方程的近似根解：画出函数y=x²-2x-1的图象(如下图)，由图象可知，方程有两个实数根，一个在

-1

与

0

之间，另一个在

2

与

3

之间.先求位于

-1到0之间的根，由图象可估计这个根是

-0.4或

-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当

x分别取

-0.4和

-0.5时，对应的

y由负变正，可见在

-0.5与

-0.4之间肯定有一个

x使

y=0，即有

y

=

x2-

2x

-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取

x

=

-0.4或

x

=

-0.5都符合要求.但当

x

=

-0.4时更为接近0.故

x1≈

-0.4.同理可得另一近似值为

x2≈2.4.例3如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线

运行，其中

x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅

球离地面的高度.用二次函数与一元二次方程的关系

解决实际问题典例精析解：(1)由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.(1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得

即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.(3)由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.(3)铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.

判断方程

ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解

x的范围是(

)

A.3＜

x

＜3.23B.3.23＜

x

＜3.24C.3.24＜

x＜3.25D.3.25＜

x＜3.26

x3.233.243.253.26y

=

ax2+

bx

+

c-0.06-0.020.030.09C1.根据下列表格的对应值:2．若二次函数

y

=

-x2+

2x

+

k的部分图象如图所示，且关于

x的一元二次方程

-x2+

2x

+

k

=

0

的一个解

x1=3，则另一个解

x2=

；-1yOx133.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是

x1=－2，x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与

x轴的交点坐标是(-2，0)、(，0)

.4.

若一元二次方程无实根，则抛物线位于（）A.

x

轴上方B.

第一、二、三象限C.

x

轴下方D.第二、三、四象限A5.已知二次函数

的图象，利用图象回

答问题：

(1)方程

的解是什么？

(2)x取什么值时，y＞0

？

(3)x取什么值时，y＜0

？xyO248解：(1)x1=2，x2=4；(2)x＜2或

x＞4；(3)2＜

x＜4.6.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面

米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．

(1)建立如图所示的平面直角坐

标系，问此球能否准确投中？

解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为

A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中

B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为

y＝a(x－h)2＋k，将点

A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点

C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点

C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽

拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否

获得成功？(2)将

x＝1代入函数关系式，得

y＝3.

因为3.1＞3，

所以盖帽能获得成功．返回B1．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为(

)A．直线x＝－4 B．直线x＝4C．直线x＝1 D．直线x＝－12．下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值：则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0.1)的是(

)A．3.0

B．3.1C．3.2

D．3.3C返回x…0.70.80.91.0…y…0.300.05－0.18－0.39…返回D【点拨】∵二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点为(1，0)，易得对称轴为直线x＝－1，∴二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(－3，0)．∴方程ax2＋2ax＋c＝0(a≠0)的解为x1＝1，x2＝－3.【答案】C返回5.已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则x1，x2，x3，x4的大小关系为___________．(用“<”连接)返回x1<x3<x4<x21，0，－1，2返回7.

我们规定形如y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的函数叫作“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x<1或x>3；③当k<1时，关于x的方程|x2－4x＋3|＝k有四个实数解；④当x<1时，函数y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的y值随x值的增大而减小．其中正确的是________．(填序号)①【点拨】根据函数的特征可知图象关于直线x＝2对称，故①正确，符合题意；由“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象可知，当x≠1且x≠3时，图象位于x轴上方，∴关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x≠1且x≠3，故②错误，不符合题意；当x＝2时，y＝|x2－4x＋3|＝1，由题图可得，当0<k<1时，关于x的方程|x2－4x＋3|＝k有四个实数解，故③错误，不符合题意；返回由题图可知，函数y＝|ax2＋