2025年统计学专业期末考试：抽样调查方法与样本估计误差试题

2025年统计学专业期末考试：抽样调查方法与样本估计误差试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.从一个包含N个单位的总体中，按完全随机的方式抽取n个单位构成样本，使得每个样本都有相同的被抽中概率的抽样方法是（）。A.系统抽样B.分层抽样C.整群抽样D.简单随机抽样2.在抽样调查中，由抽样引起的、样本统计量与总体参数之间存在的随机误差称为（）。A.登记误差B.系统性误差C.抽样误差D.测量误差3.当总体单位数N很大时，不重复抽样与重复抽样的抽样平均误差（）。A.完全相等B.不重复抽样的大于重复抽样C.不重复抽样的小于重复抽样D.可能相等也可能不等4.在其他条件不变的情况下，提高抽样比例（即样本量n增大），重复抽样的抽样平均误差（）。A.不变B.增加C.减少D.可能增加也可能减少5.对于一个总体，若要估计其均值μ，需要构造一个区间，使得这个区间以一定的概率包含总体均值μ，这种估计方法称为（）。A.点估计B.区间估计C.参数估计D.统计推断二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）6.在分层抽样中，为获得最低的抽样平均误差，各层样本量的分配应遵循_________原则。7.抽样极限误差Δ等于抽样平均误差μ乘以_________。8.在整群抽样中，抽样单位是_________。9.影响抽样误差大小的因素主要有：抽样方法、样本容量n以及_________。10.当总体方差未知时，对总体均值μ进行区间估计通常使用_________分布。三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。）11.某城市有100万户家庭，欲采用简单随机抽样方式抽取500户家庭进行家计调查。已知以往资料表明家庭月收入的方差约为σ²=5000元²。试计算重复抽样下样本平均收入的抽样平均误差。12.某农场种植1000亩小麦，为估计其亩产量，按简单随机抽样方式抽取100亩进行实割实测，得到样本平均亩产量为450公斤，样本标准差为50公斤。假定抽样是重复进行的，试计算样本平均亩产量的抽样平均误差，并构造95%的置信区间（已知95%置信水平对应的标准正态分布分位数z₀.₀二五约为1.96）。13.欲对某校学生的视力状况进行抽样调查，已知该校有学生5000人，学生视力不良的比例p估计在10%左右，要求抽样极限误差Δp控制在0.05以内，置信水平为95%（z₀.₀二五=1.96）。若采用不重复抽样，试问至少需要抽取多少名学生？14.某工厂生产一种零件，为检查产品质量，采用整群抽样方法。将零件按生产时间每200件分为一群，随机抽取了5群，对抽中的群中的所有零件进行检验。检查结果如下（单位：合格率）：群1（95%）、群2（90%）、群3（85%）、群4（88%）、群5（92%）。试估计该厂零件的平均合格率，并计算抽样平均误差。（假设群内方差较大，群间合格率方差σ_p²可近似用样本群间方差估计，且抽样是重复的）。四、简答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分。）15.简述分层抽样与整群抽样的主要区别、优缺点及适用条件。16.影响抽样误差大小的因素有哪些？试结合简单随机抽样和分层抽样，说明如何通过抽样设计来控制或减小抽样误差。试卷答案一、选择题1.D2.C3.C4.C5.B二、填空题6.最优分配（或尼曼分配）7.置信系数（或临界值）8.群9.总体方差（或总体标志变异程度）10.t三、计算题11.解：采用重复抽样，样本平均数的抽样平均误差计算公式为：μ_x=σ/sqrt(n)已知：σ²=5000元²,n=500μ_x=sqrt(5000)/sqrt(500)=70.71/22.36≈3.16元答：重复抽样下样本平均收入的抽样平均误差约为3.16元。12.解：重复抽样，样本平均数的抽样平均误差计算公式为：μ_x=σ/sqrt(n)已知：σ=50公斤,n=100μ_x=50/sqrt(100)=50/10=5公斤构造95%置信区间：x̄±z_(α/2)*μ_x=450±1.96*5=450±9.8答：样本平均亩产量的抽样平均误差为5公斤，95%的置信区间为（440.2公斤，459.8公斤）。13.解：不重复抽样，样本比例的抽样平均误差计算公式为：μ_p=sqrt[p(1-p)/n*(N-n)/N]要求：Δp=1.96*μ_p,p≈0.1,N=5000Δp=1.96*sqrt[0.1(1-0.1)/n*(5000-n)/5000]0.05=1.96*sqrt[0.09/n*(5000-n)/5000]0.05=1.96*sqrt[0.00009*(5000-n)/n]0.05²=3.8416*0.00009*(5000-n)/n0.0025=0.000346744*(5000-n)/n0.0025n=0.000346744*(5000-n)0.0025n=1.73372-0.000346744n0.0025n+0.000346744n=1.733720.002846744n=1.73372n≈1.73372/0.002846744≈610.6因为n和N都是整数，n需至少取611。答：至少需要抽取611名学生。14.解：整群抽样（重复），样本平均数的抽样平均误差计算公式为：μ_x=sqrt[σ̂²/r*(R-r)/R]其中：σ̂²=sum[(x_i-x̄̄)²]/(r-1)已知：R=2000/200=10(群数),r=5,x̄̄=(95+90+85+88+92)/5=89.6σ̂²=[(95-89.6)²+(90-89.6)²+(85-89.6)²+(88-89.6)²+(92-89.6)²]/(5-1)σ̂²=[5.76+0.16+21.16+2.56+5.76]/4=35.2/4=8.8μ_x=sqrt[8.8/5*(10-5)/10]=sqrt[1.76*5/10]=sqrt[0.88]≈0.938平均合格率估计值：x̄̄=89.6%答：该厂零件的平均合格率估计为89.6%，抽样平均误差约为0.938（或93.8%）。四、简答题15.答：区别：抽样单元不同：分层抽样先将总体分成互不重叠的层，再在各层内抽取样本；整群抽样是将总体分成互不重叠的群，再随机抽取群，调查抽中群的所有单位。目的不同：分层抽样旨在利用层内同质性、层间差异性来提高估计精度；整群抽样旨在方便组织、降低成本。误差不同：分层抽样若分层合理，误差通常小于简单随机抽样；整群抽样因群内同质性相对较差，误差通常大于简单随机抽样。适用条件：分层抽样适用于总体结构较清楚、各层内部同质性强、层间差异大的情况。整群抽样适用于总体单位分布广泛、缺乏完整抽样框、便于按地理或行政单位分组的情况。16.答：影响因素：抽样方法（如重复/不重复