28221俯角仰角问题课件-人教版数学九年级下册

第1页：封面标题：28.2.2.1俯角、仰角问题副标题：人教版九年级数学下册配图：包含仰角与俯角的立体示意图（左侧：地面观测楼顶的仰角，右侧：楼顶观测地面的俯角，标注水平线、视线、角度，强调“仰角=俯角”）落款：授课教师/日期第2页：学习目标知识与技能：准确理解仰角、俯角的定义，明确其与水平线、视线的位置关系掌握将仰角、俯角问题转化为直角三角形问题的建模方法能运用解直角三角形的知识（三角函数、勾股定理）解决仰角、俯角相关的实际测量问题过程与方法：通过观察示意图、绘制数学模型、分析解题思路，经历“实际情境—数学建模—求解验证”的过程，提升数形结合能力结合多类型实例，培养从复杂情境中提取关键信息、构建直角三角形的能力情感态度：感受数学在实际测量（如建筑、航海）中的应用价值，增强数学应用意识在解决实际问题的过程中，培养严谨的逻辑思维与耐心细致的计算习惯第3页：概念辨析——仰角与俯角的定义定义解读（结合配图）：仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角（如图：地面点A观测楼顶点C，视线AC与水平线AB的夹角∠CAB为仰角）俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角（如图：楼顶点C观测地面点A，视线CA与水平线CD的夹角∠DCA为俯角）核心性质：仰角与俯角是内错角（因水平线AB∥CD，视线AC为截线），故仰角=俯角（如∠CAB=∠DCA）角度范围：仰角、俯角均为锐角（0°<α<90°）易错提醒：不可将视线与竖直方向的夹角误认为仰角/俯角（必须以水平线为基准）区分“观测点”与“目标点”，明确高低位置关系，避免角度判断错误第4页：解题核心——仰角、俯角问题的建模步骤四步建模法：第一步：画示意图：根据题目描述，画出包含观测点、目标点、水平线、竖直高度的立体示意图，标注已知条件（如距离、角度）第二步：构直角三角形：过观测点作目标点的竖直垂线（或水平平行线），构建以“视线、水平线、竖直高度”为三边的直角三角形（关键：将立体问题平面化）第三步：定已知与未知：在直角三角形中，明确已知的边/角（如仰角、水平距离）和待求的边/角（如竖直高度、视线长度）第四步：选工具求解：根据已知条件，选择合适的三角函数（sin/cos/tan）或勾股定理计算，验证结果合理性模型特征：直角三角形的一个锐角为仰角或俯角，一条直角边为“水平距离”或“竖直高度”，斜边为“视线长度”第5页：类型一——单一仰角/俯角问题（测量高度）例1：已知仰角与水平距离，求高度问题：小明在地面点A处，用测角仪测得教学楼楼顶点B的仰角为30°，测角仪高度AC=1.6m，A到教学楼底部D的水平距离AD=24m，求教学楼的高度BD（结果保留根号）。建模与解析：①

画示意图：标注A（观测点）、D（楼底）、B（楼顶）、C（测角仪顶端），AC⊥AD，BD⊥AD，过C作CE⊥BD于E，得矩形ACDE（CE=AD=24m，DE=AC=1.6m）②

构直角三角形：Rt△CEB，∠BCE=30°（仰角），CE=24m，求BE③

求解：在Rt△CEB中，\(\tan30°=\frac{BE}{CE}\)→\(BE=CE·\tan30°=24×\frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\)m④

总高度：BD=BE+DE=8\sqrt{3}+1.6≈14.9+1.6=16.5m方法总结：测量高度时，若存在仪器高度，需将“仪器顶端到目标点的竖直高度”与“仪器高度”相加，得到总高度。第6页：类型一——单一仰角/俯角问题（测量距离）例2：已知俯角与竖直高度，求水平距离问题：无人机在离地面高度为50m的点P处，测得地面控制点Q的俯角为45°，求无人机到控制点Q的水平距离（结果保留整数）。建模与解析：①

画示意图：标注P（无人机）、Q（控制点），过P作水平线PA，俯角∠APQ=45°，过Q作QB⊥PA的延长线于B，得矩形PABQ（PB=水平距离，QB=50m）②

构直角三角形：Rt△PBQ，∠BPQ=45°（因俯角∠APQ=45°，PA∥BQ，故∠BPQ=∠PQB=45°）③

求解：Rt△PBQ为等腰直角三角形，PB=QB=50m，故水平距离为50m技巧提炼：已知俯角时，利用“俯角=仰角”将角度转化到直角三角形的锐角，简化计算。第7页：类型二——双仰角/俯角问题（测量高度差）例3：已知两个仰角与观测点距离，求目标高度问题：在同一水平直线上的两点A、B，分别测得山顶P的仰角为30°

和60°，A、B两点间的距离为200m，求山的高度PC（C为山底，A、B、C在同一直线上）。建模与解析：①

画示意图：标注A、B（观测点，AB=200m）、P（山顶）、C（山底），PC⊥AC，设BC=x，则AC=AB+BC=200+x②

构直角三角形：Rt△PBC（∠PBC=60°）和Rt△PAC（∠PAC=30°）③

列方程：在Rt△PBC中，\(PC=BC·\tan60°=\sqrt{3}x\)；在Rt△PAC中，\(PC=AC·\tan30°=(200+x)·\frac{\sqrt{3}}{3}\)④

求解：\(\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{3}(200+x)\)→3x=200+x→x=100，故PC=100\sqrt{3}≈173m关键思路：双仰角/俯角问题中，需设未知数表示未知线段，利用两个直角三角形中的三角函数关系列方程求解。第8页：类型二——双仰角/俯角问题（测量宽度）例4：已知俯角与观测高度，求河流宽度问题：在河岸边的高楼顶端A处，测得河对岸两点B、C的俯角分别为45°

和30°，高楼高度AD=60m（D为楼底，在河岸上），求河流宽度BC（结果保留根号）。建模与解析：①

画示意图：标注A（楼顶）、D（楼底）、B、C（对岸点），AD⊥CD，过A作水平线AE，俯角∠EAB=45°，∠EAC=30°，故∠ABD=45°，∠ACD=30°②

构直角三角形：Rt△ABD和Rt△ACD③

计算：在Rt△ABD中，\(\tan45°=\frac{AD}{BD}\)→BD=AD=60m；在Rt△ACD中，\(\tan30°=\frac{AD}{CD}\)→CD=AD÷\(\tan30°=60\sqrt{3}\)m④

河流宽度：BC=CD-BD=60\sqrt{3}-60≈60(1.73-1)=43.8m易错提醒：明确两个目标点的位置关系（同侧或异侧），避免宽度计算时出现加减错误。第9页：实际应用拓展——航海与航空问题例5：航海中的俯角问题问题：一艘轮船在海面A处，测得灯塔C在北偏东60°

方向，轮船向正东方向航行20海里到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°

方向，求轮船在B处到灯塔C的距离（结果保留整数）。建模与解析：①

画方位图：标注A、B（轮船位置，AB=20海里）、C（灯塔），过A作正北方向AD，过B作正北方向BE，∠DAC=60°，∠EBC=30°，故∠CAB=30°，∠CBA=120°，∠ACB=30°②

构直角三角形：过C作CF⊥AB的延长线于F，设BF=x，BC=2x（∠BCF=30°），CF=\(\sqrt{3}x\)③

求解：在Rt△AFC中，\(\tan30°=\frac{CF}{AF}\)→\(\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}x}{20+x}\)→20+x=3x→x=10，故BC=20海里方法总结：航海问题中需结合方位角与仰角/俯角，先确定三角形内角，再通过直角三角形求解。第10页：易错点警示与避坑指南高频易错点：忽略仪器高度：计算目标高度时，漏加测角仪、观测者身高，导致结果偏小角度转化错误：未将俯角转化为直角三角形的锐角（如误将俯角作为直角三角形的钝角）示意图绘制错误：观测点与目标点的高低位置颠倒，导致直角三角形构建错误单位不统一：题目中距离单位（如米、海里）与高度单位混淆，未统一单位直接计算避坑技巧：绘制示意图时，用不同颜色标注水平线、视线、竖直高度，明确直角位置解题前先列出已知条件，标注单位，确保单位统一（如将“千米”转化为“米”）计算完成后，用“特殊角验证法”（如45°

时直角边相等）检验结果合理性第11页：巩固练习基础题：（1）在地面点A处，测得旗杆顶端B的仰角为60°，A到旗杆底部C的水平距离为10m，求旗杆高度BC（结果保留根号）；（2）从热气球上测得地面某点的俯角为45°，热气球高度为80m，求热气球到该点的水平距离。中档题：（3）在教学楼二楼窗口B处（高度AB=10m），测得操场旗杆顶端C的仰角为30°，旗杆底部D到楼底A的水平距离AD=15\sqrt{3}m，求旗杆高度CD。提升题：（4）在山顶P处，测得山脚下A、B两点的俯角分别为30°

和45°，A、B两点在同一直线上，且AB=100m，求山的高度PC（C为山底，A、C、B在同一直线上）。第12页：课堂小结与布置作业课堂小结：核心概念：仰角（低处看高处，视线与水平线夹角）、俯角（高处看低处，视线与水平线夹角），两者相等解题流程：画示意图→构直角三角形→定已知未知→选三角函数求解关键模型：测量高度（加仪器高度）、测量距离（用水平/竖直边）、双角问题（列方程）布置作业：基础作业：教材对应习题，完成3道仰角/俯角基础应用题提升作业：（1）如图，在塔AB前的平地上选一点C，测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进12m到达D，测得仰角为45°，求塔高AB；（2）一艘飞机在海拔800m的高空飞行，测得地面某港口的俯角为60°，求飞机到港口的水平距离（结果保留根号）。实践作业：用自制测角仪（量角器、细线、重物）测量小区内一棵树的高度，记录观测点到树底的水平距离、仰角、测角仪高度，用本节课方法计算树高，并与实际估计值对比2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师：

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时间：

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28.2.2.1俯角、仰角问题第二十八章

锐角三角函数aiTujmiaNg情境引入

高跟鞋深受很多女性的喜爱，但如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.美国某人体工程学研究人员调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋.但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳.若某成年人的脚掌长为15cm，则鞋跟约在3cm左右高度为最佳.据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°

左右时，人脚的感觉最舒适.你知道专家是怎样计算的吗？

在直角三角形中，除直角外，由已知两元素(必有一边)求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系：tanA＝sinA＝cosA＝ACBabc利用解直角三角形解决简单实际问题

棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点

A到达点

B时，它走过了200m.在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°，你知道缆车上升的垂直高度是多少吗?ABABD30°200mBD=ABsin30°=100m合作探究ABC棋棋乘缆车继续从点

B到达比点

B高200m的点

C，

如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ABDCE60°200m231÷1=231(s).例1“神州”九号与“天宫”一号目标飞行器实现交会对接的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面

P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与

P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？OFPQFQ是☉O的切线，∠FQO为直角最远点求的长，要先求∠POQ的度数典例精析OFPQ解：设∠POQ=α．∵

FQ是☉O的切线，∴∠FOQ=90°.的长为利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1.将实际问题抽象为数学问题；2.根据题目条件，解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.归纳：“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处的景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370km，cos4.5°

=0.997)？练一练·OCBA解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就

是看C点，AB就是“楼”的高度，∴AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即这层楼高至少要19000m.这样的楼房是不存在的.

在Rt△OCB中，∠O·OCBA例2

如图，秋千链子的长度为

3

m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面

0.5

m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m60°0.5m3mABCDE60°分析：根据题意可知秋千踏板与地面的最大距离为

CE的长度.因此，本题可抽象为：已知DE=0.5m，AD=AB=3m，∠CAB=60°，∠ACB为直角，求

CE的长.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3mABDE60°C∴

AC=ABcos∠CAB=1.5m.∴

CD=AD－AC=1.5m.∴

CE=CD+DE=2m.即秋千踏板与地面的最大距离为

2.0m.

如图，在电线杆上的

C处引拉线

CE，CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°

角，在离电线杆6米的

A处测得

AC与水平面的夹角为30°，已知

A与地面的距离为1.5米，求拉线

CE的长.

练一练G解：作

AG⊥CD

于点

G，则

AG

=

BD

=

6

米，DG=AB=1.5米.∴(米).∴CD=CG+DG=(+1.5)(米).∴(米).G1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.当太阳光线与地面成30°

角时，测得旗杆在地面上的影长为24

米，那么旗杆的高度约是(

)A.12米B.米

C.24米

D.米B2.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树

A，B

的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树

A

沿着垂直于

AB

的方向走到

E，再从

E

沿着垂直于

AE

的方向走到

F，C

为

AE

上一点，其中

3

位

同学分别测得三组数据：①AC，

∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，

∠ACB，∠ADB．其中能根据所测

数据求得

A，B

两树距离的有(

)A.0

组

B.1组

C.2组D.3组DD返回1．如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为(

)2．一个测量技术队员在一个高为h(忽略身高)的建筑物顶端，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出旗杆的顶端的仰角为30°，测出旗杆地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是(

)【点拨】【答案】C【点方法】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．.............返回3．[2024雅安]在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶D，测得仰角为30°，再往楼房的方向前进50m至B处，测得楼顶D的仰角为60°，那么这栋楼房CD的高度为(人的身高忽略不计)(

)【点拨】【答案】A返回4．我国历史悠久，有许多伟大建筑，其中西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建筑到地面的高度，如图，该小组在城墙外的D处安置测角仪CD，测得该建筑顶端A的仰角为45°.从D处后退12m到达F处，安置测角仪EF，测得该建筑顶端A的仰角为30°(点B，D，F在同一直线上