空间向量基本定理

空间向量基本定理

【考点梳理】

考点一：空间向量基本定理

如果三个向量“，b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(X,p,z),使得〃=刈+功+

zc.我们把｛a,力，c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

考点二：空间向量的正交分解

1.单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是L那么这个基底叫做单位正交基底，常用"，j，k｝

表示.

2.向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量”，均可以分解为三个向量看，0,z"使得a=xi+0+z〃.像这样把一

个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

考点三：证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量m伏力WO),的充要条件是存在实数心使。=劝.

(2)如果两个向量”，力不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对y),使"=双

-\-yh.

考点三：求夹角、证明垂直问题

(1)0为a,力的夹角，则cosO=f±.

同向

(2)若〃.〃是非零向量，则协=0.

知识点三：求距离(长度)问题

|。1=ABAB).

【题型归纳】

题型一：空间向量基底概念

I.(2023・全国•高二专题练习)若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是()

A.a+b,a-b,aB.d+b,a-b,bC.a+b,d-b,b+cD.a+b,a+b+c,c

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A,a=l[(a+d)+(a-b)],因此向量4+演一遍共面，故不能构成基底，故A错误；

对于B.ft=1[(a+A)-(a-b)],因此向量G+编一演共面，故不能构成基底，故B错误；

对■于C,假设向量G+5,a-渥+亡共面，则方+2=入(五+3)+〃(五-E)，

即^=(入+〃)五+(入一〃-1)5,这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；

对于D,(&+»+±=&+B+3因此向量值+a&+♦+犹共面，故不能构成基底，故D错误；

故选：C.

2.(2023•全国•高二专题练习)已知侬自士｝是空间的一个基底，若力=&+九*=&+e，则下列与力，沛勾成一组空

间基底的是()

A.r=2b—3cB.r=a—b+2c

C.r=d4-2b—cD.r=2d+b+c

【答案】A

【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.

r=xp+yqf所以2力-32=x(a+b)+y(a+c),

整理得，2b-3c=(x+y)d+xb+yc,

x+y=0

因为｛证,可是空间的一个基底，所以x=2,无解.

y=-3

所以正"与/构成一个基底.

r=a-b+2c,所以定=2@—力，所以排除B：

r=d4-2b-c,所以亍=2/一",所以排除C；

r=xp+yq,所以21+1+目=%(&+2)+y(4+K),

整理得，2&+E+亡=(%+y)G+-丫士，

x+y=2

因为｛证,4是空间的一个基底，所以%=1,所以

(y=1(

所以正“与个不构成一个基底，排除D.

故选：A

3.(2023•全国•高二专题练习)若｛如的总｝是空间的一个基底，且向量｛。'4=右+区+6、3，。'8=由一26、2+

2e3,OC=k"i+3e2+2年｝不能构成空间的一个基底，则k=()

【答案】D

【分析】由题意可知，向量。'4、08.仇:共面，则存在实数x、y使得0、C=x0Z+y0'8,根据空间向量的基本定

理可得出关于小y、k的方程组,即可解得k的值.

【详解】因为向量。4=e'i+e2+e3,OB=e；-2e2+2e3,OC=ke；+3e2+2e1不能构成空间的一个基底，

所以07、OB.O'C共面，故存在实数x、y使得0、C=X0Z+y0'B,

即呜+3d2+2e3=+魇+四)+y(6-2d2+2宿3)=(%+y*i+(%-2y)e2+(x+2y)e3,

/c=%+y2

x-2y=3f解得卜二-：.

x+2y=2

1(k=94

故选：D.

题型二：空间基底表示向量

4.(2022秋•北京•高二北京十五中校考期中)已知三棱锥0-ABC,点M,N分别为H8,OC的中点，且

OA=a,OB=b,OC=C,用认b,亡表示麻N,则MW等于()

A.^(b+c-a)B.1(d4-h-c)

C.1(d-b+c)D.1(c-a-b)

【答案】D

【分析】运用向量的线性运算即可求得结果.

【详解】因为0/=8.OB=b.OC=c.

所以而N=ON-OM==；O、C-\{0A+0、8)=—B—a).

故选：D.

5.(2023・全国•高二专题练习)在四面体0-ABC中，PA=20P,。是6C的中点，且M为尸。的中点，若。］=

a,OB=b,OC=c,则。M=()

A.7a+：b+:cB.-a+-D+-c

644622

C1、I1t.lxC1、.1?I1*

C.-a+-6+-cD.-a+-b+-c

322344

【答案】A

【分析】利用基底包办£表示o'P,o'Q,再利用向量线性运算求解即可.

7?

【详解】因为20P=P4所以0、P=；0、4

因为。是BC的中点，所以0'Q="08+0'C),

因为M为PQ的中点，所以O'M=:(0'P+O'Q)=\6P+go'Q=\0A+：(0'8+OC)="+：&+|c,

故选：A.

6.(2023秋•高二单元测试)如图，M是四面体。48。的棱8C的中点，点N在线段0M上，点P在线段{N

上，且MN=：0N,AP=^AN,用向量0、4OB,0、C表示0、P,则OP=()

24

［、］、［、ix3'1'

A.-OA+-OB+-0CB.-OA--OB+-0C

444444

］、［、？、］、、、

C.-OA--OB+-OCD.-OA+-3OB+-10C

444444

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.

【详解】o'p==6A+AP=+"'N

4

313

=+-(O'N-O'A)=-OA+-ON

1一32―►1一1—►

=-0A+-X-0M=-0A+-OM

44342

故选：c.

9.（2022秋•广东揭阳•高二普宁巾第二中学校考期中）如图，在三棱锥。一ABC”，，点G为底面△A8C的重心,

点M是线段0G上靠近点G的三等分点，过点〃的平面分别交棱04,0B,。。于点。，E,F,若。力=

kOA.OE=mOB,OF=nOC

fWiJky+-tn+-n=()

BC3D・1

A-tJ2

【答案】D

【分析】由空间向量基本定理，用o'aoBo'c表示ob,由A.E,尸，河四点共面，可得存在实数人〃，使丽二

WE+^iDF,再转化为丽=（1一入一+而+冲沅，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.

【详解】由题意可知，

OM=^7O?G=i(OA+AG7)r=.^\?OA+1^x^(AB+1AC)\

2]、1、、1、、]2、2、2、

=-\0A+-(OB-0A)■{--(0C-0A}=-OA-^--OB+-0C

OLOO999

因为。，E,GM四点共面，所以存在实数人,〃，使丽=人厉+〃而，所以

0M-0D=X(OE-~0D)+n(0F-0D),所以

0M=(1-A-〃)赤+WE+nOF=(1-A-耐+XmOB+unOC,所以

f(l-A-AZ)fc=1

\入m=g，所以(+；=一入一〃)+?入+?〃=?♦

I^n=9

故选：D

题型四：空间向量基本定理的综合应用

10.（2。23秋•湖北•高二赤壁一中校联考开学考试）如图，正三棱柱ABC-41BiG中，/L41=24C=2,

=a,241cl=B,AXA=c,BAM=2MC1.

（1）试用4,b,亡表示BXf；

（2）求异面直线BM与所成角的余弦值.

【答案】=+—e

（2呼

【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求解；

（2）根据空间向量的线性运算可得A；C=力+3再结合数量积的运算律可得M；C|二K，忸=争，

前=-5，进而可得结果.

【详解】（I）因为B；M=2M；7i.

所以B瓦+B；M=-43+|B；Ci=-4；4+g（4；Ci—&'当）:一；/；/+|力—4）=-|a+1b-c.

(2)因为A；C=A"+4；Ci+2

且@=向=1,|c|=2,/?•c=a-c=0,a?b=

2

可得I碇I=J同2+2b-c+|c|=V5,

|网=J拒|2+舒:+同2-软.石+装々一罗々=半，

A^.BM=-^,b-^a-c+^b2+^b-c-b-c-c2=-^

133333

则3序函=豁=法二-竽

3

所以异面直线BM与&C角的余弦值为若.

11.(2023春•甘肃白银•高二校考期中)如图，三棱柱43C-A1B1G中，M,N分别是4出,当。1上的点，且8M=

2AlM工1N=284.设A、8=G,AC=b,AAr=c.

(1)试用0,b,2表示向量M'M

(2)若NB/IC=90。,乙R/L4i=Z.CAAX=60°,AB=AC=AAX=1,求A/N的长.

【答案】(I)"N=9&+/3+9亡

JJJ

(2)y

【分析】(1)利用空间向量的线性运算即可求解.

(2)根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.

【详解】(1)解："N=M%i+4；g+C；N

1、、2、

=~BAi+AC+77c8

313

1、1、、2、、

=--AB+-AA+AC+-(AB-AQ

ooXo

=:疝+：筋1+"'c,

3313

AM/V=-a+^4-^c；

(2)解：2AB=AC=44i=l,?|a|=\b\=|c|=1,

vZ.BAC=90°,Aa-b=0,vz_BAA}=Z.CAA}=60°,

•••—a»•—c»=*D7,--c*=-1»

2

?\MN\2=^(a+b+c)2=1(a2+P+c2+2a-b4-2a-c+26-c)=I，

?|而|=《，

«5

即MN的长为咚.

12.(2022秋・广东佛山•高二校联考期中)如图，在平行六面体力BCD-418停1。1中，点M是线段的中点,

点N在线段G〃i上，且。1%=；。1。1/公4。=4&48=60。，LBAD=90°,AB=AD=AA=1.

JX

⑴求满足MH="疝+"1'。+2筋1的实数不，y,z的值.

（2）求加N的长.

【答案】（1）%=5=枭=3

【分析】（1）利用空间向量的线性运算求出闻7=；力'8+1力+1前，即得解：

J/4

（2）化简"十=0'8+；力'。+；筋1丫即得解

【详解】（1）MN=MD^D[N=^AA1+AD）+-AB=-AB+^AD+^AAlt

乙nA44

所以x=g,y=gz=g.

（2）MN2=Q而+^AD+:苑）2=92+;而2+:诉2+2xG砌.g而）+2x（；而）出标）+2x

（网（河）

0fyW2=5+；+；+1xlxlx|+|xlxlx|=1+j+|=^,

所以|痴N|=孚，即MN的长为李.

66

【双基达标】

一、单选题

13.（2023秋•全国•高二）已知位区士｝为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）

A.a+b,b+c,a-cB.a+2b,b,a—c

C.2a+b,b+2c,a+b+cD.a+c,b+2a,b—2c

【答案】B

【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解.

【详解】对于A中，由&一亡二0+上）一。+亡），所以G+3/+漪一亡不能作为一组空间基底；

对于R中，假设方+2力"，方一2共面，则存在九〃，使得方+2石=亦+〃（五-Z）,

（〃二1、、、、

即方+2刃=血+入加一位，可得（入=2,此时方程组无解，所以2G+B区&一[不共面，所以向量4+疝一士可

（-〃=0

以作为空间的一组基底；

对于C中，由&+3+亡=乂2&+3）+：@+22）,所以2&+祐+2清+A+亡不能作为空间的•组基底：

对于D中，iia+c=1（b+2a）-1（t>-2c）,所以G+口+22亡不能作为空间的一组基底.

故选：B.

14.（2D23•全国•高二专题练习）已知正方体48CD—/BCD',点E是4。.的中点，点尸是4E的三等分点，且

AF=\EF,则Jr等于()

1'I1、1、

A.AA+-AB+-ADB.-AA+-AB+-AD

22222

C.-AA+-AB+-ADD.-AA+-AB+-AD

266366

【答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算直接求解即可.

【详解】如图所示，

?AF=：EF,

?AF=-AE=^AA+'E）=^（AA+耕、C）=1［AA++A1）］=1*疝+心）］=^AA+^AB+

^AD.

6

故选：D.

15.（2023・全国•高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥

称为阳马.如图，四棱锥P—4为阳马，P4_L平面43C0,且EC=2PE,若应1=+y/C+z4、P,则x+

y+z=（.）

A.1B.2

【答案】A

【分析】根据向量线性运算，以力'8/C/P为基底表示出D'E,从而确定％y,z的取值.

【详解】EC=2PEt?PE=|PC,

IDE=AE-AD=AP+PE-AD=AP+^PC-AD=AP+:(WC-AP)-AD

712171

=^-AP+-AC-AD=^-AP+-AC-BC==-AP+-AC-(AC-/fil

333333'>

7、7、、

==-AP-=-AC+AB,

33

”1，y=-1,z=*/.x+y+z=1.

oo

故选：A.

16.（2023秋•全国•高二期中）如图,在平行六面体力中，尸是&4〔的中点，点。在&4］上，且

CQ:O4=4:1,设4、B=&,AD=b,AAx=c.则()

A、；、

A.QXPn=—3aH—3bH—3c

“ioioioB.yQP=i-od+—iob--ioc

・

c8D.“QP=Lio8+与io+呆io

【答案】c

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】因为尸是&41的中点，

所以4、p=+AC）=+AB+AD）=^a+b+c）,

又因为点0在&41上,且CQ:O&=4:1,

所以/Q=AAX+A\Q=AA^^A[C=AAi+^AC-AA^=^AC+^AAY

1、、4、1.1、4

二:（/IE+40）+g/L4i=：&+gb+

DDD3O

所以02二"-血=久应+办+亡）一"一/一"二V4+磊-奈，

4JOO1U1v1U

故选：c.

17.（2023春・云南楚雄•高二校考阶段练习）如图，在三棱柱力BC-481cl中，BC1与8道相交于点。，4=

乙44。=60°,4B4C=90°,A1A=3,AB=2,AC=4t则线段40的长度为（）

A.浮B.V47

C.等D.V38

【答案】A

【分析】利用空间向量的数量积求模即可.

【详解】由图形易得力'。=；。1'8+/J=*/1'8+儿:+浦J,

所以|而「=而『+|-p+।可「+2而尼+2通.标+2版•引），

1,47

=-X（4+16+9+ZX2X4cos900+2XZX3cos60°+ZX4X3cos600）=—

44

即AO=—.

故选：A

18.（2D24秋•高二课前预习）下列说法正确的是（）

A.若向量,、5共线，则向量包6所在的直线平行.

B.若&、b.2是空间三个向量，则对空间任一向量认总存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使力=%&+yA+z±.

C.若向量水♦所在的直线是异面直线，则向量&、6一定不共线.

D.若三个向量口、及士两两共面，则三个向量&、力、士一定共面.

【答案】C

【分析】根据空间向量的相关概念以及空间向量基本定理分析判断.

【详解】对于A：若向量4、'共线，则向量占、办所在的直线平行或重合，故A错误；

对于R：根据空间向量基本定理可知，此时M儿？应是空间三个不共面的向量，故R错误：

对于C：反证：若向量4、B共线，则向量4、5所在的直线平行或重合，

这与向量值、b所在的直线是异面直线相矛盾，故c正确；

对于D：若三个向量a、友亡两两共面，则三个向量以5、士不一定共面，

例如白、友2所在的直线为三棱锥的三条侧棱，故D错误；

故选：C.

19.（2。23・全国•高二假期作业）平面a内有五点4B,C,D,E,其中无三点共线，0为空间一点，满足=

^OB+xOC+yOD,6B=2xOC+^dD+y6E,则x+3y等于（）

A、％B-；C-ID"

【答案】B

【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.

【详解】空间向量共面定理，。京=xO4+yOR+zO、C,若4B,。不共线，且A,8,C,M共面，则其充要条件是

x+y+z=1；

由点4B,C,。共面得x+y=g,①

又由点8,C,D,£共面得2x+y=[②

•5

联立①0,解得x=ky=k

o3

所以％+3y=1,

o

故选：B

20.（2023・全国•高二专题练习）如图所示，已知空间四边形48C0的每条边和对角线长都等于1,点区G分别是

48,。。的中点.设力为=6/'。=3出力=2.求证EG_L48.

【答案】证明见解析

【分析】先E'G将用一;应+；力+,亡表示，由数量积为0证明EG_L48

【详解】证明：

因为空间四边形力BCD的每条边和对角线长都等于1,

所以△ABC^ABD都为等边三角形，所以皿1。=乙BAD=:

EG=EB+BC+CG=^AB+AC-AB+-A、C）=-1a+|h+|c,

荏•前=五•（一"2+"下）

[一,].r1--»

=--a-+-a-b+-a-c

222

=-1a2+|l«l•|S|cos^+!|a|­|c|cos^

11111

=--xl+-xlxlx-+-xlxlx-

=0

故EG1AB.

21.（2。23•全国•高一专题练习）如图，四棱锥P-0/18C的底面0A8（；是矩形，P。J_平面。A8C,设0、A=归

OC=b,OP=c,E,"分别是PC,P8的中点，试用伍》£｝表示8》，BE,AE.

【答案】BF=—-g力+BE=-&-gb+亍亡,4E=-G+gA+g±.

【分析】连接BO,根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.

【详解】连接8。，则@尸=98>="8'0+0»）=：0—力一口）=一：&-3力+；3

BE=BC+CE=BC+|c'P

乙

=比+"。'0+0>）=”为

AE=AP+PE=710+1（P0+0C）=-a+c+1（-c+b）=-a+1b+1c.

【高分突破】

22.（2023•全国•高二专题练习）在平行六面体中，AAV=1,AB=AD=y/2,且乙4送0=

，/遇8=45°,2.DAB=60°,贝lj|8£）i|=（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到8力1=-4、8+力'。+力3，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.

【详解】以｛力'8/力,4<｝为基底向量，可得8力1=房4+力力+。力i=一/1'8+/。+4<,

222

则BO】=（-AB+AD+AA^=AB+AD+AAX-2AB-AD-2AB-4-2AD•

=1+2+2—2xV2xV2xcos600-2xV2x1xcos45°4-2xV2x1xcos45°

=5-4x1-2V2Xy+2V2Xy=3,

.••忸力J=V3.

故选：C.

23.（2D23春・广东佛山•高二南海中学校考阶段练习）在平行六面体力队7。-481％。1中，已知力B=4,

AD=3,力41=5,/.BAD=90°,/-BAAX=Z-DAA1=60°,则亚•西的值为（）

【答案】A

【分析】将A'B/D/片作为基底，然后用基底表示出/&8儿，再求其数量积即可.

【详解】由题意得/C=A、8+/f。，BDr=BA+AD+DD1=-AB+AD+AAr,

因为4B=4,AD=3,AA1=5,/-BAD=90°,Z-BAAX=/.DAAl=60°,

所以h•西=（AB+ADy（-AB+AD+丽，）

=-XB2+AB-AD+ABAA[-AB-AD^-AD2+AD-AA[

二-褶+通•京+而2+而•标

=-16+4x5cos600+9+3x5cos600

=-16+10+9+7.5

=10.5.

故选：A

24.（2023•江苏•高二专题练习）如图所示,在平行六面体-中,AB=1,AD=2,2A'=3,

匕BAD=90°,Z.BAA=ADAA'=60°,则4c的长为（）

A.5B.V23C.V5D.y/13

【答案】B

【分析】由向量疝:=力为+点）+/1才得：=（^AB+AD+AA）Z,展开化简，再利用向量的数最积，便可得

出答案.

【详解】解：？人"=AB+BC+CC=AB+AD+AA,

...=（万+而+可2=（砌2+（而）2+（启j+2（而而+而京+而研，

9：AB=1,AD=2,AA=3,Z.BAD=90°,/,BAA=Z.DAA=60e

,2

・••pc）=12+22+32+2X（0+1X3COS60°+2X3COS600）=144-2X^=23.

?p?|=V23,即AC'的长为旧.

故选：B.

25.（2023秋•山东枣庄•高二统考期末）如图，在四棱锥产一48C。中，底面48co是边长为1的正方形，侧棱玄

的长为1,.且必与4力的夹角都等于60。.若〃是PC的中点，则忸=（）

A.1B.4C.当D.f

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理得到B京=gA'D+g4'P-g4'B,平方后，利用空间向量数量积公式计算出

BM2=1,从而求出模长.

【详解】因为M是PC的中点，

所以BM=^BC+^BP=^AD+;（A'P-A、8）=^AD+^AP-^AB,

所以BM=Q/D+^AP-/域

=\AD1+yAP2+:荏2+:而.而_；而.-1而■AP

444222

因为P4的长为1,且P4与48,40的夹角都等于60。.

所以丽2="+：xl+：+g|而府|cos60。-\\AD\•|^5|COS90°-\\A§\•|^?|cos600

3,1n13

=4-H-4----0----4=4

所以|B；W|=*

故选：D

26.（2023・全国•高二专题练习）如图，在三棱锥。一力8c中，点G为底面AABC的重心，点M是线段OG上靠

近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱04,0B,。。于点D,E,F,若而=k6A,0E=mOB,OF=

nOC,则；+,+工=（）

kmn

A.fB.1C.1D.I

3322

【答案】D

【分析】由空间向量基本定理，用O'AO'SO'C表示。由。，E,F,M四点共面，可得存在实数入〃，使丽二

WE+再转化为丽=（1-入-〃）应？+&n赤+〃几沅，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.

【详解】由题意可知，丽=|而=；协+福=1廊+|xg（而+硝］

2r111222

=|［O'A+jSB-。加+：（o'c-oN）］=抑+抑+?oc

因为。，E,凡M四点共而，所以存在实数人,〃，使两一入炭+〃加，

所以丽-0D=X（OE-0D）+fi（0F-0D）,

所以丽二（1一人一^0D+入赤+〃赤=（1一入一fi）kOA+XmOB+finOC,

r（l-A-M）/c=1

所以《入m=g»

l冲号

所以-入-〃）+'+?〃=?•

故选：D

二、多选题

27.（2。23•全国•高二专题练习）设他4｝构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）

A.a,b,士两两不共线，但两两共面

B.对空间任一向量力，总存在有序实数组（％y,z）,使得力=x&+yB+z±

C.a,a-c,&+e能构成空间另一个基底

D.若x&+yB+z亡=6,则实数％,y,z全为零

【答案】ABD

【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.

【详解】因为位区a构成空间的一个基底，所以匕儿亡两两不共线，但两两共面，故A正确；

对空间任一向量力，总存在有序实数组（％y,z）,使得力=xa+yb+zc,故B正确；

因为0-1）+。+3）=23所以品a-c,8+2共面.故不能构成空间的一个基底，故C错误：

根据空诃向量基本定理可知，若%&+yB+z±=6,则实数3,y,z全为零，故D正确；

故选：ABD

28.（2024秋•高二课时练习）如图，在平行六面体力8。。一中，力C与8。交于。点，且484。=

484力1=^DAAi=60°,AB=AD=4,AAX=5.则下列结论正确的有（）

A.ACX1BDB.BC{AXC=9

C.BD{=V85D.OBi=^AB-^AD-AAi

【答案】AB

【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.

【详解】如图，

由题意得，AB2=AD2=16,AA^=25

AB-AD=\AB\■\AD\COSZ.BAD=4X4COS60°=8,

丽•丽=|荏|♦|标|COSNB/UI=4x5cos60°=10,

AD-AAi=\AB\•|i4D；|cosNDA4]=4x5cos60°=10,

对于选项A,AC^BD=（AB\BC\CC^）■（ADAB）

=ABAD-AB-AB+BC-AD-^C-AB+CC[-Ab-CCl-AB

=ABAD-AB2+AD2-AD-AB+AA^-AD-标•AB

=-AB2+AD2+AA^♦而一行•通=-16+16+10-10=0

所以/1?B'D,即4cliBD.

故选项A正确.

对于选项B,西•砧=瓯+西）•（前一标）

=（而+标）.（四+而一标）=（AD+AA^）-AB+（AD+而）.（而-引）

=而•南+国•而+而2-可=8+10+16-25=9

故选项B正确.

2

对■于选项C,Bb；=（Abi-48）2=（AD+AAX-AB）

=IB2+丽2+近2+2AD•诉-2赤•AB-2京•丽

二16+25+16+20—16—20=41

所以忸D]=®即BDi=V41

故选项C错误.

对于选项D,0瓦=0、8+8瓦=^DB+AA1=^AB-AD）+AAt=^AB-^-AD+AAl

故选项D错误.

故选：AB

29.（2023秋•江苏常州•高二常州市第一中学校考期末）下列命题中，正确的命题有（）

A.|创+向=我一3是&,B共线的充要条件

B.对空间中任意一点。和不共线的三点4B,C,若。'尸=20'4—4。为+3。'。，贝lj尸，A,B，C四点共面

C.若五I花，则存在.唯一的实数儿使得五二后

D.若｛就£｝为空间的一个基底，则｛&+盗+2次+3G｝构成空间的另一个基底

【答案】BD

【分析】对于选项A：根据向量的模相等关系，结合充要条件判断；

对于选项B：利用共面向量定理判断；

对于选项C：利用平面向量的基本定理判断；

对于选项D：根据空间向量的基底判断.

【详解】对于选项A：当位।+回=0-M时，瓦♦共线,但当百同向共线，।司+向工怔一司，故同+同=

区-同是力共线的充分不必要条件，故A错误；

对于选项B：若OR=2O'A-4OR+3D'C,而2-4+3=1,根据共面向量定理得P,A,B,。四点共面，故B正

确；

对于选项C：当3=6时，aIIb,不存在唯一的实数入，使得五=入方，故C错误：

对于选项D：若｛滤£｝为空间的一个基底,则&，注不共面，则&+幼+2凝+3&不共面，则｛&+证+2滤+3号可

以构成空间的另一个基底，故D正确；

故选：BD.

3().(2。23・全国•高二专题练习)如图，在三棱柱48。一力]当。1中，M,N分别是81cl上的点，且=

N

24M,CiN=2B1N.设AB=4,AC=b,AAr=c,若84C=90。，Z.BAA｛=LCAAX=60°,AB=AC=AAr=

1，则下列说法中正确的是()

A.M/V=-a+-b+-cB.\MN\=—

333113

C.ABi1BCD.cos?AB,BC?=7

1116

【答案】BD

【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.

【详解】因为=C[N=2B[N,

所以4、M=-筋J,A；N=4瓦+B；N=AB+=AB+—/C-AB)=\AB+；4、C,

JJJJDD

所以材N=A；N-4、M++=；a+；b+^c,

故A错误；

因为|G|=|M=忙1=La-b=0,a?c=b?c=

所以MA/?=1(a4-J4-c)2=I(a2+62+c2+2a•d+2a•c+2b•c)=I(3+2)=|>

所以1MM=乎,故B正确;

因为力瓦=AB+筋i=&+3BCX=BC+BB1=AC-AB+AAX=bc-a,

所以4瓦?8以=（a+c）?（6+c-d）=a?b+b?c-d2+c2=^,故C错误；

__2

因为ABi=（a4-c）2=a2+cz+2a-c=3,所以|4瓦|=百，

因为8C；=（―a+Z+c）2=a2+h2+c2—2a-b—2ac+2b-c=3,

所以=百，

所以cM福，两）=高落=熹=/，故D正确•

故选：BD.

31.（2023秋•全国•高二阶段练习）下列命题不正确的是（）

A.若力，B,c,。是空间任意四点，则有WB+B'C+C'D+D'/I=6

B.“同-闷=|a+/是共线”的充要条件

C.若共线，则&与力所在直线平行

D.对空间任意一点。与不共线的三点4、B、C,若0刀=宜以+丫。'8+2。'。（其中工、/z£R）,则P、力、

B、。四点共面

【答案】BCD

【分析】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误；

根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误.

【详解】对A,四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；

对B,艰据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有位|+仍|=。+同，即必要性不成立，错误：

对C,艰据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；

对D,根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+j-z=1,才有尸、小B、C四点共面，错误.

故选：BCD.

32.（2。23春•高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点力为端点的三条棱长都是1,且

它们彼此的夹角都是60。，M为4%与B]DM'B=G,AD=b,AA1=c,则下列说法正确的是（）

A.ACi=a+b+cB.+c

C.标•前=0D.\ACr\=1

【答案】AC

【分析1根据空间向量的线性运算计算即可判断AB；根据向量数量积的运算律计算即可判断C；根据向量的模及

数量积的运算律即可判断D.

【详解】解：由力备=A'B+8'C+Ct]=4+力+3故A正确；

由M为&C]中点，

所以8海=：（841+B心）+4/1）-AB+AA]+AD）=-1a+^+c,故B错误；

由炉。=AD-AB=b-a,

所以^7•丽=c^b—a）＞=cb-ca=lxlxcos60°—1x1xcos60°=0,故C正确：

由MG]=J（a+b+c）2=y/a24-524-c2+2a-b4-2a-c4-2c-S=V6,故D错误.

故选：AC.

三、填空题

33.（21）23秋•高二课时练习）设G,儿士是三个不共面的向量，现在从①力+九②4-力；@d+c；@b+c：

⑤4+A+亡中选出可以与G,B构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为—（填序号）.

【答案】③④⑤

【分析】利用空间向量基本定理即可求出结果.

【详解】根据空间向量基本定理知，构成基底只要三个向量不共面即可，故①②不合题意，

又4,b,之是三个不共面的向量，故只要含有向量士即可，故③④⑤都可以.

故答案为：③④⑤.

34.（2023秋•全国•高二随堂练习）在如图所示的平行六面体48co-中，已知=人为=40,

Z.BAD=^DAA1=60°,Z.BAAV=30°,N为上一点，且A[N=XA]%.若BD工AN,则人的值为一.

【答案】V3-1/-1+V3

【分析】设脑=&,AD=b,筋i=3以{■£}构成空间的一个基底，根据BDJ.AN,可得丽•丽7=0,将

B'D/'N分别用&区之表示，再根据数量积得运算律即可得解.

【详解】设48=G,AD=b,AA-i=c»

则位，注}构成空间的一个基底，

设48=1,

因为BD1AN,

所以丽・丽=0,

因为B'D=A'D-A'B=B-G,AN=AA}+AiN=c+?b,

所以（K-万）.（Z+亦）=0,即刃•7?+京2—2•Z+箫?•1=。,

即，+?—弓一：=0,解得？=—1.

故答案为：V3-1.

35.（2D23春•江苏扬州•高二统考期中）如图，已知平行六面体48。。一48£1。1中，AB=AD=1,AA1=4,

^BAA{=^DAAi=/.BAD=60°.M为Cg的中点，贝I」AM长度为.

【答案】V1T

【分析】用4瓦4%,筋]表示出力证计算得出4必的长度.

【详解】AB=AD=1,AA1=4,z.BAA}=ADAA}=Z-BAD=60°

222

2AB=AD=1,AAA=16,AB-AD=lxlxcos60°=

AB-AAy=AD-AA^=1x4xcos600=2,

AM=AC+CM=AB+AD+^-AA,

21X

AM^=AB2+AD2+:硒+2AB+•标+而•引=1+1+4+1+2+2=11,

?\AM\=VTT,即AM=VT1.

故答案为：VTT

36.(2023春•四川德阳•高二统考期末)已知点尸为棱长等于1的正方体内部一动点，且附|=

1,则戌:i?P济的值达到最小时，P乙与P济夹角大小为.

【答案】9072

【分析】取线段C/i的中点E,可得出时彳)；=|而『一$分析可知当小P、E三点共线时，P?i?P力1取最小

值，求出|P'E|的最小值可得玩7•丽