优化设计一轮总复习数学-解答题专项❺　第3课时　证明、探究性问题

第3课时证明、探究性问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025考点一证明问题(多考向探究预测)考向1利用直接法证明圆锥曲线中的问题

[对点训练1](2024·山东菏泽模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.(1)①求C的方程;(2)动直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,P是抛物线上异于A,B的一点,记PA,PB的斜率分别为k1,k2,t为非零的常数.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:①点P的坐标为设直线MN的方程为y=m(x-1),与y2=4x联立,消去y,整理得m2x2-(2m2+4)x+m2=0,Δ>0显然成立.设M(x1,y1),N(x2,y2),x1>0,y1>0,所以l:x=ky-t2,即直线l经过点(-t2,0).若选①③,由题意设直线l:x=ky-t2,且A(x1,y1),B(x2,y2),考向2利用转化法证明圆锥曲线中的问题例2(12分)(2023·新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;突破口:抛物线的定义.轨迹是以(0,)为焦点,以x轴为准线的抛物线.(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于

关键点:将矩形的周长用相邻两边长的和的两倍表示,用基本不等式转化为正方形面积.审题指导:(1)直接利用抛物线的定义写出方程(也可以用直接法列关系式求轨迹方程);(2)设各个顶点坐标及直线AB的斜率,求出矩形相邻两边的长,利用基本不等式将矩形周长范围问题转化为相应正方形面积的范围,用放缩法证明.

焦点到准线的距离

直接法求轨迹方程,注意y需加绝对值

(2)证明

设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示,设直线AB的斜率为k(k>0).由抛物线对称性,人为确定

数形结合,与前面的假设承接

直线的斜率公式

AD与AB垂直,且斜率显然都存在

用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题

直接在正方形中研究数量关系

把点的坐标全用参数k代换

重要不等式

多次运用重要不等式,需等号同时取得

放缩

(1)求E的方程;(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.考点二探究性问题(多考向探究预测)考向1利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题例3(2024·安徽淮北模拟)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点和椭圆C2:

=1(a>b>0)的右焦点F重合,过点F的任意直线l分别交抛物线C1于M,N,交椭圆C2于P,Q.当l垂直于x轴时,|MN|=4,|PQ|=3.(1)求C1和C2的方程.(2)是否存在常数m,使

为定值?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.[对点训练3]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A(-2,0),右焦点为F,点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P,Q两点.(1)求双曲线C的标准方程.(2)直线PQ过点F,在x轴上是否存在点N,使得x轴平分∠PNQ?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.(2)存在点N(1,0)满足题意.假设存在N(n,0)满足题意,F(4,0).考向2利用探究转化法解答圆锥曲线中的探究问题

(2)设点E的坐标为(x1,y1),点F的坐标为(x2,y2),直线EG的斜率是kEG,直线FG的斜率是kFG.假设存在x轴上的定点G(n,0),使得∠EGO=∠FGH,即kEG+kFG=0.由题意可知直线EF的斜率不为0,所以可设直线EF的方程为x=my+