2025年下学期高中数学平衡与失衡试卷

2025年下学期高中数学平衡与失衡试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2函数f(x)=ln(x²-2x-3)的定义域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.y=x³B.y=sinxC.y=log₂xD.y=2ˣ已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=1，d=2，则S₁₀的值为（）A.100B.110C.120D.130函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分别是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2若直线l：y=kx+1与圆C：x²+y²-2x-3=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4已知函数f(x)=x³-3x²+2x，则函数f(x)的极大值点为（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3从5名男生和4名女生中选出3人参加数学竞赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）A.70种B.74种C.80种D.84种已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x已知函数f(x)=eˣ-ax-1，若f(x)≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,e]D.[e,+∞)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A.13πB.25πC.34πD.50π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若tanα=2，则sin2α的值为________。已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若f(1)=0，f'(1)=0，f''(1)=6，则a=，b=。已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=________。已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为________，此时x的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2A-3cos(B+C)=1。（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为√3，求b+c的值。（本小题满分12分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足Sₙ=2aₙ-1(n∈N*)。（Ⅰ）求数列{aₙ}的通项公式；（Ⅱ）设bₙ=log₂aₙ，求数列{1/(bₙbₙ₊₁)}的前n项和Tₙ。（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=60°。（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P-BC-D的余弦值。（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(1,√2/2)。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求m²的取值范围。（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，销售单价为60元，该厂为了扩大销售，决定在原来的基础上降价销售，经市场调查发现，销售单价每降低1元，月销售量就增加10件。（Ⅰ）设销售单价降低x元，月销售利润为y元，求y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当销售单价降低多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润是多少？（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx+ax²-(2a+1)x(a∈R)。（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个极值点x₁，x₂(x₁<x₂)，且f(x₂)-f(x₁)>m(x₁-x₂)恒成立，求实数m的取值范围。参考答案及评分标准一、选择题C2.A3.A4.A5.B6.A7.B8.A9.B10.A11.A12.C二、填空题4/514.-3，015.3/216.3，[-2,1]三、解答题解：（Ⅰ）因为cos2A-3cos(B+C)=1，且B+C=π-A，所以cos2A-3cos(π-A)=1，即cos2A+3cosA=1，2cos²A-1+3cosA=1，2cos²A+3cosA-2=0，解得cosA=1/2或cosA=-2（舍去），因为0<A<π，所以A=π/3。（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=π/3，因为△ABC的面积为√3，所以(1/2)bcsinA=√3，即(1/2)bcsin(π/3)=√3，解得bc=4，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即4=b²+c²-2×4×(1/2)，所以b²+c²=8，所以(b+c)²=b²+c²+2bc=8+8=16，所以b+c=4。解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-1，即a₁=2a₁-1，解得a₁=1，当n≥2时，Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-1，所以aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-1-(2aₙ₋₁-1)=2aₙ-2aₙ₋₁，即aₙ=2aₙ₋₁，所以数列{aₙ}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以aₙ=2ⁿ⁻¹。（Ⅱ）由（Ⅰ）知aₙ=2ⁿ⁻¹，所以bₙ=log₂aₙ=log₂2ⁿ⁻¹=n-1，所以1/(bₙbₙ₊₁)=1/[(n-1)n]=1/(n-1)-1/n(n≥2)，当n=1时，T₁=1/(b₁b₂)=1/(0×1)，分母为0，无意义，当n≥2时，Tₙ=1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n，所以Tₙ=1-1/n(n≥2)。解：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC。（Ⅱ）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,√3,0)，D(-1,√3,0)，P(0,0,2)，所以向量BC=(-1,√3,0)，向量BP=(-2,0,2)，设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n·BC=0，n·BP=0，即-x+√3y=0，-2x+2z=0，令x=√3，则y=1，z=√3，所以n=(√3,1,√3)，平面BCD的法向量为m=(0,0,1)，所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=√3/√(3+1+3)=√3/√7=√21/7，因为二面角P-BC-D为锐角，所以二面角P-BC-D的余弦值为√21/7。解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为√2/2，所以c/a=√2/2，即c=√2/2a，因为a²=b²+c²，所以a²=b²+(1/2)a²，即b²=(1/2)a²，因为椭圆C过点(1,√2/2)，所以1/a²+(1/2)/b²=1，即1/a²+(1/2)/((1/2)a²)=1，即1/a²+1/a²=1，解得a²=2，所以b²=1，所以椭圆C的标准方程为x²/2+y²=1。（Ⅱ）设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，联立方程组x²/2+y²=1，y=kx+m，消去y得x²/2+(kx+m)²=1，即(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0，所以x₁+x₂=-4km/(1+2k²)，x₁x₂=(2m²-2)/(1+2k²)，因为OA⊥OB，所以向量OA·向量OB=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，因为y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，所以y₁y₂=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²，所以x₁x₂+k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0，即(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0，所以(1+k²)(2m²-2)/(1+2k²)+km(-4km)/(1+2k²)+m²=0，即(2m²-2)(1+k²)-4k²m²+m²(1+2k²)=0，即2m²-2+2k²m²-2k²-4k²m²+m²+2k²m²=0，即3m²-2k²-2=0，即2k²=3m²-2，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，所以△=(4km)²-4(1+2k²)(2m²-2)=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(2k²-m²+1)=8(3m²-2-m²+1)=8(2m²-1)>0，解得m²>1/2，因为2k²=3m²-2≥0，所以3m²-2≥0，即m²≥2/3，所以m²的取值范围是[2/3,+∞)。解：（Ⅰ）由题意得，销售单价为(60-x)元，月销售量为(100+10x)件，所以月销售利润y=(60-x-40)(100+10x)=(20-x)(100+10x)=-10x²+100x+2000，所以y关于x的函数关系式为y=-10x²+100x+2000(x≥0)。（Ⅱ）因为y=-10x²+100x+2000=-10(x²-10x)+2000=-10(x-5)²+2250，所以当x=5时，y取得最大值，最大值为2250，所以当销售单价降低5元时，月销售利润最大，最大月销售利润是2250元。解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax²-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x，当a=0时，f'(x)=(-x+1)/x，令f'(x)>0，得0<x<1，令f'(x)<0，得x>1，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；当a>0时，令f'(x)=0，得x=1/(2a)或x=1，若1/(2a)<1，即a>1/2，令f'(x)>0，得0<x<1/(2a)或x>1，令f'(x)<0，得1/(2a)<x<1，所以函数f(x)在(0,1/(2a))和(1,+∞)上单调递增，在(1/(2a),1)上单调递减；若1/(2a)=1，即a=1/2，f'(x)=(x-1)²/x≥0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；若1/(2a)>1，即0<a<1/2，令f'(x)>0，得0<x<1或x>1/(2a)，令f'(x)<0，得1<x<1/(2a)，所以函数f(x)在(0,1)和(1/(2a),+∞)上单调递增，在(1,1/(2a))上单调递减；当a<0时，令f'(x)=0，得x=1/(2a)（舍去）或x=1，令f'(x)>0，得0<x<1，令f'(x)<0，得x>1，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0<a<1/2时，函数f(x)有两个极值点x₁=1，x₂=1/(2a)，所以f(x₂)-f(x₁)=lnx₂+ax₂²-(2a+1)x₂-[lnx₁+ax₁²-(2a+1)x₁]=lnx₂-lnx₁+a(x₂²-x₁²)-(2a+1)(x₂-x₁)，因为x₁=1，x₂=1/(2a)，所以f(x₂)-f(x₁)=ln(1/(2a))-ln1+a[(1/(2a))²-1²]-(2a+1)(1/(2a)-1)=-ln(2a)+a(1/(4a²)-1)-(2a+1)(1/(2a)-1)=-ln(2a)+1/(4a)-a-(1-2a+1/(2a)-1)=-ln(2a)+1/(4a)-a-(-2a+1/(2a))=-ln(2a)+1/(4a)-a+2a-1/(2a)=-ln(2a)+a-1/(4a)，因为f(x₂)-f(x₁)>m(x₁-x₂)恒成立，所以-ln(2a)+a-1/(4a)>m(1-1/(2a))恒成立，即-ln(2a)+a-1/(4a)>m((2a-1)/(2a))恒成立，因为0<a<1/2，所以2a-1<0，2a>0，所以(2a-1)/(2a)<0，所以m>[-ln(2a)+a-1/(4a)]/[(2a-1)/(2a)]=[-ln(2a)+a-1/(4a)]×(2a)/(2a-1)，令t=2a，0<t<1，则m>[-lnt+t/2-1/(2t)]×t/(t-1)=[-tlnt+t²/