2025年上学期高二数学周测（第八周）

2025年上学期高二数学周测（第八周）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))命题“(\forallx>0)，(x^2+x>0)”的否定是（）A.(\existsx>0)，(x^2+x\leq0)B.(\existsx\leq0)，(x^2+x\leq0)C.(\forallx>0)，(x^2+x\leq0)D.(\forallx\leq0)，(x^2+x>0)函数(f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{2-x}})的定义域是（）A.((-1,2))B.([-1,2))C.((-1,2])D.([-1,2])已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(1,-2))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m=)（）A.(-4)B.(-1)C.(1)D.(4)若函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期为(\pi)，且其图像关于直线(x=\frac{\pi}{3})对称，则(\varphi=)（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})已知等比数列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，则数列({a_n})的前5项和(S_5=)（）A.(30)B.(62)C.(126)D.(254)若(x)，(y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，则(z=2x+y)的最大值为（）A.(5)B.(7)C.(8)D.(9)函数(f(x)=x^3-3x^2+2)的单调递减区间是（）A.((-\infty,0))B.((0,2))C.((2,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(2,+\infty))已知直线(l:y=kx+1)与圆(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A)，(B)两点，若(|AB|=2\sqrt{3})，则(k=)（）A.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\pm\sqrt{3})C.(\pm1)D.(\pm2)已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，则(f(f(-1))=)（）A.(-1)B.(\frac{1}{2})C.(1)D.(2)在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所对的边分别为(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，则(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{13})C.(\sqrt{19})D.(\sqrt{37})已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)处取得极大值，在(x=3)处取得极小值，则(a+b=)（）A.(-12)B.(-9)C.(9)D.(12)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）曲线(y=x^2-\lnx)在点((1,1))处的切线方程为__________。已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)__________。若双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为__________。已知函数(f(x)=x^2-2ax+a)在区间([0,2])上的最小值为(-2)，则实数(a=)__________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所对的边分别为(a)，(b)，(c)，且满足(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(c=14)，求(\triangleABC)的面积。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2x+1)。（1）求函数(f(x))的导数(f'(x))；（2）求函数(f(x))在区间([-1,2])上的最大值和最小值。（本小题满分12分）如图，在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(AD=4)，(E)是(PD)的中点。（1）求证：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求三棱锥(E-PBC)的体积。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A)，(B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范围。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=\lnx-ax+1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若函数(f(x))有两个零点，求实数(a)的取值范围。参考答案及解析一、选择题A解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(1<x<2)，即(A=(1,2))；解(2^x>4=2^2)得(x>2)，即(B=(2,+\infty))。故(A\capB=\varnothing)，无正确选项（注：题目可能存在疏漏，若(B)为(2^x<4)，则(B=(-\infty,2))，(A\capB=(1,2))，选A）。A解析：全称命题的否定为特称命题，将“(\forall)”改为“(\exists)”，并否定结论，即(\existsx>0)，(x^2+x\leq0)。A解析：由(x+1>0)且(2-x>0)得(-1<x<2)。C解析：(\vec{a}\perp\vec{b}\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times1+m\times(-2)=0\Rightarrow2-2m=0\Rightarrowm=1)。B解析：由周期(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi)得(\omega=2)；图像关于(x=\frac{\pi}{3})对称，则(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi)，(k\in\mathbb{Z})，解得(\varphi=-\frac{\pi}{6}+k\pi)。又(|\varphi|<\frac{\pi}{2})，故(\varphi=\frac{\pi}{6})（取(k=1)）。B解析：设公比为(q)，则(a_4=a_1q^3\Rightarrow16=2q^3\Rightarrowq=2)。(S_5=\frac{2(2^5-1)}{2-1}=62)。D解析：画出可行域，目标函数(z=2x+y)在点((3,3))处取得最大值(9)。B解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)<0)得(0<x<2)。C解析：圆(C)的标准方程为((x-1)^2+y^2=4)，圆心((1,0))，半径(2)。圆心到直线(l)的距离(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}})，由(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3})得(d=1)，解得(k=0)（注：题目可能存在疏漏，若直线为(y=kx-1)，则(d=\frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+1}}=1)，解得(k=0)或(k)不存在）。A解析：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f(f(-1))=f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1)。A解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=7\Rightarrowc=\sqrt{7})。B解析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由极值点得(f'(-1)=0)，(f'(3)=0)，即(\begin{cases}3-2a+b=0\27+6a+b=0\end{cases})，解得(a=-3)，(b=-9)，故(a+b=-12)（注：题目选项可能存在疏漏，正确答案应为(-12)）。二、填空题(y=x)解析：(y'=2x-\frac{1}{x})，在点((1,1))处的切线斜率为(2\times1-1=1)，切线方程为(y-1=1\times(x-1))，即(y=x)。3解析：分子分母同除以(\cos\alpha)得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)。(y=\pm\sqrt{2}x)解析：离心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowc=\sqrt{3}a)，又(c^2=a^2+b^2\Rightarrow3a^2=a^2+b^2\Rightarrowb=\sqrt{2}a)，渐近线方程为(y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{2}x)。(3)或(-2)解析：函数对称轴为(x=a)。当(a\leq0)时，(f(x)_{\min}=f(0)=a=-2)；当(0<a<2)时，(f(x)_{\min}=f(a)=a-a^2=-2\Rightarrowa^2-a-2=0\Rightarrowa=2)（舍）或(a=-1)（舍）；当(a\geq2)时，(f(x)_{\min}=f(2)=4-4a+a=-2\Rightarrowa=2)（注：此处计算应为(4-3a=-2\Rightarrowa=2)，但(a=2)时对称轴为(x=2)，最小值为(f(2)=-2)，故(a=2)或(a=-2)）。三、解答题（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，则(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=35\end{cases})，解得(a_1=3)，(d=2)，故(a_n=3+2(n-1)=2n+1)。（2）(b_n=2^{2n+1}=2\times4^n)，则(T_n=2(4+4^2+\cdots+4^n)=2\times\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{8(4^n-1)}{3})。（1）(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{4}{5})，(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{twelve}{13})，(\sinC=\sin(\pi-A-B)=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{4}{5}\times\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\times\frac{12}{13}=\frac{56}{65})。（2）由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R)，得(2R=\frac{14}{\frac{56}{65}}=\frac{65}{4})，(a=2R\sinA=13)，(b=2R\sinB=15)，面积(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times13\times15\times\frac{56}{65}=84)。（1）(f'(x)=3x^2-6x+2)。（2）令(f'(x)=0)，解得(x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3})。在区间([-1,2])上，计算(f(-1)=-5)，(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，(f(2)=1)。故最大值为(1)，最小值为(-5)。（1）取(PC)中点(F)，连接(EF)，(BF)。(E)，(F)分别为(PD)，(PC)中点，则(EF\parallelCD)且(EF=\frac{1}{2}CD)。又(AB\parallelCD)且(AB=CD)，故(EF\parallelAB)且(EF=AB)，四边形(ABFE)为平行四边形，(AE\parallelBF)。又(BF\subset)平面(PBC)，(AE\not\subset)平面(PBC)，故(AE\parallel)平面(PBC)。（2）(V_{E-PBC}=V_{P-EBC})，(S_{\triangleEBC}=\frac{1}{2}S_{\triangleDBC}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times4\times2=2)，高(PA=2)，体积(V=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3})。（1）离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(c^2=\frac{3}{4}a^2)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)。将点((2,1))代入椭圆方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)，标准方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）联立直线与椭圆方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，(\Delta>0\Rightarrow8k^2-m^2+2>0)。设(A(x_1,