沪教版（上海）九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题攻克试卷（含答案详解）

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题攻克

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，点4,B,C均在。。上，当NO8C=35。时，NA的度数是（）.

B.60°C.55°D.50°

已知正三角形外接圆半径为6,这个正三角形的边长是（

3、如图，两个等圆和。a相交于/、6两点，且。a经过。。的圆心，则的度数为

A.45°B.30°C.20°D.15°

4、如图，菱形力及力的顶点6,C,〃均在。力上，点6在弧劭上，则N四的度数为()

B

A.90°B.120°C.135°D.150°

5、已知。。的半径等于5,圆心。到直线/的距离为6,那么直线/与。。的公共点的个数是

()

A.0B.1C.2D.无法确定

6、已知。。的半径为4,点。在。0外部，则小需要满足的条件是()

A.OP>4B.0W瞅4C.OP>2D.0〈瞅2

7、如图，AB,BC,切分别与。。相切于反F、G三点,n.ABI/CD,加=3,<70=4,则m的长为

()

AEB

8、如图，A5是。。的直径，C、。是0。上的两点，若ZBOC=130",则NAQC=()

A.15°B.20°C.25°D.30°

9、如图，劭是。〃的切线，/a为=30°,则NA()

A.40°B.50°C.60°D.30°

10、如图，AB是半圆。的直径，四边形C0MN和OEFG都是正方形，其中点C,D,E在A3上,

点尸，N在半圆上.若A3=1O,则正方形CQMN的面积与正方形。EFG的面积之和是()

A.25B.50C.30—万D.50—2乃

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、斛是中国古代的一种量器.据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（hudn）其外，旁有麻

（tioo）焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”.如图所

示，

问题：现有一斛，其底面的外同直彳至为两尺五寸（即2.5尺），“魔旁”为两寸五分（即两同心圆的

外圆与内圆的半彳至本差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为_______尺.

2、如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为

80阴，水面到管道顶部的距离为20腐，则修理工人应准备的新管道的内直径是cm.

3、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于….

4、如图，点1(2,0),B(0,2),将扇形/仍沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点。的

对应点依次记为点Q,点“，点。…，则为的坐标是

5、如图4?为。。的直径，点P为47延长线上的点，过点P作。。的切线阳切点为肱过4、6两

点分别作％垂线/，、BD,垂足分别为C、D,连接力/,则下列结论正确的是(写所有正确论

的号)

①4M平分"18；=—;③若4/4,力取30°,则8M的长为［；④若/G3破则有

AMAB3

n

tanNM46也■.

3

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、已知，户是直线46上一动点(不与46重合)，以户为直角顶点作等腰直角三角形加，点£是

直线/〃与△阳〃的外接圆除点〃以外的另一个交点，直线须与直线即相交于点F.

(1)如图，当点P在线段上运动时，若NDBE=30°,PB=2,求原的长;

a

(2)当点〃在射线4?上运动时，试探求线段力氏PB,用之间的数量关系，并给出证明.

2、如图1,△/a'为圆内接三角形，AE上BC于。交00于点、E,BRLAC于F交AE于点、G.

(1)求证：DG=DE-,

(2)如图2,连接璇作0M工跖于M,求证：AC=20M；

(3)在(2)的条件下，连接OG、CE,若OG=CE,BG=2FC+2FG,力6=2后，求长.

3、如图，是。。的直径，弦CD工AB于点、E,4必是△/切的外角/%尸的平分线.

(1)求证：4V是的切线;

(2)连接而并延长交4"于点M若。。的半径为2,AANC=30°,求G9的长.

4、如图，48为。。的直径，半径ODLAB于0,。0的弦C。与A3相交于点凡。。的切线CE交48

的延长线于点E.

(1)求证：EC=EF；

(2)若。。的半径长为3,且BF=BE,求。尸的长.

5、如图，AABC内接于。0,且AB为。。的直径，0ELA8交AC于点E,在OE的延长线上取点

D,使得N0CE=N8.

(1)求证：8是。。的切线;

(2)若AC=20，BC=y/5,求4?的长.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

先由OB-OC,得到/比户NM>35°,从而可得/6除180°-N0C外/刎M10°,再由圆周角定理

即可得到答案.

【详解】

解：•.•。岳阳

:.N0CB=N0BO33°,

：.ZB001800-NOCB-NOBC=110°,

ZA=-ZBOC=55°,

2

故选C.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关

键.

2、B

【分析】

如图，。。为正三角形4比'的外接圆，过点。作勿，46于点4连接以，再由等边三角形的性

质，可得/力片30°,AD=^AB,然后根据锐角三角函数，即可求解.

【详解】

解：如图，。。为正三角形/a'的外接圆，过点。作切J_/6于点〃连接的,

A

根据题意得：0A=^,/曲作30°,AD=^AB,

在心△AOD中，

AD=OA-cosZOAB=y/3x—=-,

22

：.AB=3,即这个正三角形的边长是3.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解

题的关键.

3、B

【分析】

连接a”，Aa,0B可得△/a。是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答.

【详解】

解：连接a”，A0„0\B,

A

Io»r....jo2)

B

•：aB=aA

.・・ZO,AB=ZO,BA=-ZAftO,

:。Q和。。是等圆，

A0\—0\Oi—AOif

•••△力。。是等边三角形，

...N/a。=60°,

...N6M住://aa=1x60°=30°.

22

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出是等边三角形是解题关

键.

4、B

【分析】

连接4C，根据菱形的性质得到△4%1、△/切是等边三角形，求出NMM20。，再根据圆周角定理即

可求解.

【详解】

如图,连接4C

：.A(=AB=AD

•••四边形力腼是菱形

：.AB^BC=AD-CD-AC

二△ABC、△/切是等边三角形

：.ZACB=ZAC/>6Qa

.♦./比场120°

:优弧BD=BD

:.NBED=NBCA120°

故选B.

【点睛】

此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及圆周角定理.

5、A

【分析】

圆的半径为，，圆心到直线的距离为乩当4r时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d=r时，

圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可

得答案.

【详解】

解：的半径等于/"为8,圆心0到直线，的距离为“为6,

/.d>r,

...直线/与。。相离，

...直线，与。。的公共点的个数为0,

故选A.

【点睛】

本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对

应的公共点的个数是解本题的关键.

6、A

【分析】

点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答.

【详解】

解：的半径为4,点。在。。外部，

.••。户需要满足的条件是0P>4,

故选：A.

【点睛】

此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键.

7、I)

【分析】

连接如0E,06,根据切线的性质及角平分线的判定可得仍平分ZA3C,0C平分NBCD,利用平行

线的性质及角之间的关系得出4OC=90。，利用勾股定理得出BC=5,再由三角形的等面积法即可

得.

【详解】

解：连接OF,0E,0G,

G

,:AB、BC、切分别与。。相切，

AOEA.AB,OF上BC,OGA.CD,且OE=O尸=OG,

，仍平分ZABC,0C平分NBCD,

：.ZOBC=-ZABC,ZBCO=-ZBCD,

22

AB//CD,

：.NABC+N3Cr>=180°,

ZOBC+ZBCO=-ZABC+-ZBCD=90°,

22

NBOC=90°,

BC=>]OB2+OC2=5>

...=」・='•,

22

...OcFr=-3-x--4-=——12，

55

故选：D.

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出

辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

8、C

【分析】

根据圆周角定理得到N6%的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论.

【详解】

解：VABOC=Y3Qa,

：.ABDO-,

2

,.36是。。的直径，

:.NADB=90°,

.,.ZJZ?O900-65°=25°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

9、D

【分析】

连接08,根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得48=60。，根据切线

的性质可得/。如=90。，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得/£>.

【详解】

解：连接08

■：BE=BE

：.ZBAE=^BCE=30°

-.-OB=OA

:./LOBA=ZOAB=3Q°

ZBOD=AOBA+AOAB=60°

•••劭是(DO的切线

:.ZOBD=90°

/.ZD=30°

故选D

【点睛】

本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题

的关键.

10、A

【分析】

连接0M0F,根据题意可得：0N=025,设好x,E六y,由勾股定理得：A(^6*)=25©,六(尸

〃0尸=25②，然后①-②化简得：(x+y)(x+〃0y)=O,从而得到广〃3x,再代入②，即可求解.

【详解】

解：如图，连接ON,OF,

♦.•直径A8=10,

：.0./^0F=5,

设CN=x,EP=y,

由勾股定理得：*+（矛+〃0）2=25①,

/+（尸。0）2=25②，

①-②化简得：（x+y）（x+〃/y）=0,

因为x+y>0,

所以炉'aAx。，即尸麻x,

代入②，得占y=25,

即正方形CDMV的面积与正方形。EFG的面积之和是25.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的

关键.

二、填空题

1、6

【分析】

如图，根据四边形6W为正方形，可得/历90°,CADE,从而得到应是直径，Na次45°,然后

利用勾股定理，即可求解.

【详解】

解：如图，

•••四边形CW为正方形,

.•./介90°,CD-DE,

，龙是直径，Z£G9=45°,

根据题意得：止2.5,8=2.5—0.25x2=2,

CE2=CD2+DE2=2CD2,

CD=x/2,

即此斛底面的正方形的边长为正尺.

故答案为：72

【点睛】

本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键.

2、100

【分析】

由垂径定理和勾股定理计算即可.

【详解】

如图所示，作管道圆心0,管道顶部为力点，污水水面为劭,连接力0,H。与物垂直相交于点C

设AO=OB=r

贝1J妗尸20,B*BD=40

有OB'OC'BC?

r2=(r-20)2+402

化简得片50

故新管道直径为100c®.

故答案为：100.

【点睛】

本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用

勾股定理，来解决问题.

O、---

3

【分析】

过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径.

【详解】

如图所示，AABC是正三角形，故。是的中心，ZC4B=60°,

•.•正三角形的边长为2,OEVAB

：.AE=-AB=\,ZOAE=-ZCAB=30°,

22

：.OE=-OA,

2

由勾股定理得：AO2=AE2+OE2,

.・・AO2=AE2+（-AO）2

21

：.-AO2=l,

4

40=亚（负值舍去）.

3

故答案为：巫.

3

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解.

4、（14+3打，2）

【分析】

先求出A8的长度，然后分别求出点。।的坐标为（2,2）,点。2的坐标为（2+乃，2）,点。‘的坐标为

（4+万，0）,即可得到观察图形可知，。点坐标变化三次后回到*轴正半轴，每个回到x轴横坐标增

加4+乃，由此求解即可.

【详解】

解：'：A（2,0）,B（0,2）,

：.OA=BA=2,NAOB=9Q°,

.附工臣90•7x2

■■AB的长度=I?=兀，

1oU

♦••将扇形/仍沿X轴正方形做无滑动的滚动，

。［。2=兀,AO〕=AO=2,

；•点。।的坐标为（2,2）,

点。2的坐标为（2+乃，2）,

.•.点。3的坐标为（4+万，0）,

.•.观察图形可知，。点坐标变化三次后回到X轴正半轴，每个回到X轴横坐标增加4+万，

,.,10+3=3余3,

.•.点的坐标为（2+12+31，2）,即（14+3），2）,

故答案为：（14+3万，2）.

【点睛】

本题主要考查了点的坐标规律探索，求弧长，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解.

5、①②④

【分析】

连接。由切线的性质可得OM,PC,继而得。“〃力C,再根据平行线的性质以及等边对等角即可

求得NC4M=由此可判断①；通过证明AACNSAAAW5,根据相似三角形的对应边成比例可

判断②；求出NMOP=60。，利用弧长公式求得8M的长可判断③；由8O_LPC，ACLPC,

OMVPC,可得被〃47〃〃"，继而可得P3=O8=AO,PD=DM=CM,进而有OM=2BD,在

R^PBD中,利用勾股定理求出阳的长，可得==由此可判断④.

【详解】

解：连接。机

♦.•必'为。。的切线,

?.OMIPC,

AC±PC,

・・・OM//AC,

JZCAM=ZAMO,

VOA=OM,Z.OAM=ZAMO,

：.ZCAM=ZOAM,

即力"平分NOW,故①正确；

・・・力8为。。的直径，

・・・ZAMB=90°,

•：/CAM=ZMAB,ZACM=ZAMB,

：.^ACM^^AMB,

.AC_AM

••府一商’

AAM2=ACAB,故②正确；

ZAPE=30°,

・・・ZMOP=ZOMP-ZAPE=90°-30°=60°,

*/AB=4,

・・・03=2,

•••BM的长为更等=£兀，故③错误；

1oUJ

VBDLPC,AC±PC,OM1PC,

：.BD//AC//ai,

：・4PB44PAC,

,PBBD\

••—=----=—,

PAAC3

・・.PB」PA,

3

XVAO=BO,AO+BO=AB,AB+PB=PA,

：.PB=OB=AO,

又BD//AC//,

：.PD=DM=CM,

设3£>=a,则AC=3a,

OM=2BD=2a,

在心APBO中，PB=BO=OM=2a,

PD=dPB?-BD。=6a，

:.CM=DM=DP=四,

由①可得ZCAM=ZOAM,

tanZ.MAP=tanZCAM=,

AC3

故④正确，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添

加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

三、解答题

1、(1)&(2)P广AB~PB或PkA及PB,理由见解析

【分析】

(1)根据△加等腰直角三角形，PB=2,求出加的长，由。。是△加的外接圆，4DBE=30°,

可得答案；

(2)根据同弧所对的圆周角，可得N加六NFBP,由△。切等腰直角三角形，得NDP片NAPD=90°,

D4BP,可证丝△"况可得答案.

【详解】

解：（1）由题意画以下图，连接£0,

•.•△阳〃等腰直角三角形，。。是他的外接圆,

.•.N以沪N颇=90°,

,:PB=2,

DB=NDP。+BP?=>/22+22=2&，

■:NDBE=3Q°,

：.DE=-DB=-x2>/2=y/2

22

（2）①点尸在点从6之间，

由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：

NADk/FBP,

又切等腰直角三角形，

:./DP加NAPA9y,DF^BP,

在△加力和△板中

\ZADP=ZFBP

(DP=BP

[Z.DPB=ZAPD

:.MAP哈XFPB

:・A片FP,

^AP^PB-AB

:.F4PMAB,

:・FkAB-PB,

②点尸在点8的右侧，如下图:

•••△加等腰直角三角形，

：./DPA/AP-G,D六BP,

•:NPBF+NEBE8G0,NPDA+NEBE800,

:"PB六/PDA,

在△加力和△仔»中

NDPB=AAPF

DP=BP

NPBF=NPDA

：./\APD^/\FPB

：.AP=FP,

:"淤PB=AP,

：.AB+PB-PF,

:.PF=AB+PB.

综上所述，眸A氏PB或P2AB+PB.

【点睛】

本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况.

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）1+出.

【分析】

（1）连接应■,首先根据题意得到44冏=/助宓=90。，然后根据同弧所对的圆周角相等得到

ZEBD=ZEAC,然后根据等角的余角相等得到ZB£D=ZBG。，进而得到3£=3G,最后根据等腰三

角形三线合一性质即可证明出DG=DE；

（2）连接4。，OB,OE,0C,作0/LL4C于点儿首先根据圆周角定理以及角度之间的转化得到

ZOEM=ZCOH,然后证明A0ME&AC”0（A4S）,最后利用垂径定理即可证明/C=2〃M；

（3）过点0作0从L4C于H,ONLBG于N,连接CG,0B,首先得到四边形0恸是矩形，然后根据法

=2町2届得出A白例然后证明出△切侬△砒'（必5）和△〃怅丝△阪（9），设G20即x,

CI^GN=y,OC=r,根据勾股定理得到关于x和y的方程①，然后根据sin/GBD=sinNG4尸和

cos/EG=cosNZMC得到关于x和y的方程②，联立方程①②即可求出0M的长度.

【详解】

解：(1)如图所示，连接应；

♦：BF1AC,AELBC

：.ZAFB=90°fZBDE=90°

：.ZAFB=NBDE

;CE=CE

：.AEBD=/EAC

：.ZBED=ZAGF

XVNBGD=ZAGF

：.ZBED=ZBGD

：.BE=BG

又YAELBC

：.DG=DE（三线合一）；

(2)如图所示，连接力0,OB,OE,0C,作如14。于点，

A

图3

•：OHLAC

：.AH=CH=-ACZWOC+ZOCW=90°

2f

VAE-LBC,B|JZBZM=90°

/.ZABD+ABAE=90°

・；BAD=-ZBOE=/EOM

2

，ZABD+NEOM=90。

・.・ZOEM+ZEOM=90°

：.ZABD=ZOEM

,.・/ABD=-ZAOC=ZCOH

2

・・・/OEM=/COH

XZOME=ZOHC=90°,OE=OC

：.AOME^CHO(AAS)

：.OM=CH=-AC

2

：.AC=20^h

(3)如图所示，过点。作。〃，然于〃，0N1BG于N,连接CG,0B,

又：BF1.AC

・・・四边形QA制是矩形，

:・N用0H,

由(2)可知=

22

又•：BG^2FC+2FG,

:.ME=FC+FG,

:•般NP-F*GN,

:.N"F,

・・,在ACOG和ACDE中,

CD=CD

</CDG=NCDE=9。。

GD=ED

：./\CDG^l\CDE(SIS)

：.CaO^OG,

・・•在Rt\ONG和Rt\GFC中,

\GN=FC

[OG=CG

：./\ONG^/\GFC(应)，

：.ZOG^ZGCF,GF=ON

•/ZFGC+ZGCF=90°

：.ZFGC+ZOGN=90°

・・・N。心90°,

・・・AOGC是等腰直角三角形，

5

：.CG=OG=—OC,

2

设G产。沪x,C—,则BG=2(x+y),BN=BG-NG=2x+y,OC

在直角△〃/%中，OG=OM+NG?,则g，=/+y2,

在直角△&奶中，OB?=ON?+BN"则户=f+(2x+»,

22

.x+y=]

・"(2x+»2，

；・y2=3—+4盯①

VZBZX7=ZAFG=9O°,/BGD=ZAGF

：.ZGBD=ZGAF

•?sinZGBD=sinZGAF,

・GDFG

^~BG~~AG

•*FG“，\X历(x+y)

.•GD=BG=2(x+y)—『=--------------,

AG2\]22

在尸中AF=ylAG2-FG2=痒)，

，AD=GD+AG=--V^+2>/2,AC^FC+AF^y+y/S-x2，

*/cosZ.FAG=cosZDAC

即标也守+2无

AGAC"5

y\ls-x2+8-x2=2x2+2xy+8，

•*-y>/8-x2=3x2+2xy

将①代入得：y\ls-x2=y之一2xy，

••Vs-x2=y-2x，

/.y2-4xy+4x2=8-x2,艮fly2-4xy+5x2=8(2),

联立①②解得x=l,

/.y=2+币,

；・AC=y+j8-f=2+2不

：.OM=-AC=\+y/7

2

【点睛】

此题考查了圆的综合题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，三角函数等知识，解题

的关键是熟练掌握以上知识点以及正确作出辅助线，根据题意列出方程求解.

3、

(1)见解析

(2)CD北下)

【分析】

(1)由题意易得6。的，/DA*NDAF,则有/进而可得/的,%90°,然后问题可求

证；

(2)由题意易得处ZW/ANC=NOCE40°,然后可得在'=1,CE=^3,进而问题可求解.

(1)

证明：•.36是。。的直径，弦切，然于点“

：.BC=BD

：.ACAB=ADAB

是/必尸的平分线

，ND4吟4DAF

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