（人教A版）选择性必修二高二数学上册同步精讲精练4.1 数列的概念（解析版）

4.1数列的概念一、数列的概念及表示方式1、数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫做数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第项叫做数列的通项2、数列的表示（1）一般形式：，，，…，，…（2）字母表示：上面的数列也可以记为注：是数列的第项，也叫通项。3、数列的通项公式（1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．（2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中n∈N+递减数列常数列摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的函数性质1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。3、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．四、求数列最大(小)项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．五、由数列的前几项求数列的通项公式（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．（4）拆项、添项后的特征．（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.六、数列的通项an与前n项和Sn的关系①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项；②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示.题型一数列的概念及分类【例1】现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【变式1-1】下列有关数列的说法正确的是（）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.【变式1-2】下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（）A．1，2，3，…，20B．-1，-2，-3，…，-n，…C．1，2，3，2，5，6，…D．-1，0，1，2，…，100，…【答案】D【解析】由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案：D【变式1-3】下列命题中错误的是（）A．是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列【答案】C【解析】数列的通项公式的概念：将数列的第项用一个具体式子（含有参数）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n唯一确定的，故AB正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C是错误的；根据无穷数列的概念，可知D是正确的.故选:C.题型二由数列的前几项写通项【例2】（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；（2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为．（2）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．（3）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．故答案为：；；．【变式2-1】按一定规律排列的单项式：a，，，，，，…，第n个单项式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为前6项为：a，，，，，，所以第n项为.故选：C.【变式2-2】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．故选：C．【变式2-3】数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A.当时，，不符；B.当时，，不符；C.当时，，不符；D.当时，，当时，，符合.故选：D.题型三写出或判断数列中的项【例3】已知数列的通项公式为，则该数列的前项依次为（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】A【解析】由通项公式可知：，故选：A【变式3-1】已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（）A．4B．12C．24D．32【答案】B【解析】由题意，，故选：B【变式3-2】若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（）．A．不在此数列中B．第13项C．第14项D．第15项【答案】D【解析】因，因此符合题意的一个通项公式为，由解得：，所以是这个数列的第15项.故选：D【变式3-3】已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（）A．2B．4C．8D．16【答案】A【解析】由于数列的通项公式为，故令，则，与不符，故2不是数列的项；令，令，令，即4，8，16是数列的项，故选:A【变式3-4】已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的（）A．第58项B．第59项C．第60项D．第61项【答案】C【解析】对该数列进行重新分组：，，，，，则出现在，其项数是，故选：C题型四根据递推关系求数列通项【例4】已知数列满足，对任意的都有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得：，，，，…，，各式作和得：，，.故选：C.【变式4-1】在数列中，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因，则有，于是得，当时，，因此，，显然，满足上式，所以.故选：C【变式4-2】已知，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．n【答案】D【解析】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．【变式4-3】已知数列满足，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，即所以数列是以首项为的常数列，则，得.故选：A【变式4-4】数列满足，且，则（）A．4043B．4044C．2021D．2022【答案】A【解析】因为，所以，所以，即为常数列，又，所以，所以，解得，故选：A.【变式4-5】已知数列满足，则（）A．32B．C．1320D．【答案】A【解析】当时，，当时，由，可得，两式相除可得，所以，所以，故选：A题型五由数列的前n项和求通项【例5】已知数列的前n项和为，且，，则（）．A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】C【解析】因为，，所以当时，，化为，从而，所以．适合.所以.故．故选：C【变式5-1】已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.【答案】【解析】,故当时，；当时，，不适合上式，，故答案为：.【变式5-2】已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】因为，所以，即．当时，，当时，，显然不满足上式.所以．故答案为：.【变式5-3】若数列满足，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为①，当时，，当时②，①②得，所以，当时也成立，所以；故选：D【变式5-4】已知在数列中，，，则__________．【答案】【解析】因为，当时，，则，即有，当时，，得，满足上式，，，因此数列是常数列，即，所以.故答案为：题型六数列的单调性的判断【例6】已知数列的通项公式是，则（）A．不是单调数列B．是递减数列C．是递增数列D．是常数列【答案】C【解析】因为，所以是递增数列.故选：C.【变式6-1】已知数列的通项公式为，则该数列为（）A．递增数列B．递减数列C．摇摆数列D．先增后减数列【答案】D【解析】因为，所以，易知：，所以当时，，时，，故该数列为先增后减数列，故选：D.【变式6-2】函数的图象在下列图中并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知，故满足，即的图象在的图象上方，故A项正确.故选：A.【变式6-3】在数列中，，，则（）A．数列单调递减B．数列单调递增C．数列先递减后递增D．数列先递增后递减【答案】A【解析】由，，得，，且可知．再由，两边平方得①，则②，②﹣①得：，∴，∵，∴与同号,由，可知，，即，可知数列单调递减．故选：A．【变式6-4】已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故选：C题型七求数列的最大（小）项【例7】已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，，，，．又，，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．故选：B．【变式7-1】已知数列的通项公式为，则中的最大项为（）A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项【答案】C【解析】因为令，得，解得．所以当时，，即，当时，，即，因此当时，最大．故选：C.【变式7-2】已知数列满足，则数列的最大项为（）．A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项【答案】D【解析】假设第n项最大（），有，又，所以，即数列的最大项为第7项.故选：D.【变式7-3】已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】，∵，，∴当时，数列单调递减，且；当时，数列单调递减，且.∴在数列的前50项中，最小项和最大项分别是，.故选：D.【变式7-4】若数列满足，若恒成立，则的最大值（）A．B．C．D．3【答案】C【解析】由于，当时，，即，当时，，又，以上两式相减可得，得，上式对也成立，所以恒成立即为恒成立，由为递增数列，得的最小值为，所以，即的最大值为.故选：C.题型八与周期有关的数列问题【例8】在数列中，，，则等于（）．A．B．C．D．2【答案】C【解析】由，可得：，故数列为周期性数列，每3项为一循环，而，故，故选：C【变式8-1】数列满足，则（）A．2022B．2020C．D．【答案】C【解析】由题意，，，，，故的周期为4.又，故故选：C【变式8-2】在数列中，，，，，则（）A．0B．1C．D．【答案】A【解析】由，得，两式相除可得，所以数列是以6为周期的周期数列，又，所以．故选：A．【变式8-3】已知函数，若数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，，，则，，，，，…，所以数列从第三项起构成周期为3的数列，故．故选：D．【变式8-4】已知数列满足，，且（n为正整数），则___________【答案】6【解析】即,所以是周期为6的数列因为所以.4.1数列的概念【题组1数列的概念及分类】1、下列有关数列的说法正确的是（）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【答案】D【解析】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.2、下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．－1，－2，－3，－4，…B．－1，－，－，－，…C．－1，－2，－4，－8，…D．1，，，，…，【答案】B【解析】A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.3、有关数列的表述：（1）数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；（2）数列的项数是无限的；(3)数列的通项公式是唯一的．其中，正确的表述（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】（1）∵，∴数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，正确；（2）数列的项数可以是有限的，如1，2，3这3个数组成一个数列，故不正确；（3）数列的通项公式不是唯一的，如数列1，0，1，0，…，可用或，故不正确.故有且仅有（1）正确.故选：B．4、下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？（1）{0，1，2，3，4}；（2）0，1，2，3，4；（3）所有无理数；（4）1，－1，1，－1，1，－1，…；（5）6，6，6，6，6【解析】(1)是集合，不是数列.(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.【题组2由数列的前几项写通项】1、数列3，5，9，17，33，…的通项公式（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足．故选：B.2、已知数列的前项为，，，，则它的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，，，因此，数列的一个通项公式可为.故选：A.3、已知数列1，，3，，，···，则5是该数列的（）A．第6项B．第7项C．.第8项D．.第9项【答案】B【解析】将所有项化为根式：，观察可知该数列通项公式为，令，解得.故选：B4、数列，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，当时，，不符合题意，A不正确；对于B，当时，，不符合题意，B不正确；对于C，当时，，当时，，符合题意，C正确；对于D，当时，，不符合题意，D不正确.故选：C5、（多选）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于A中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；对于B中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；对于C中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；对于D中，，当为奇数时，；当为偶数时，，不满足题意.故选：ABC6、写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，，，；（2），，，；（3）11，101，1001，10001；（4），，，．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由题意分子是从1开始的奇数，分母是项的平方，；（2）由题意分子是从2开始的偶数，分母是分子加1、减1所得两数之积，;（3）由题意各项减1后是10的幂，；（4）由题意，奇数项为正，偶数项为负，分子是项数乘以2，分母是3的幂，【题组3写出或判断数列中的项】1、已知数列满足，则（）A．18B．－18C．45D．－9【答案】D【解析】依题意，，所以.故选：D2、观察数列，（），，（）的特点，则括号中应填入的适当的数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得数列的通项公式为，∴.故选：D.3、已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（）项．A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】令，解得：（舍去）.故选：B4、已知数列的通项公式为，则在下列各数中，不是的项的是（）A．21B．33C．152D．153【答案】C【解析】当值进行验证，时，A满足；当时，B满足；当时，D满足；令，解得：故又为正整数，所以选项C错误故选：C5、在数列中，已知，，则是数列中的（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项【答案】B【解析】令，可得：，解得或（舍）.故选：B【题组4根据递推关系求数列通项】1、在数列中，，，则等于（）A．4B．C．13D．【答案】A【解析】依题意，在数列中，，，即，所以.故选：A2、（多选）已知数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】∵，，当时，.当时，∵，两式相减得，即，∴，，…，，累乘得，∴.∴故选：AD3、已知数列满足，，则_______.【答案】50【解析】根据题意，令，得因为，所以，又，所以是首项为的常数列，故，即，故，所以.故答案为：50.4、数列满足：，，则的通项公式为_____________.【答案】【解析】由得，，则，即，又，所以.故答案为：.5、已知数列满足，则数列的通项公式为___________．【答案】【解析】当时，；当时，由，可得，两式相除得故答案为：【题组5由数列的前n项和求通项】1、已知数列的前项和，则______.【答案】7【解析】当时，；当时，.所以，所以.故答案为：2、已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于___________【答案】【解析】由得：，当时，，两式相减得：，化简整理得：，当时，，即有，解得，因此，，，，，而满足上式，所以.故答案为：3、已知数列的前n项和，则的通项公式为______.【答案】【解析】因为①，当时，当时②，①②得，经检验当时不成立，所以.故答案为：4、数列满足，则______．【答案】【解析】因为，当时，，当时，，两式相减可得，即当时，也成立，综上可知，故答案为：5、设数列{an}满足,．求a1，a2及{an}的通项公式；【答案】a1＝2，a2，；【解析】∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，当n＝1时，a1＝2，当n＝2时，a1+3a2＝4，∴a2，记数列的前n项和为则，①，∴n≥2时，，②①﹣②得：（2n﹣1）•an＝2，∴an，又n＝1时，a1＝2满足上式，∴；【题组6数列的单调性的判断】1、若，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】，所以，即，故选：B2、下列数列中，为递减数列的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，，数列为递增数列，A错误；对于B，，当时，数列递增；当时，数列递减，B错误；对于C，，数列为递增数列，C错误；对于D，，数列为递减数列，D正确.故选：D.3、已知数列中，，，则数列（）A．是递增数列B．是递减数列C．是常数列D．单调性与的值有关【答案】D【解析】因，，则，当时，，则是递减的，即数列是递减数列，当时，，，即数列是常数数列，当时，，则是递增的，即数列是递增数列.故选：D4、（多选）对于数列，令，则下列说法正确的是（）A．若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列B．若数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列C．若，则数列有最小值D．若，则数列有最大值【答案】CD【解析】若，则，，所以，所以A不正确．若，则，，所以，所以B不正确．若，则数列为单调递增数列，所以当时，取最小值.又函数在上为增函数，所以当时，数列取得最小值，所以C正确．若，则，由于函数在上是增函数．当为偶数时，，所以，当为奇数时，，显然是单调递减的，因此也是单调递减的，即，所以的奇数项中有最大值为，所以是数列中的最大值，所以D正确．故选：CD.5、（多选）已知数列满足，下列命题正确的有（）A．当时，数列为递减数列B．当时，数列一定有最大项C．当时，数列为递减数列D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项【答案】BCD【解析】当时，，知A错误；当时，，当，，，，所以可判断一定有最大项，B正确；当时，，所以数列为递减数列，C正确；当为正整数时，，当时，，当时，令，解得，则，当时，，结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；故选：BCD.【题组7