高中数学极限与函数专题复习案

高中数学极限与函数专题复习案引言极限与函数是高中数学的核心内容，也是进一步学习高等数学的基础。本专题旨在帮助同学们系统梳理函数、极限及导数的相关知识，深化对基本概念的理解，掌握常用的解题方法与技巧，提升分析问题和解决问题的能力。复习过程中，应注重概念的形成过程，关注知识间的内在联系，通过适量练习巩固所学，做到举一反三。一、函数的概念与基本性质1.1函数的定义与三要素函数的本质是两个非空数集间的一种对应关系。我们称从集合A到集合B的一个函数为f:A→B，其中A为定义域，B为值域的取值范围（值域是B的子集），对应法则f是核心。理解函数的定义，关键在于把握定义域、对应法则和值域这三要素。*定义域：函数的“生存空间”，求解时需考虑分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零、零次幂的底数不为零等基本情形，同时也要注意实际问题中的隐含限制。确定定义域是研究函数一切性质的前提。*对应法则：函数的“运作方式”，它决定了输入如何转化为输出。判断两个函数是否为同一函数，主要看定义域和对应法则是否完全一致，而与自变量所用字母无关。*值域：函数的“输出结果”集合，由定义域和对应法则共同确定。求值域的常用方法有观察法、配方法、换元法、判别式法、反函数法（若存在）以及利用函数的单调性等。1.2函数的表示方法函数的表示方法主要有解析法、列表法和图象法。解析法具有抽象概括、便于推理的特点；列表法直观具体，适用于离散数据；图象法则能清晰展示函数的变化趋势和形态特征。在复习中，要能熟练地进行不同表示方法之间的转化，特别是能根据函数解析式画出其大致图象，反之亦然。1.3函数的基本性质函数的基本性质是描述函数行为特征的重要方面，也是高考考查的重点。*单调性：函数在某个区间上的增减趋势。判断方法主要有定义法（取值、作差、变形、定号、下结论）和导数法（若函数在区间内可导，则导数大于零增，小于零减）。单调性是研究函数最值、解不等式、比较大小的重要工具。*奇偶性：函数图象的对称性。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。若f(-x)=f(x)，则为偶函数，其图象关于y轴对称；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数，其图象关于原点对称。利用奇偶性可以简化函数性质的研究，例如只研究对称区间的一半。*周期性：函数值重复出现的性质。若存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对定义域内任意x都成立，则T为函数的一个周期。三角函数是典型的周期函数。周期性有助于我们把握函数的整体变化规律。*最值：函数在给定区间上的最大值和最小值。求最值的方法通常是先判断函数在区间上的单调性，再结合端点值和极值（若有）来确定。复习建议：在回顾函数性质时，要结合具体函数的图象进行理解，做到数形结合。例如，二次函数的图象是抛物线，其开口方向、对称轴、顶点坐标直接决定了它的单调性、奇偶性（当对称轴为y轴时是偶函数）和最值。二、极限的概念与运算极限是微积分的基础，它描述了变量在某一变化过程中的终极状态。在高中阶段，我们主要学习数列极限和函数极限的初步知识。2.1数列的极限*定义：对于数列{aₙ}，如果当n无限增大时，数列的项aₙ无限地趋近于某个确定的常数A，那么就说数列{aₙ}的极限是A，记作limₙ→∞aₙ=A。这个定义是描述性的，核心在于“无限趋近”。我们可以理解为，当n足够大时，aₙ与A的距离可以小于任意给定的正数。*常见数列的极限：*limₙ→∞C=C(C为常数)；*limₙ→∞(1/nᵏ)=0(k>0)；*limₙ→∞qⁿ=0(|q|<1)。*数列极限的运算法则：若limₙ→∞aₙ=A，limₙ→∞bₙ=B，则：*limₙ→∞(aₙ±bₙ)=A±B；*limₙ→∞(aₙ·bₙ)=A·B；*limₙ→∞(aₙ/bₙ)=A/B(B≠0)。这些法则可以推广到有限个数列的情形。在运用法则时，要注意前提是各数列的极限都存在，且除法中分母的极限不为零。2.2函数的极限函数极限比数列极限更为复杂，因为自变量的变化趋势更多样。*当x趋向于无穷大时函数的极限：*limₓ→+∞f(x)=A：当x无限增大时，f(x)无限趋近于A。*limₓ→-∞f(x)=A：当x无限减小（或x的绝对值无限增大且x为负）时，f(x)无限趋近于A。*若limₓ→+∞f(x)=limₓ→-∞f(x)=A，则limₓ→∞f(x)=A。*当x趋向于某一确定值x₀时函数的极限：*limₓ→x₀f(x)=A：当x无限趋近于x₀(x≠x₀)时，f(x)无限趋近于A。这里强调x≠x₀，即函数在x₀处的极限与函数在x₀处是否有定义、以及有定义时函数值是多少无关。*左极限与右极限：limₓ→x₀⁻f(x)=A⁻(左极限)，limₓ→x₀⁺f(x)=A⁺(右极限)。函数在x₀处极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即A⁻=A⁺=A。*函数极限的运算法则：与数列极限的运算法则类似，若limf(x)=A，limg(x)=B，则lim[f(x)±g(x)]=A±B，lim[f(x)·g(x)]=A·B，lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)，前提是各极限都存在。2.3重要极限与无穷小量*两个重要极限：1.limₓ→0(sinx/x)=1。这个极限的特点是，当x趋近于0时，正弦函数与自变量x本身是等价无穷小。其结构特征可概括为“sin(方框)/方框”，当方框趋近于0时，极限为1。2.limₓ→∞(1+1/x)ˣ=e或limₜ→0(1+t)^(1/t)=e。这个极限揭示了一个重要的无理数e的来源，其结构特征是“(1+无穷小量)^(无穷大量的倒数)”，且无穷小量与无穷大量互为倒数。理解和掌握这两个重要极限的结构特征，对于解决一类极限问题至关重要。*无穷小量：极限为零的变量称为无穷小量。无穷小量不是一个很小的数，而是一个变化过程。有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量。若limα/β=1，则称α与β是等价无穷小量，记作α~β。在求极限时，等价无穷小量替换是一种非常有效的简化方法（高中阶段主要掌握sinx~x(x→0)，tanx~x(x→0)等简单情形）。2.4函数的连续性*定义：如果函数f(x)在点x₀处满足：1.f(x₀)有定义；2.limₓ→x₀f(x)存在；3.limₓ→x₀f(x)=f(x₀)，则称函数f(x)在点x₀处连续。函数在区间上连续，是指它在该区间内每一点都连续（对于闭区间端点，只需单侧连续）。*间断点：若函数f(x)在点x₀处不满足连续性定义，则称x₀为f(x)的间断点。常见的间断点类型有可去间断点（极限存在但不等于函数值或函数值不存在）、跳跃间断点（左右极限存在但不相等）、无穷间断点（极限为无穷大）等。*闭区间上连续函数的性质：闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，一定存在最大值和最小值（有界性与最值定理）；若f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0（零点存在定理/介值定理的特殊情形）。这些性质在后续的导数应用中有着重要的作用。三、导数的概念与运算导数是微积分的核心概念之一，它是函数变化率的精确描述。3.1导数的定义设函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处取得增量Δx（点x₀+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x₀处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，或y'|ₓ=x₀，dy/dx|ₓ=x₀。即：f'(x₀)=lim_{Δx→0}[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx。也可写成f'(x₀)=lim_{x→x₀}[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)。*导数的几何意义：函数y=f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)，就是曲线y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)。*导数的物理意义：若物体的运动方程为s=s(t)，则s'(t₀)表示物体在t₀时刻的瞬时速度。3.2基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则*基本初等函数的导数公式（务必熟记）：*(C)'=0(C为常数)*(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹(n∈Q)*(sinx)'=cosx*(cosx)'=-sinx*(eˣ)'=eˣ*(aˣ)'=aˣlna(a>0,a≠1)*(lnx)'=1/x*(logₐx)'=1/(xlna)(a>0,a≠1)*导数的四则运算法则：*[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)*[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)*[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²(g(x)≠0)*复合函数的求导法则：设y=f(u)，u=g(x)，且f(u)和g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的导数为dy/dx=dy/du·du/dx，即y'ₓ=y'ᵤ·u'ₓ。这一法则也称为“链式法则”，是求复杂函数导数的关键。在运用时，要分清复合层次，由外向内逐层求导。四、导数的应用导数作为研究函数的强大工具，其应用广泛且深刻。4.1利用导数研究函数的单调性函数f(x)在某个区间(a,b)内可导：*若f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增；*若f'(x)<0，则f(x)在(a,b)内单调递减；*若f'(x)=0在(a,b)内恒成立，则f(x)在(a,b)内是常函数。求解函数单调区间的步骤通常是：确定定义域->求导函数->解不等式f'(x)>0(得增区间)和f'(x)<0(得减区间)->结合定义域写出单调区间。4.2利用导数研究函数的极值与最值*极值的定义：设函数f(x)在点x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有点，都有f(x)<f(x₀)（或f(x)>f(x₀)），则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值（或极小值），x₀称为极大值点（或极小值点）。*极值的判定（第一充分条件）：设函数f(x)在点x₀处连续，且在x₀的某去心邻域内可导。*若x<x₀时，f'(x)>0；x>x₀时，f'(x)<0，则f(x₀)为极大值。*若x<x₀时，f'(x)<0；x>x₀时，f'(x)>0，则f(x₀)为极小值。*若x在x₀两侧附近f'(x)的符号不变，则f(x₀)不是极值。*极值的判定（第二充分条件）：设函数f(x)在点x₀处具有二阶导数且f'(x₀)=0，f''(x₀)≠0。*若f''(x₀)<0，则f(x₀)为极大值；*若f''(x₀)>0，则f(x₀)为极小值。*求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值步骤：1.求出f(x)在(a,b)内的所有可能极值点（导数为零的点和不可导点）；2.计算f(x)在这些极值点以及区间端点a、b处的函数值；3.比较这些函数值的大小，其中最大的即为最大值，最小的即为最小值。4.3导数在实际问题中的应用导数在解决实际问题中的最优化问题方面有着重要应用。例如，求用料最省、利润最大、效率最高等问题，通常可以转化为求函数的最值问题。解决这类问题的一般步骤是：1.分析问题，建立数学模型，设出自变量和因变量，写出目标函数；2.确定目标函数的定义域；3.求出目标函数的导数，令导数等于零，求出可能的极值点；4.根据实际意义判断该极值点是否为最值点，并求出最值。复习建议：在复习导数应用时，要深刻理解导数的几何意义和物理意义，熟练掌握利用导数研究函数单调性、极值、最值的步