控制工程基础第二章

控制工程基础第二章NJUSTZJ不抛弃,不放弃拉氏变换作用:将微分方程转换为代数方程,使求解大大简化,拉氏变换就是分析机电控制系统得基本数学方法之一。在此基础上,进一步得到系统得传递函数。2、3拉氏变换与反变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、1拉氏变换定义对于函数x(t)满足,(1)t<0时,x(t)=0

t>=0时,x(t)在每个有限区间上分段连续。

为原函数；为象函数。式中，s是复变数；(2)其中s就是正实数,即x(t)为指数级得;则x(t)得拉氏变换存在,其表达式记作:

NJUSTZJ不抛弃,不放弃1单位阶跃函数2指数函数2、3、2简单函数得拉氏变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃根据欧拉公式余弦函数3正弦函数2、3、2简单函数得拉氏变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、2简单函数得拉氏变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃4幂函数2、3、2简单函数得拉氏变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃由洛必达法则:所以:2、3、2简单函数得拉氏变换5单位脉冲函数0t

x(t)

单位脉冲函数

NJUSTZJ不抛弃,不放弃10t

x(t)

单位速度函数16单位速度函数(斜坡函数)2、3、2简单函数得拉氏变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃单位加速度函数0tx(t)7单位加速度函数2、3、2简单函数得拉氏变换大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、3拉氏变换得性质1叠加定理(线性定理)

2微分定理

3积分定理

4衰减定理

5延时定理

7终值定理

6初值定理

8时间比例尺改变得象函数(相似定理)

NJUSTZJ不抛弃,不放弃1叠加定理(线性定理)

若则2、3、3拉氏变换得性质例:NJUSTZJ不抛弃,不放弃2微分定理

推论:（1）

二阶导数得拉氏变换

(2)在零初始条件下

2、3、3拉氏变换得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃3积分定理

式中2、3、3拉氏变换得性质推论:(1)

(2)在零初始条件下

NJUSTZJ不抛弃,不放弃4衰减定理

2、3、3拉氏变换得性质例:已知

求:

NJUSTZJ不抛弃,不放弃5延时定理

2、3、3拉氏变换得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃例:求如下图得拉氏变换。

2、3、3拉氏变换得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃7终值定理

注意:运用终值定理的前提是存在。6初值定理

2、3、3拉氏变换得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃8时间比例尺改变得象函数(相似定理)

例：求的拉氏变换。

2、3、3拉氏变换得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃9的象函数

10的拉氏变换

2、3、3拉氏变换得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃12卷积分得象函数

的卷积分的数学表示为：11周期函数得象函数

2、3、3拉氏变换得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃拉氏变换得应用

1、试求2、试求的拉氏变换。3、试求的拉氏变换。4、试求图所示x(t)得拉氏变换。x(t)ta2a0NJUSTZJ不抛弃,不放弃拉氏变换得应用5、试求图所示x（t）的拉氏变换。tx(t)0TT6、(1)若初值为零，即(2)若初值不为零，即求拉氏变换。7、求的拉氏变换。设初值均为零。NJUSTZJ不抛弃,不放弃9、求其拉氏变换。拉氏变换得应用10、求其拉氏变换。8、已知试求NJUSTZJ不抛弃,不放弃简写为:2、3、4拉氏反变换定义:部分分式法求时间函数x(t):将一个复杂得象函数X(s)分解成若干个简单得有理分式函数之和,然后由拉氏变换表一一查出对应得原函数,各原函数之和即为所求得x(t)。NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、4拉氏反变换例2－3试求拉氏反变换。解:部分分式法求时间函数x(t)NJUSTZJ不抛弃,不放弃一般机电系统,通常遇到如下形式得有理分式:得零点：得极点：2、3、4拉氏反变换部分分式法求时间函数x(t)NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、4拉氏反变换用部分分式法将上式分解为若干个简单分式之和,并分三种情况讨论。NJUSTZJ不抛弃,不放弃1、只含不同单极点得情况2、3、4拉氏反变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、4拉氏反变换例2－4试求拉氏反变换。解:NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、4拉氏反变换2、含有共扼复数极点时令上式两边实部与虚部分别相等,即可求得a1和a2,

a3至an与单极点得算法一样。NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、4拉氏反变换可通过配方,化成如下正弦、余弦象函数得形式,然后求其拉氏反变换。NJUSTZJ不抛弃,不放弃例2－5试求拉氏反变换。解:令两边实部与虚部分别相等,得:2、3、4拉氏反变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃则:2、3、4拉氏反变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃3、含有多重极点时2、3、4拉氏反变换设p1为r个重根,pr+1、……

、pn为单根,则可将X(s)展成:NJUSTZJ不抛弃,不放弃根据拉氏反变换2、3、4拉氏反变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃解:2、3、4拉氏反变换例2－7试求拉氏反变换。NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、4拉氏反变换NJUSTZJ不抛弃,不放弃例2－8解方程其中，解:方程两边取拉氏变换:2、3、5用拉氏变换解常系数线性微分方程NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、3、5用拉氏变换解常系数线性微分方程

求解步骤

将微分方程通过拉氏变换变为s得代数方程;

解代数方程,得到有关变量得拉氏变换表达式;

应用拉氏反变换,得到微分方程得时域解。NJUSTZJ不抛弃,不放弃原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程2、3、5用拉氏变换解常系数线性微分方程NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、4传递函数及典型环节传递函数

拉氏变换就是求解线性常微分方程得有效工具,但求出微分方程得解后,也难以找出微分方程得系数(由系统得结构参数决定)对方程解(一般为系统得被控量)得影响得一般规律。

更重要得就是,传递函数可以用框图表示和化简,求取比微分方程更直观、方便。

经典控制理论中广泛使用得系统分析设计方法－频率法,不就是直接求解微分方程,而就是采用与微分方程有关得另一种数学模型－传递函数,间接地分析系统结构参数对系统输出得影响,使系统分析问题大为简化。另一方面,可把对系统性能得要求转化为对系统传递函数得要求,使综合设计问题易于实现。NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、4传递函数及典型环节传递函数

传递函数零初始条件:

t<0时,输入量及其各阶导数均为0;

输入量施加于系统之前,系统处于稳定得工作状态,即t<0时,输出量及其各阶导数也均为0。传递函数得定义:在零初始条件下,线性定常系统得输出象函数与输入象函数之比。NJUSTZJ不抛弃,不放弃线性定常系统得微分方程为:则在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,可得系统传递函数得一般形式:2、4传递函数及典型环节传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃一个传递函数只能表示一个输入对一个输出得关系,如果就是多输入多输出系统,可用传递函数矩阵来表示。传递函数只表示输出量与输入量得关系,就是一种函数关系。这种函数关系由系统得结构和参数所决定,与输入信号和输出信号无关。这种函数关系在信号传递得过程中得以实现,故称传递函数。性质1性质22、4、1传递函数得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃性质3传递函数就是在拉氏变换得基础上导出得,而拉氏变换就是一种线性积分变换,故传递函数得概念只适用于线性定常系统。2、4、1传递函数得性质如果G(s)已知,那么可以研究系统在各种输入信号作用下得输出响应。性质4如果系统得G(s)未知,可以给系统加上已知得输入,研究其输出,从而得出传递函数。性质5NJUSTZJ不抛弃,不放弃性质6

传递函数G(s)得拉氏反变换就是脉冲响应g(t)。

脉冲响应g(t)就是系统在单位脉冲输入时得输出响应。2、4、1传递函数得性质NJUSTZJ不抛弃,不放弃令：2、4、2传递函数得极点和零点

为传递函数得零点为传递函数得极点

则:称为系统得特征方程,其根(极点)称为系统特征根。特征方程决定着系统得稳定性。零点和极点得数值完全取决于系统得参数b和a,即取决于系统得结构参数。NJUSTZJ不抛弃,不放弃

零、极点分布图

2、4、2传递函数得极点和零点

将传递函数得零、极点表示在复平面上得图形称为传递函数得零、极点分布图。图中,零点用“○”表示,极点用“×”表示。

一般地,零点和极点可为实数(包括零)或复数。若为复数,必共轭成对出现,这就是因为系统结构参数均为正实数得缘故。NJUSTZJ不抛弃,不放弃2、4、3典型环节及其传递函数

环节具有某种确定信息传递关系得元件、元件组或元件得一部分称为一个环节。经常遇到得环节称为典型环节。

这样,任何复杂得系统总可归结为由一些典型环节所组成,从而给建立数学模型,研究系统特性带来方便,使问题简化。NJUSTZJ不抛弃,不放弃系统得传递函数可以写成:式中，为系统放大倍数。2、4、3典型环节及其传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃

由上式可见,传递函数表达式包含六种不同得因子,即:

一般,任何线性系统都可以看作就是由上述六种因子表示得典型环节得串联组合。上述六种典型环节分别称为:2、4、3典型环节及其传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃比例环节:

K一阶微分环节:

s+1二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节：2、4、3典型环节及其传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃

实际系统中还存在纯时间延迟现象,输出完全复现输入,但延迟了时间

,即xo(t)=xi(t-

),此时:或：因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节——延迟环节。2、4、3典型环节及其传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃等效弹性刚度NJUSTZJ不抛弃,不放弃复阻抗NJUSTZJ不抛弃,不放弃1比例环节实例:运算放大器,齿轮传动副,电阻(电位器),感应式变送器等。在时间域内,输出量不失真、无惯性地跟随输入量,且两者成比例关系,称为比例环节。又叫无惯性环节。2、4、3典型环节及其传递函数式中k-增益特点:输入输出量成比例,无失真和时间延迟。比例环节得传递函数为:NJUSTZJ不抛弃,不放弃z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2

R1

ui(t)uo(t)运算放大器1比例环节2、4、3典型环节及其传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃式中T-时间常数,表征环节惯性,和结构参数有关。

特点:含一个储能元件,当输入量突然变化时,由于物理状态不能突变,输出量也就不能立即复现,而就是按指数规律逐渐变化,故她得输出量得变化落后于输入量。实例:RC网络,弹簧－阻尼系统。2一阶惯性环节输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述得环节称为一阶惯性环节:2、4、3典型环节及其传递函数一阶惯性环节得传递函数为:NJUSTZJ不抛弃,不放弃如:弹簧-阻尼系统xi(t)xo(t)弹簧-阻尼系统KD2、4、3典型环节及其传递函数2一阶惯性环节NJUSTZJ不抛弃,不放弃3

微分环节2、4、3典型环节及其传递函数输出量与输入量得微分成比例得环节,称为微分环节:微分环节得传递函数为:

特点:输出就是输入得导数,即输出反映了输入信号得变化趋势,即也等于给系统以有关输入变化趋势得预告,故常用来改善控制系统得动态性能。

实例:测速发电机输出电压与输入角度间得传递函数即为微分环节。NJUSTZJ不抛弃,不放弃如:测速发电机uo(t)

i(t)测

速

发

电

机式中,k为电机常数。

无负载时:3

微分环节2、4、3典型环节及其传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃3

微分环节

微分环节得输出就是输入得微分,当输入为单位阶跃函数时,输出就就是脉冲函数,这在实际中就是不可能得。因此,具有相同量纲得理想微分环节难以实现,在实际中用来执行微分作用得都就是近似得,称为近似微分环节,其传递函数具有以下形式:

其传递函数就是微分环节得传递函数与惯性环节得传递函数相乘,当|Ts|<<1时,可近似得到理想微分环节、2、4、3典型环节及其传递函数NJUSTZJ不抛弃,不放弃3

微分环节2、4、3典型环节及其传递函数RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分电路显然,无源微分网络包括有惯性环节和微分环节,称之为惯性微分环节,只有当|Ts|<<1时,才近似为理想微分环节。NJUSTZJ不抛弃,不放弃3

微分环节一阶微分环节二阶微分环节2、4、3典型环节及其传递函数传递函数分别为:

与微分环节一样,一阶微分环节和二阶微分环节在物理系统中也不会单独