2025年大学《物理学》专业题库- 静电场中电势差和电荷分布

2025年大学《物理学》专业题库——静电场中电势差和电荷分布考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共15分。请将正确选项的代表字母填在题后的括号内。）1.在静电场中，关于电势差的说法，下列正确的是（）。A.电势差是标量，其正负取决于零势能点的选择B.电势差是矢量，其方向由电势高的地方指向电势低的地方C.电势差与电场强度的关系为E=-∇φD.电势差仅与起止点的位置有关，与路径无关2.一点电荷q位于原点，其产生的电场中，与点电荷距离为r的场点电势为φ。若将另一点电荷q'从距离点电荷为r1的地方移动到距离为r2的地方，电场力做功W等于（）。A.q'q(r2-r1)/4πε₀rB.q'q(r2-r1)/4πε₀r₁r₂C.q'φ/r₁D.q'φr₂/r₁3.下列关于电势叠加原理的说法，正确的是（）。A.只适用于点电荷产生的电场B.只适用于电荷连续分布的带电体产生的电场C.是电势的标量叠加D.是电场强度的矢量叠加4.一无限长均匀带电直线，电荷线密度为λ，其周围距直线r处的电势φ等于（）。（取无穷远处为电势零点）A.λ/(4πε₀r)B.λ/(2πε₀r)C.λlnr/(2πε₀)D.λ/(πε₀r²)5.高斯定理数学表达式为∮E⋅dA=Q_enc/ε₀，其中E是（）。A.高斯面上的电场强度B.高斯面内电荷产生的电场强度C.高斯面内外的总电场强度D.高斯面内电荷的代数和二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在题中的横线上。）6.电荷q1=4μC和q2=-2μC分别位于x轴上的x=0和x=3m处，则x=1m处的电势φ=______V。（取无穷远处为电势零点，k=9×10⁹N·m²/C²）7.一带电粒子q在电场中从A点移动到B点，电场力做正功，则该粒子电势能的变化ΔU=______。（填增加、减少或不变）8.半径为R的均匀带电球面，总电荷量为Q，其球外距球心r处的电势φ=______。（取无穷远处为电势零点）9.电荷密度为ρ的无限长均匀带电圆柱体，半径为R，其柱内距轴线r处的电场强度E=______。10.根据高斯定理，一个电场强度处处为零的区域，其内部电荷代数和一定______。三、计算题（共65分。请写出必要的文字说明、方程式和计算过程。）11.（15分）两块平行放置的无限大带电金属板A和B，相距为d，板A的电荷面密度为σ，板B的电荷面密度为-2σ。求两板之间以及两板外侧的电场强度E。（设板间为真空）12.（15分）一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为ρ，求球体内距球心r处的电势φ。（取无穷远处为电势零点）13.（15分）一半径为R的无限长圆柱体，电荷体密度沿轴线方向呈线性变化，即ρ=kr（k为常数，r为距轴线的距离），求圆柱体内部距轴线r处的电场强度E。14.（20分）一个半径为R的均匀带电球面，总电荷量为Q，球面外有一点P，距离球心为R'。求将一个电荷量为q的点电荷从无穷远处移动到P点，电场力所做的功W。（取无穷远处为电势零点）试卷答案一、选择题1.C2.B3.C4.B5.C二、填空题6.8kV7.减少8.kQ/(4πε₀r)（r>R）9.(ρπr²)/ε₀（r<R）10.等于零三、计算题11.解：两板之间，根据高斯定理，取一平行于板面的矩形高斯面，其两侧面积均为S。由于左右两侧面没有电通量，只有上下两侧面有电通量。∮E⋅dA=E(S)+E(S)=2ES=Q_enc/ε₀Q_enc=σS+(-2σS)=-σSE(S)=-σ/2ε₀所以两板之间电场强度E=-σ/2ε₀，方向从B板指向A板（即从负电荷指向正电荷）。两板外侧，由于两板电荷等量异号，可以看作一个电量为Q=σS的点电荷位于两板中间。取无穷远处为电势零点，则两板外侧任意点的电势φ=kσS/(4πε₀d)=kσd/(2ε₀d)=kσ/(2ε₀)。（方向取决于具体位置）12.解：取无穷远处为电势零点。球体内r处的电势φ_r可以通过积分电势叠加原理求得。将带电球体分成许多半径为r'、厚度为dr'的同心薄球壳。薄球壳的体积dV=4πr'²dr'薄球壳的电荷量dq=ρdV=ρ4πr'²dr'薄球壳在球体内r处产生的电势dφ_r=kdq/r=kρ4πr'²dr'/r球体内r处的总电势φ_r=∫dφ_r=∫[0tor]kρ4πr'²dr'/r=4πkρ[r'³/3]_[0tor]/r=4πkρ(r³/3)/r=kρr²/3由于ρ=Q/(4/3πR³)，所以φ_r=kQr²/(4πε₀(4/3πR³))=kQr²/(16/3πε₀πR³)=kQr²/(16πε₀R³)*3/π=kQr²/(16πε₀R³)*3π/π=kQr²/(16πε₀R³)*3=kQr²/(16ε₀R³)*3=kQr²/(16ε₀R³)*3/4*4/3=kQr²/(4πε₀R³)*3/4=(3kQr²)/(16πε₀R³)=(3Qr²)/(16πε₀R³)*(1/(4πk))=(3Qr²)/(16πε₀R³)*(ε₀/9×10⁹)=Qr²/(16π(9×10⁹)R³)*3=Qr²/(144π×10⁹R³)*3=Qr²/(432π×10⁹R³)=Qr²/(432π×10⁹R³)=Qr²/(432πε₀R³)*(1/(4πk))=Qr²/(4πε₀R³)*(1/16)*3=Qr²/(4πε₀R³)*3/16=Qr²/(16πε₀R³)*3/4=(3Qr²)/(16πε₀R³)13.解：取轴线为z轴，考察距轴线r处的场点P。根据高斯定理，取一个以P点为顶点，半径为r，高为h的同轴圆柱形高斯面。电场E与侧面的法线平行，通过侧面的电通量为E(2πrh)。两底面的电通量为零。∮E⋅dA=E(2πrh)=Q_enc/ε₀圆柱体内，包含的电荷量Q_enc=∫ρdV=∫[0toh]∫[0to2π]∫[0tor']kr''dr''dθdz=k∫[0toh]dz∫[0to2π]dθ∫[0tor']r''dr''=k[h][2π][(r'³/3)]_[0tor]=2πkh(r³/3)代入高斯定理，E(2πrh)=(2πkhr³)/3ε₀E=(khr³)/(3ε₀rh)=(kr²)/(3ε₀)方向沿径向，背离轴线（假设k>0）。14.解：方法一：电场力做功等于电势能的减少量，即W=qΔφ=q(φ_P-φ_∞)=qφ_P。先计算P点的电势φ_P。取无穷远处为电势零点。P点的电势是由两部分电荷产生的电势叠加：一是半径为R的均匀带电球面，电荷量为Q；二是半径为R的球面内部、厚度为(R'-R)的环状区域，其电荷体密度为ρ，电荷量为Q'。球面在P点产生的电势φ_1=kQ/R'环状区域的电荷量为Q'=∫ρdV=ρ∫[0toR']∫[0to2π]∫[0to2π]r''dr''dθdz=ρ[R'][2π][(r'³/3)]_[0toR']=ρ(2π)(R'³/3)=(2πρR'³)/3环状区域在P点产生的电势φ_2。可以将环看作许多细圆环叠加。取一半径为r'，宽度为dr'的细圆环，其电荷量为dq=ρ(2πr'dr')。此细圆环在P点产生的电势为dφ=kdq/R'=kρ(2πr'dr')/R'。整个环状区域在P点产生的电势φ_2=∫dφ=∫[0toR]kρ(2πr'dr')/R'=(2πkρ/R')∫[0toR]r'dr'=(2πkρ/R')[(r'²/2)]_[0toR]=(2πkρ/R')(R²/2)=πkρR²/R'=kρR²/R'由于ρ=Q/[(4/3)πR³]=3Q/(4πR³)，代入得φ_2=k(3Q/(4πR³))R²/R'=3kQR²/(4πR³R')=3kQR/(4πR²R')=3kQR/(4πR³R')P点的总电势φ_P=φ_1+φ_2=kQ/R'+3kQR/(4πR³R')=kQ/R'+3kQ/(4πR²R')=kQ/R'(1+3/(4πR²))W=qφ_P=qkQ/R'(1+3/(4πR²))方法二：直接计算电势能。电荷q