高考数学专项研究：几何知识（23）数量积专题

高考数学专项研究：几何知识（23）第六节:数量积专题对于数量积问题,除了前文提到的“回路与基底”、“建系与坐标”、“极化恒等式”等方法外,还有这两种做法:①数量积公式;②余弦定理向量式.一、数量积公式【经典例题】已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、解:设OP故PA=好题精练【例1】如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=ADA.IB.IC.ID.I解:如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AO<AF,而∠AFB=90∘,∴∠AOBOBCAcos∠AOB<0,∴I1<∴OB<∴OA⋅OB∴OA⋅OB【例2】非零向量m,n的夹角为π3,满足n=λmλ>0,向量组x1,x2,x3由一个解:设x当y当y当y又1+λ2+【例3】已知三角形ABC为直角三角形,点E为斜边AB的中点,对于线段AB上的任意一点D都有CE⋅CD=解:因为BC+AC=AB=4,所以AB=4,又因为E为斜边AB中点,所以CE=AE=BE=2,易得AB=4,CE=AE=BE=2.设θ=<CE,二、余弦定理向量式△ABC中,由cos∠BAC【例1】在三棱锥D−ABC中,AB=2,解:ACAB⋅BC⋅由①+②=-3得a2+b2【例2】在△ABC中,AB⋅AC解:由已知得bc由余弦定理得asin三、投影的应用【例1】若过点P1,1的直线l与⊙O:解:过B作直线OA的垂线,垂足为D,当OB⊥OAAB位于其他位置时,D点始终位于OA的反向延长线上,OA故OA⋅OB<0,故OA⋅OBmax=0,OA⋅OB最小值即DO的最大值,可得当所以OA进而OA⋅OB【例2】(华大联盟质检)已知平面向量a,b,c满足:解:因为a=b=2,a⋅b=−2,所以cos⟨a⋅b⟩=−12,故a和b夹角为如图易得向量c在向量a方向上的最小投影为0,最大投影为2所以a⋅c【例3】已知OA=1,OB=3,且OA,OB的夹角为150∘解:当MC与OA同向时,OC在OA上的投影最大,∴在△AOB中,∴AB=∴∴OA第七节:共线定理共线定理:①若PA=xPB+②若两向量α=x1一、基础应用【经典例题】在平行四边形ABCD中,AF=12AD,解:Ak=λAC=【同源练习】(东胜区校级一模)在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若AM解:∵M为AH的中点,且∴AH=2λAB+【强化训练】在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若两定点A,B满足OA=OB=2,（1）若λ>0,μ>∵λ+μ=λ故点P表示的区域为△OEF,此时S（2）若λ<0,μ>∵λ+μ=−λ+μ≤2,故当−同理可得:当λ>0,μ<当λ<0,μ<综上,P点表示的区域面积为23二、类型一当我们面对一道向量题时，如果已知三点共线而距离不明时，可设α【经典例题】A、B、C为圆O上不同三点,解:设OC=t【同源练习】给定两个长度为1的平面向量OA和OB,夹角为120∘,点C在以O为圆心、以1为半径的圆弧AB上运动,若OC=x解:OC=λOD=当C与AB重合时,OD当OC⊥AB时,OD好题精练【例1】如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边ABBE=2EA,AD与CE交于点O.若法一(共线向量):由A,O,D三点共线,可设由E,O,C三点共线可设则AO=1−解得μ=14则6=AB⋅AC,化简得3法二(坐标法):以点D为坐标原点,BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,不妨设B−a,E2b−a3,2c3则AB⋅AO由AB⋅AC=化简得4ab=b2【例2】在△ABC内,M为BC中点,N在边AC上,AN=2NC,AM与BN解:设AB=a又M为BC中点,∴AP=又AP=∴∴AP=【例3】在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,解:设MN与AC交于E,AC由1CM即点C到MN的距离为1,则MN是以点C的圆心的单位圆的切线,CE≥1,当CE⊥MN【例4】在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于点HA.25a−45b解:E,F分别是BC,∴存在实数m,使得AH=∵D,H,E三点共线,∴使得AH=即m=λ+μ2三、类型二当我们面对一道向量题时,如果已知三点共线而距离不明且需要和直线外第四点产生联系时,可设α【经典例题】在△ABC中,M为AB中点,AN=12NC解:AE=x好题精练【例1】在平行四边形ABCD内,O为对角线交点,E为OD中点,AE延长后交CD于F,设AC=a,解:设AF=λAE,【例2】设a+b+c=0,解:∵a+b+c=0，∴a+b=−c,又∵a−b与c的夹角为【例3】在等腰直角三角形ABC中,∠CAB=90∘,AB=2,以AB为直径在△ABC外作半圆O,P解:设AQ=λAB+1−AQ=【例4】在△DEF中