河南省信阳市2025-2026学年普通高中高三第一次教学质量检测数学含答案

★2025年10月23日

2025-2026学年普通高中高三第一次教学质量检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合A={yly=√4-x²,B={xly=log₂(x+1)(2-x)},则A∩B

A.{x10≤x<2}B.{x10≤x≤2}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.设等比数列|a的前n项和为Sₙ,若S₂=2,S₄=6,则as+a₆=

A.8B.10C.14D.18

3.函数f(x)=(x²-2x)e的图象大致是

ABCD

4.已知f(x)=4x²-kx-8在区间[5,20]上不单调，则k的取值范围是

A.k≤40B.k≥160C.40<k<160D.40≤k≤160

5.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x>0时，xf(x)+f(x)>0,则下列正确的为

A.f(-3)<3f(1)B.f(-3)>3f(1)

高三数学试题第1页(共4页)

6.已知函数的图象过原点，且无限接近于直线y=2,但不与该直线相交，则

A.a=-1,b=2B.a=-1,b=3C.a=-4,b=2D.a=-4,b=3

7.已知2,b=0.2e⁰·2,,则

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.设函数f(x)=sin(x-1)+e⁻¹-e¹⁻×-x+4则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是

A.(3,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,3)D.(-∞,1)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数f(x)=x³-3x²+1.

A.f(x)在(0,2)上单调递增B.y=f(x+1)+1是奇函数

C.过点(0,1)可作曲线y=f(x)的两条切线D.当a≥23时，f(x+a)≥f(x)恒成立

10.已知数列{a}的首项,且满足,则

A为等差数列B

C.数列\an}为递增数列D.数列的前n项和为

11.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，f(2x+1)-1是奇函数，则下列结论正确的是

A.f(1)=1B.f(0)=0

C.f(x)是以4为周期的函数D.f(x)的图象关于x=6对称

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.全称量词命题p:Vx≥1,x²-x<0,它的否定p:·

13.已知数列{a的前n项和Sₙ=(a-2)n²+n+a,n∈N.若{a}是等差数列，则{an}的通项公式为

14.已知函数f(x)=lx-ale,则f(f(x))=a至多有个实数解.

高三数学试题第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合,集合B={xlx²+x+a-a²<0}.

(1)若3x₀∈A,使得B≠Ø,求a的取值范围；

(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

16.已知定义域都为R的函数f(x)与g(x)满足：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2·3.

(1)求函数f(x)、g(x)的解析式；

(2)设,h(x)=f(2x)-2g(x)+2m-3,对于Vx₁∈R,都有3x₂∈(0,+∞),使得

p(x₁)=h(x₂),求实数m的取值范围.

17.设正项数列{aa}的前n项之和b。=a₁+a₂+…+an,数列{b}的前n项之积cₙ=b₁b₂…b₀,且b+

cn=1.

(1)求证：为等差数列，并分别求{a},{b。}的通项公式；

(2)设数列{an·ba+1}的前n项和为S,不等式.对任意正整数n恒成立，求正实数λ

的取值范围.

高三数学试题第3页(共4页)

18.设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x)·x≥0,其中f(x)是f(x)的导函数.

(1)令g₁(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N°,归纳猜想g(x)的表达式(不用证明);

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求a的取值范围；

(3)比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并证明.

19.已知函数f(x)=x(e*-1)-ax².

(1)若,求f(x)的单调区间；

(2)定义函数y=f(x),对于数列{an}、{b,若an=f(n),f(b₀)=n,则称{a}为函数y=f(x)的

“生成数列”,{bn}为函数y=f(x)的一个“源数列”.

①已知f(x)=e,{bn}为函数y=f(x)的“源数列”,求证：对任意正整数n,均有b,≤(n-1)²;

②已知f(x)=2ˣ+x,{a}为函数y=f(x)的“生成数列”,{b为函数y=f(x)的“源数列”,{an}与

{ba}的公共项按从小到大的顺序构成数列{ca},试问在数列{cn}中是否存在连续三项构成等比数

列?请说明理由.

高三数学试题第4页(共4页)

2025-2026学年普通高中高三第一次教学质量检测

数学参考答案

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.A【解析】对于集合A,由4-x²≥0,得-2≤x≤2,则0≤4-x²≤4,即0≤√4-x²

≤2,则A={y10≤y≤2},对于集合B,由(x+1)(2-x)>0,得-1<x<2,则B=

{x}-1<x<2},所以A∩B={x10≤x<2}.故选：A.

2.A【解析】等比数列{a中，S₂,S₄-S₂,S₆-S₄成等比数列，2,4,S₆-S₄成等比

数列，∴S₆-S₄=8=a₅+a₆,故选：A.

3.B【解析】∵f(x)=(x²-2x)e*,∴f(x)=(x²-2x)eˣ>0,解得x>2或x<0;f(x)

=(x²-2x)e*<0,解得0<x<2;所以排除选项C.∵f(x)=(x²-2x)e*,∴f(x)=

(2x-2)eˣ+(x²-2x)eˣ=(x²-2)e*,当x<-√2或x>√2时，f'(x)>0,f(x)在(-

∞,-√2)和(√2,+∞)上是增函数；当-√2<x<√2时，f(x)<0,f(x)在(-√2,

√2)上是减函数；所以排除选项A和D,选择B.故选：B

4.C【解析】依题意，5<k<160,∴40<k<160.故选C

5.D【解析】令函数g(x)=xf(x),而函数f(x)是偶函数，则g(-x)=-xf(-x)=-xf

(x)=-g(x),即函数g(x)是奇函数，当x>0时，求导得g'(x)=xf(x)+f(x)>0,

即函数g(x)在上(0,+∞)递增，则g(x)在(-∞,1)上递增，因为-3<-1,所以g

(-3)<g(-1),即-3f(-3)<-f(-1)=-f(1),所以,虽然3f

(1),但不能确定f(-3)与3f(1)的大小，故ABC错误，D正确.故选：D.

6.C【解析】依题意，,b=2,解得a=-4,b=2.故选：C.

7.A【解析】b=0.2e⁰.²=e⁰.²lne⁰.2,1.2=1.2ln1.2,令f(x)=xlnx,则，f(x)

=lnx+1,当时，f(x)<0,当时，f(x)>0,所以函数f(x)在

上递减，上递增，令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1,当x<0

时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(-∞,0)上递减，在(0,+

高三数学答案5第1页(共8页)

∞)上递增，所以g(0.2)>g(0)=0,即,所以f(e°.²)>f(1.

2),即e⁰.²lne⁰²>1.2ln1.2,所以b>a.由b=0.2e°.²,得l

,由,得,因为

,所以,所以lnc-Inb>0,即lnc>Inb,所以c

>b,综上所述a<b<c.故选：A

8.B【解析】假设g(x)=sinx+e-e⁻×-x,x∈R,所以g(-x)=sin(-x)+e⁻×-e

+x,所以g(x)+g(-x)=0,所以g(x)为奇函数，而f(x)=sin(x-1)+e-¹-e¹-x

-x+4=sin(x-1)+e*-¹-e¹⁻×-(x-1)+3=g(x-1)+3,则其图象是g(x)的图

象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，所以f(x)的对称中心为

(1,3),所以f(x)+f(2-x)=6,因为g(x)=sinx+e*-e⁻*-x,x∈R,所以g'(x)=

cos+e+e⁻×-1,易得e+e⁻*≥2√e·e×=2,当且仅当x=0时等号成立，而-1

≤cosx≤1,则-2≤cosx-1≤0,所以g'(x)=cosx+e+e⁻*-1≥0恒成立，即在R

上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，因为f(x)+f(3-2x)<6=f(x)+f(2-

x)得f(3-2x)<f(2-x),所以3-2x<2-x,解得x>1.故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.BCD【解析】对A,由题知f(x)=3x²-6x=3x(x-2),由3x(x-2)<0解得0<x

<2,所以f(x)在(0,2)上单调递减，错误；对B,记g(x)=f(x+1)+1=(x+1)³-

3(x+1)²+2=x³-3x,则g(-x)=(-x)³-3(-x)=-(x³-3x)=-g(x),所以

y=f(x+1)+1为奇函数，正确；对C,设切点坐标为(xo,yo),则切线斜率为k=3x₀

(x。-2),且y。=x³-3x2+1,所以切线方程为y-(x³-3x2+1)=3x₀(xo-2)(x-

xo),又切线过点(0,1),所以,整理得

(2x₀-3)=0,解得x₀=0或,所以过点(0,1)可作两条直线与曲线y=f(x)

相切，正确；对D,记h(x)=f(x+a)-f(x)=(x+a)³-3(x+a)²+1-(x³-3x²+

1)=3ax²+(3a²-6a)x+a³-3a²,当a>0时，若3ax²+(3a²-6a)x+a³-3a²≥0

恒成立，则(3a²-6a)²-12a(a³-3a²)≤0,解得a≥2√3,所以a≥2√3时，f(x+a)≥

f(x)恒成立，正确.故选：BCD

高三数学答案5第2页(共8页)

10.BCD【解析】由,贝,即

为等比数列，故A错误；由,所以是首项为

公比为的等比数列，则,整理得,故B正确；

由得,则数列{an}为递增数列，故C正确；由得

,数{2n-1}列为首项为1,公差为2的等

差数列，则数列{2n-1}的前n项和,设数列的前n

项和

,即

所以,所以前n项和为,故D正确，故选：BCD.

11.ACD【解析】因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)=f(-x).因为

f(2x+1)-1是奇函数，所以f(-2x+1)-1=-[f(2x+1)-1]=-f(2x+1)+

1,将x换,则有f(x)-1=-f(2-x)+1→f(x)f(2-x)=2,A:令x=1,所

以f(1)+f(1)=2→f(1)=1,因此本选项正确；B:因为f(x)+f(2-x)=2,所以

函数f(x)关于点(1,1)对称，由f(x)+f(2-x)=2,可得f(O)+f(2)=2,f(2)的

值不确定，因此不能确定f(0)的值，所以本该项不正确；由f(x)+f(2-x)=2,可

得f(4)+f(-2)=2.C:因为f(x)+f(2-x)=2,所以f(x+2)+f(-x)=2→f(x

+2)+f(x)=2→f(x+4)+f(x+2)=2,所以f(x)=f(x+4),因此f(x)是以4为

周期的函数，因此本选项正确；D:因为f(x)+f(2-x)=2,所以f(2+x)+f(-x)

高三数学答案5第3页(共8页)

=2→f(2+x)+f(x)=2,因此有f(2+x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于x

=2对称，由上可知f(x)是以4为周期的函数，所以f(x)的图象也关于x=6对

称，因此本选项正确.

三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分

12.

13.an=-4n+3

【解析】由Sₙ=(a-2)n²+n+a知，当n=1时，a₁=S₁=2a-1;当n≥2时，a=S,

-Sn-1=2(a-2)n+(3-a),此时，当n=2时，a₂=4(a-2)+(3-a)=3a-5,

当n≥2时，an+1-a=2(a-2),而a₂-a₁=3a-5-(2a-1)=a-4,若数列{a

是等差数列，则2(a-2)=a-4,所以a=0,则an=-4n+3.故答案为：a=-4n

+3.

14.7【解析】由f(x)=lx-ale可得f(x)>0,由f(f(x))=a知a≥0,f(0)=a当x

≤a时，f(x)=(a-x)e*,f(x)=(a-x-1)e*,当x≤a-1时，f(x)≥0,f(x)在

[-∞,a-1]单调递增，当a-1<x≤a时，f(x)<0,f(x)在[a-1,a]单调递减，

当x>a时，f(x)=(x-a)e*,f(x)=(x-a+1)eˣ>0,f(x)在(a,+∞)单调递增，

则可作出函数f(x)=lx-ale的大致图像如图：

y

f(x)

木y=a

a-10x

图1图2图3

三个图分别对应a=1,a<1,a>1时的情况，设t=f(x),则f(f(x))=a即f(t)=

a,则f(t)=a的解的个数问题即为y=f(t),y=a的交点个数问题，结合f(x)=Ix

-ale*的图象可知y=f(t),y=a的交点个数最多是3个，即为图2个和图3所示

情况，不妨设交点横坐标为t₁,t₂,t₃,t₁<t₂<t₃,当如图2所示时，t₁<0,t₂=0,t₃>

0.此时t₁=f(x)无解，t₂=f(x)有1个解，t₃=f(x)最多有3个解，故此时最多有4

个解；当如第3个图所示时，t₁=0,0<t₂<a,t₃>a,此时t₁=f(x)有一个解，t₂=f

(x)最多有3个解，t₃=f(x)最多有3个解，故此时最多有7个解.

四、解答题，本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或运算步骤

15.解：(1)集合

高三数学答案5第4页(共8页)

若存在xo∈A,使得B≠Ø,只需集合B在(-1,3)内有解，

即a²-a大于y=x²+x在(-1,3)内的最小值，………………3分

因为y=x²+x上单调递减，在|上单调递增，

所以y=x²+x在(-1,3)内的最小值为…………………5分

所以,解得,所以的范围……6分

(2)由(1)得，A=(-1,3),B={xl(x+a)(x+1-a<0)},7分

因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，

所以A是B的真子集，分类讨论如下：

当-a=a-1,即时，B=Ø,不符题意；……………8分

当-a<a-1,即时，B={xl-a<x<a-1},

此时(等号不同时成立),解得a≥4,时，满足A是B的真子集；……

…………10分

当-a>a-1,即时，B={xla-1<x<-a},

此(等号不同时成立),解得a≤-3时，满足A是B的真子集，…

…………12分

综上，a≥4或a≤-3时，满足“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.………13分

16.(1)因为f(x)+g(x)=2·3①,所以f(-x)+g(-x)=2·3*,

f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，故f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

故f(x)-g(x)=2·3×②,……………4分

故①+②得f(x)=3*+3*,则g(x)=2·3*-3*-3⁻×=3*-3⁻*,…………6分

(2)对于Vx₁∈R都有3x₂∈(0,+∞),使得p(x₁)=h(x₂),

则p(x)在R上的值域为h(x)在x∈(0,+∞)上的值域的子集，……………8分

其中

因为3*+2>2,

高三数学答案5第5页(共8页)

所以p(x)在R上的值域为(-1,1),…………10分

h(x)=f(2x)-2g(x)+2m-3=3²+3-²-2·3*+2·3*+2m-3=(3*-3⁻x)²

-2(3*-3*)+2m-1,

令3*-3⁻×=t,显然t=3*-3*在x∈[0,+∞]上单调递增，

所以t=3*-3⁻×∈(3°-3-°,+∞)=(0,+∞),

故h(x)=r(t)=t²-2t+2m-1=(t-1)²+2m-2,

当t=1时，r(t)=(t-1)²+2m-2取得最小值，最小值为2m-2,

故h(x)在x∈(0,+∞)上的值域为[2m-2,+∞]…………14分

所以(-1,1)(2m-2,+∞),故2m-2≤-1,解得……………15分

17.解：(1)由题意知c,>0,且当时

所以由b,+cn=1………………2分

,由得,即

所以是以2为首项，1为公差的等差数列，……………4分

,所以…………5分

当n≥2时，

当n=1时符合上式，所以……7分

(2)由(1)得,所以S,为单调递增数列，所以S≥S₁,所以当

n=1时，S。取最小值，即最小值为S₁=a₁…………11分

因为不等式对任意正整数n恒成立，

,即2x²-5λ+2<0,又λ>0,

所以解所以λ的取值范围……15分

高三数学答案5第6页(共8页)

18.解：(1)由题意

,归纳得…………………4分

贝

①当a≤1时，h'(x)≥0在[0,+∞]上恒成立，

所以h(x)单调递增，h(x)≥h(0)=0,符合题意………………7分

②当a>1时，在(0,a-1)上h'(x)<0,h(x)单调递减，

则h(a-1)<h(0)=0,不符合题意.…………………9分

综上所述，a的取值范围为[-∞,1].………………10分

3

………………12分

而n-f(n)=n-ln(1+n),故只需比?与ln(1+n)的大小.

设数列{an,{b„}的前n项和分别为Sₙ,T,且,T=In(1

+n).

则易求得

故只需比?与…………14分

利用(2)中的结论，令a=1,可知In(1+x)>1(x>0),………………15分

令,得,于是累加

则g(1)+g(2)+…+g(n)>n-f(n).……17分

高三数学答案5第7页(共8页)

19.(1)当时