2026年高考数学一轮复习专题8.7 抛物线（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题8.7抛物线（举一反三讲义）

【全国通用】

【题型1抛物线的定义及其应用】...........................................................................................................................3

【题型2抛物线的标准方程】...................................................................................................................................5

【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】...............................................................................................................7

【题型4抛物线的轨迹方程】...................................................................................................................................8

【题型5抛物线上的点到定点的距离及最值】.....................................................................................................10

【题型6抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】.................................................................................12

【题型7抛物线的焦半径公式】.............................................................................................................................15

【题型8抛物线的几何性质】.................................................................................................................................17

【题型9抛物线中的三角形（四边形）面积问题】.............................................................................................19

【题型10抛物线的实际应用】...............................................................................................................................22

1、抛物线

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5

分

2023年全国乙卷（文数）：第抛物线的方程及其性质是圆锥曲线

13题，5分中的重要内容，抛物线及其性质是高考

(1)掌握抛物线的定义、几何2023年北京卷：第6题，4分数学的热点问题.从近几年的高考情况

图形、标准方程2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6来看，主要考查抛物线的定义、标准方

(2)掌握抛物线的简单几何性分程、几何性质、面积问题等内容，在选

质(范围、对称性、顶点、离2024年北京卷：第11题，5分择、填空、解答题都可能出现，解题思

心率)2025年全国一卷：第10题，6路和解题步骤相对固定，强调通性通法，

(3)了解抛物线的简单应用分选择、填空题中难度不大，解答题中难

2025年全国二卷：第6题，5度偏大，一般以第一小问考查抛物线的

分方程或轨迹问题，需要灵活求解.

2025年北京卷：第11题，5分

2025年天津卷：第9题，5分

知识点1抛物线的方程及其性质

1．抛物线的定义

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛

物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

图形

顶点(0,0)(0,0)

轴对称轴y=0对称轴x=0

焦点

准线

离心率e=1e=1

开口开口向右开口向左开口向上开口向下

焦半径

范围x≥0x≤0y≥0y≤0

3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.

知识点2抛物线标准方程的求解方法

1．抛物线标准方程的求解

待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的

类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

知识点3抛物线的焦半径公式

1．焦半径公式

设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.

(1)抛物线：，；

(2)抛物线：，；

(3)抛物线：，；

(4)抛物线：，.

注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公

式.

知识点4与抛物线有关的最值问题的解题策略

1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三

角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.

(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线

段最短”原理解决.

2．与抛物线有关的最值问题的求解策略

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何

法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值

的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.

【方法技巧与总结】

1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

2．抛物线上一点P到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.

【题型1抛物线的定义及其应用】

【例1】（2025·重庆·三模）已知A为抛物线C：＞上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x

2

轴的距离为2，则p=（）�=2𝑝(�0)

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【解题思路】根据抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出抛物线的准线方

程，再结合点到焦点和轴的距离建立等式，进而求出的值.

���

【解答过程】对于抛物线，其准线方程为.

2�

�=2𝑝(�>0)�=−2

已知点到的焦点的距离为，由抛物线的定义可知，点到准线的距离也为.

又因为点�到�轴的距离为，4所以点到准线的距离为点�到轴的距离加上，4即.

��

��2���22+2=4

对进行求解，移项可得，解得.

��

2+2=42=4−2=2�=4

故选：C.

【变式1-1】（2025·吉林·三模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）

2

A．3B．4�:�C．=58��D�．�6,4���=

【答案】B

【解题思路】先根据点在抛物线上求出的值，再根据抛物线的定义求出的值.

【解答过程】已知点�在抛物线�上，可得，解得|��.|

22

在抛物线中�(，�,焦4)点的坐标�为:�=8，�准线方程4为=8�.�=2

2

由抛物线的�:定�义=可8�知，抛物线�上的点到焦(2,点0)的距离等于到准�=线−的2距离.

所以点到准线的距离为，即.

故选：B�.2−(−2)=4|��|=4

【变式1-2】（2025·陕西安康·三模）已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离

2

为（）�=16�����

A．B．C．2D．4

【答案】B2242

【解题思路】由抛物线的定义确定坐标，即可求解.

【解答过程】由抛物线方程可得：抛�物线的准线方程为：，

由抛物线的定义可得：点到准线的距离为6，�=−4

所以点纵坐标为，代入�抛物线方�程=−可4得：，

2

得：�，2�=32

所以点�=±到4轴2的距离为，

故选：B�.�42

【变式】（湖南长沙一模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，

1-32025··2

�

4

垂足为.若，则（）�:�=������

A．�2|��|=|��B|．|��|=C．4D．

323

【答案】C

【解题思路】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求.

【解答过程】由抛物线的定义知△�，�又�，��

所以为等边三角形，|��|=|��|为准|�线�与|=轴|�的�|交点)，

∘

抛物线△���的焦点，准∠�线��=30，(�，�

2

�

�=4�0,1�:�=−1�=2

故，

���

∘

sin∠���sin30

故∣��∣=.==2�=4

��=4

故选：C.

【题型2抛物线的标准方程】

【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线

上，则抛物线C的标准方程为（）�+2�−

6=A0．B．

22

C．�=−12�D．�=8�

22

【答案】�D=−12��=12�

【解题思路】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程．

【解答过程】直线与y轴的交点为，

所以抛物线C的焦�点+为2�−6，=故0，解得0，,3

�

0,32=3�=6

所以抛物线C的标准方程为．

2

故选：D．�=12�

【变式2-1】（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（）

A．B．C．�=4D．

2222

【答案】D�=8��=−8��=16��=−16�

【解题思路】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解.

【解答过程】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为.

2

�=−2𝑝(�>0)

因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为．

�2

�=42=4�=8�=−16�

故选：D.

【变式2-2】（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（）

A．B．(2,2)C．D．

2222

【答案】A�=2��=�+2�=2��=�+2

【解题思路】由抛物线的标准方程，代入可得结果.

【解答过程】由题意可知，抛物线C的方(程2,2为)，

2

将代入，可得，故抛物线�C的=方2�程�为.

22

故选(2,：2)A.�=2���=1�=2�

【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、

2

B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若�=2��(�>0)，则此抛物线的�方程为（）

𝐴���=2��,𝐴=3

A．B．

23�2

�=2�=9�

C．D．

29�2

�=2�=3�

【答案】D

【解题思路】过点作准线的垂线，设，得到，结合抛物线的定义，求得，再

由，列出�方,�程求得的值，即可求�解�.=���=3+3��=1

【解�答�/过/�程�】如图所示，分别�过点作准线的垂线，垂足为，

设，则�，�

由抛��物线=的�定义得��=2��=2�，

在直角中，可�得�=��=�，所以，

𝐵1∘

在直角△�𝐵中，因为sin∠�𝐵，=可得��=2∠�，𝐵=30

由△�𝐴，所以𝐴=3，解得��=3，+3�

��=2𝐴3+3�=6�=1

因为，所以，解得，所以抛物线方程为.

12�32

𝐵//𝐹�=3��=2�=3�

故选：D.

.

【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】

【例3】（2025·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程

2

为（）�:�=𝑝(�≠0)(0,−1)

A．B．C．D．

【答案】D�=2�=1�=2�=1

【解题思路】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程.

【解答过程】因为抛物线的焦点坐标为，

2

所以抛物线方程为�:�，=𝑝(�≠0)(0,−1)

2

准线方程为.�=−4�

故选：D.�=1

【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）抛物线的焦点坐标是（）

12

�=8�

A．B．C．D．

【答案】A(0,2)(0,−2)(−2,0)(2,0)

【解题思路】变形得即可判断焦点坐标.

2

�=8�

【解答过程】，即，则，则其焦点坐标为.

122

�=8��=8��=4(0,2)

故选：A.

【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线恰好经过圆的圆

222

心，则的准线方程为（）�:2�+𝑝=0�:�−1+�+2=1

A．�B．C．D．

1111

�=2�=−2�=8�=−8

【答案】C

【解题思路】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线

的准线方程.�

【解答过程】圆的圆心为，

将圆心的坐标�代入抛物线�的1方,−程2得，解得，

2

故抛物线�的方程为，标准2×方1程为−2�=0，�=1

221

�2�+�=0�=−2�

则，所以，，故抛物线的准线方程为.

1�11

2�=22=8��=8

故选：C.

【变式3-3】（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线的焦点为F，第一象限的点

2

在抛物线上，且�:�=2𝑝(�>．0若)，则抛物线C的准线方程为

（��）1,�1,��2,�2��=��+3,��=32�1+�2=6

A．B．C．D．

3

�=−2�=−3�=−1�=−2

【答案】A

【解题思路】根据题意结合抛物线的定义可得，再根据两点间距离公式可得，最后

2

代入方程作差可得，即可得结果.�1−�2=3�1−�2=9

【解答过程】因为�=3，则，可得，

��

��=��+3�1+2=�2+2+3�1−�2=3

又因为，可得，

2222

��=�1−�2+�1−�2=�1−�2+9=32�1−�2=9

且，两式相减得，即，

2

�1=2𝑝122

2�1−�2=2��1−�2�1+�2�1−�2=2��1−�2

平方�可2=得2𝑝2，

2222

且�1+，�可2得�1−�2=4��1，−即�2

22

且�1+�，2=即6，36×9=4�×9�=9

�>0�=3

所以所求准线方程为.

3

�=−2

故选：A．

【题型4抛物线的轨迹方程】

【例4】（2025·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲

线，则曲线的方程为（）�(2,0)���=−2�

ΓA．ΓB．C．D．

2222

�=2��=4��=8��=12�

【答案】C

【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.

【解答过程】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，

所以点的轨迹是以为�焦点的�抛物线，所以的方�程=为−2，故C正确.

2

故选：C�.(2,0)Γ�=8�

【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴

上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方�(程0,为5)（,�(�,）0),�(0,�)

A．B．�,�

22

C．�=5�(�≠0)D．�=5�(�≠0)

22

【答案】�D=−5�(�≠0)�=−5�(�≠0)

【解题思路】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程.

【解答过程】由圆心在y轴上的圆��E⊥经�过�点，得线段为圆的直径，

而点在轴上，则，又�(0,5),�(�,0),�(0，,�)���

于是����⊥��，而��不=重(�合,−，5即),��=，(�,−�)

2

所以�M�点⋅�的�轨=迹�方+程5�为=0�,�.�≠0

2

故选：D.�=−5�(�≠0)

【变式4-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动

点的轨迹方程是．2,0�=−1

【答�案】

2

【解题思路�】=先8�根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹

方程．�

【解答过程】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，

由抛物线定义知动点的轨迹�方程为焦点在2x,0轴上的抛物线，且焦点�为=−2，则，.因此轨迹方程

�

为：．�2,02=2�=4

2

故答案�为=：8�.

2

【变式4-3】�（2=0284�·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段

为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为.𝑥��1,0,���

【答案】��Γ

2

【解题思路�】=设4�，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程．

�(�,�)��

【解答过程】设，可得以线段为直径的圆的圆心为，

�+1�

�(�,�)��2,2

半径为，

�−12�2

由以线段�=为直2径的+圆2与轴相切，

���

可得，整理得．

22

�+1�−1�2

故答案2为：=2．+2�=4�

2

�=4�

【题型5抛物线上的点到定点的距离及最值】

【例5】（2025·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（）

2

A．2B．C．4�=4�D�．4,0��

【答案】D2223

【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值

【解答过程】设，

2

�

�4,�

则，

22422

�2�2�

当且��仅当=4−4时+，�等=号成1立6−．�+16=4−2+12≥23

故选：D．�=±22

【变式5-1】（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）设为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛

2

物线上.若，则（）����=8��

A�．��=5B．��9=C．3D．

【答案】D6633

【解题思路】设，先由抛物线定义和解出，得到点坐标，再由两点间距离公式求出

即可.��0,�0��=5�0���

【解答过程】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为.

2

设，因为�，�所=以8由�抛物线定义�可(2知,0)，解得�=−2，

因为�点�0,�在0抛物线�上�，=所5以，�所0+以2=5�，0=3

2

���0=8�0=8×3=24�(3,±26)

所以.

22

00

故选：��D.=�+�=9+24=33

【变式5-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到

直线的距离小2，则的最小值为（）�:�=−5�(3,0)�(4,1)��

�|��|+|��|

A．4B．6C．7D．8

【答案】C

【解题思路】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物

线的几何性质转化线段可求和的最小值.

【解答过程】方法一：设点，直线，

动点到点的距离比到直�(线�,�的).距∵离�小(32,0，)�:�=−5

���，化简得，

222

∴即点(�的−轨3)迹+是(以�−0)+为2焦=点|�，−以(直−线5)|为准�线=的12抛�物线．

方法二�：设�(3点,0)，直线�=−，3

动点到点�的(�距,�离).比∵到�直(3线,0)的距离小�:�=−5

动点�到点�的距离等于到直�线2的,距离，

∴点的�轨迹是�以为焦点，�以=直−线3为准线的抛物线，

∴即抛�物线方程为�(3,0)．�=−3

2

�=12�

如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得，

则�，当�三点共线时，|��|=|��|

|��|+|�取�|得=最|�小�|值+，|�最�小|值为�,�,�．

|故��选|：+C|�．�||��|=4+3=7

【变式5-3】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线，点在抛物线上，点，

2

若P点是抛物线上的动点，则的最小值为()�=2𝑝�>0�4,4�0,3

A．8B．��C．9D．3

【答案】B22

【解题思路】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即

可.�4,4�=2��0,�0

【解答过程】因为点在抛物线上，所以，解得，

2

所以抛物线方程为�4,4，设，4=2�⋅4�=2

2

�=4���0,�0

则，

2222222

所以��=的�最0+小值�0为−3.=�0+�0−6�0+9=�0−2�0+9=�0−1+8≥8

故选：��B.22

【题型6抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】

【例6】（2025·海南儋州·模拟预测）已知，，P为抛物线上一动点，则

52

的最小值为（）�(1,4)�(0,4)�=�−2�+2��+��

A．B．C．D．5

91113

444

【答案】C

【解题思路】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线的焦点坐标为，准线方

25

(�−1)=�−1�(1,4)

程为，过点作，根据抛物线的定义，得到，结合，即

3

�:�=4���⊥���=����+��=��+��

可求解.

【解答过程】由抛物线，即，

222

又由抛物线表示�开=口�向−上2，�且+2焦=点(为�−1)，+准1线方(程�−为1)=�，−1

211

�=�(0,4)�=−4

将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到，

22

所以抛物线�=�的焦点坐标为，准线方程为(�，−1)=�−1

253

因为点是抛(�物−线1)=�−1上任意点�，(1,则4)点到焦点的距�:�离=等4于点到的距离，

2

如图所示�，过点(作�−1)=，�可−得1，����

所以���⊥���=��，当且仅当三点共线时，等号成立，

313

��+��=��+��≥4−4=4�,�,�

所以的最小值为.

13

��+��4

故选：C.

【变式6-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线

2

上的动点，设点M到y轴的距离为d，�则:�=4�的最小值为（）�:�+

3�A+．31=0B．2C．3|��|+�D．4

【答案】A

【解题思路】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可

求得最小值.�,�,�

【解答过程】

因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图

2

所示，则�:�=4�,，∴�(1,0)，��1�1�

则|��|=|��|�=|��|−1，

|1+0+3|

122

|��|+�=|��|+|��|−1=|��|+|��|−1≥��−1=1+3−1=1

当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立.

故选：�A．�1���1

【变式6-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点

2

到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）��=4��0,2

�A．B．3C．D．

9

2252

【答案】C

【解题思路】利用抛物线定义将点到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于

�

第三边且三点共线时能取得最值，即得结果.

【解答过程】依题意，抛物线中，，点到准线的距离，

2

故点到点的距离与�到=该4抛�物线�准1线,0的距离�之和为：��=��

�0,2���，

22

当��且仅+当��A,P=,F�三�点+共�线�时≥等号��成=立.1+2=5

所以的最小值为.

故选：��C.+��5

【变式6-3】（2025·江西萍乡·一模）设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F

2

作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点�，:�则=16�的最小值为（）�(3,4)

A．B．6C．|��|+|��|D．7

1113

22

【答案】C

【解题思路】分析点的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可得.

【解答过程】，�因为，垂足为，

所以点的轨�迹(0是,4以)FA为直��径⊥的�圆（不包�括F，A两点），

半径�，圆心为，又因为在拋场线上，

1332

其准线�=为2直|�线�|=2，过点�作2准,4线的垂线，�垂足为，�:�=16�

则�=−4�，�

当��+|�四�点|=共|�钱�且|+在|��点|≥下|方��时|取等号，

�,�,�,���

.

313

(��+��|)min=|��−�=8−2=2

故选：C.

【题型7抛物线的焦半径公式】

【例7】（2025·广东佛山·三模）已知抛物线：＝上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若

2

，则的值为（）Γ�2���>0�Γ�

��A=．518�B．9C．4D．2

【答案】D

【解题思路】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案.

【解答过程】由抛物线定义得，

�

�

又，解得．�+2=��=5

故选��：=D4.�=2

【变式7-1】（2025·北京海淀·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，，

23

0

则（）�:�=2���>0��2,����=2

0

�A．=1