2026年高考数学一轮复习专题8.6 双曲线（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题8.6双曲线（举一反三讲义）

【全国通用】

【题型1双曲线的定义及其应用】...........................................................................................................................4

【题型2双曲线的标准方程】...................................................................................................................................6

【题型3曲线方程与双曲线】...................................................................................................................................8

【题型4求双曲线的轨迹方程】.............................................................................................................................10

【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】.....................................................................................................13

【题型6双曲线中的焦点三角形问题】.................................................................................................................14

【题型7双曲线的渐近线方程】.............................................................................................................................17

【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】.........................................................................................................19

【题型9与双曲线有关的最值问题】.....................................................................................................................21

【题型10双曲线的实际应用】...............................................................................................................................23

1、双曲线

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第16题，5

分

2023年全国甲卷（文数）：第8双曲线的方程及其性质是圆锥

题，5分曲线中的重要内容，是高考命题的重

(1)了解双曲线的定义、几何图2023年北京卷：第12题，5分点内容.从近几年的高考情况来看，

形和标准方程2023年天津卷：第9题，5分主要考查双曲线的定义、方程与简单

(2)掌握双曲线的几何性质(范2024年新高考I卷：第12题，5几何性质等知识，主要以单选题、多

围、对称性、顶点、渐近线、分选题、填空题的形式出现，难度不大，

离心率)2024年全国甲卷（理数）：第5复习时要加强这方面的训练.

(3)了解双曲线的简单应用题，5分与向量等知识结合综合考查也

2025年全国一卷：第3题，5分是高考命题的一个趋势，需要学会灵

2025年全国二卷：第11题，6分活求解.

2025年北京卷：第3题，4分

2025年天津卷：第9题，5分

知识点1双曲线的方程及其性质

1．双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双

曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2．双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

双曲线在坐标

系中的位置

标准方程

焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系

3．双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

图形

标准方程

范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)

半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b

离心率

渐近线方程

4．双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.

知识点2双曲线方程的求解方法

1．双曲线方程的求解

(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.

(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，

b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或

，再根据条件求解.

(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.

知识点3双曲线的焦点三角形

1．双曲线的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，

如图所示.

(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法

方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；

②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；

④利用公式，求得面积.

方法二：利用公式，求得面积.

(3)焦点三角形的常用结论

若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其

中θ为.

知识点4双曲线的离心率或其范围的解题策略

1．求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.

知识点5双曲线中的最值问题的解题策略

1．双曲线中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何

法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一

个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三

角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

【方法技巧与总结】

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.

4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).

【题型1双曲线的定义及其应用】

【例】（高二下河南阶段练习）双曲线：上的点到右焦点的距离为，则它到左焦

124-25··2219

��

点的距离为（）�25−144=1�

A．9B．7C．9或29D．7或19

【答案】C

【解题思路】根据双曲线的定义来求解点到左焦点的距离.

【解答过程】对于双曲线，�可得，则

22.

��2

设双曲线的左右焦点分别�为:25−144，=已1知点到�右=焦2点5的�距=离5为19，即.

根据双曲线的定义�1,�2�，则有�2.|��2|=19

||��1|−|��2||=2�=10|��1−19|=10

可得或.

当��1−19=1时0，��1−19=−10；

当��1−19=10时，��1=10+19=29.

所以��点1−到1左9焦=点−1的0距离为��1或=−1.0+19=9

故选：C�.929

【变式】（北京模拟预测）双曲线：，焦距为，左右焦点分别为，，

1-12025··2210M

��

2

�1612

为E上一点满足，则（�）−=1�>0��

A．13��1B=．71或1�3�2=C．10D．4或10

【答案】A

【解题思路】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案.

【解答过程】由题意知双曲线：，焦距为，

2210

��

2

故，则��−16=1�>0，

222

由2�=10,�=5�=�，−�=25−，1得8=9,∴�=或3，

结合��1−��2=2�=6，则�M�1在=双7曲线左�支�上2，=1��2=13

由于��1=7<�，+故�=8，

故选：1A<.�+�=8��2=13

【变式】（高二上云南曲靖期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为，那么点

1-224-25··24

2�

到另一个焦点的距离为（）�−16=1�

�A．2B．6C．2或6D．4

【答案】B

【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.

【解答过程】双曲线，�

2.

2�

设双曲线的两个焦点�为−16，=1，已�知=1，由双曲线定义，即

.�1�2|��1|=4||��1|−|��2||=2�=2×1=2|4−

|当��2||=2时，可得；

当4−|��2|=2时，可得|��2|=4−2=2.所以或.

在双4曲−线|��中2|，=双−曲2线上的点到|�焦�2点|=的4距+离2存=在6最小值|�，�2这|=个6最小2值为.

�−�

对于双曲线，可得

22.

��

2222

14

那么−=1，因为�=1，+4=1+，1所6以=17.

这就说�−明�双=曲线17上−的1点到焦点1的6距=离4不可17能>为16，所以要1舍7去−1>4−1=这3个>2值.

因此，即点到另一个焦点的距离等于2.|��2|=2

故选：|��B2.|=6�6

【变式】（河北邢台二模）若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，

1-32024··PC22C

��

16912

则“”是“”的（）−=1��

�A�．1既=不8充分也��不2必=要1条6件B．必要不充分条件

C．充要条件D．充分不必要条件

【答案】D

【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.

【解答过程】，

22

当点在左支�时=，4,�=的3,最�=小值4为+3=5，

当点�在右支时，��1的最小值为�−�=1，

因为�，则�点�1在双曲线的左�+支�上=，9

由双曲��线1的=定8义�，解得；

当，点��在2左−支�时�1，=��2−；8=在2右�支=时8，��2=；1推6不出；

故为��充2分=不1必6要条�件，��1=8��1=24��1=8

故选：D.

【题型2双曲线的标准方程】

【例】（北京海淀一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点

22025··22

��

22

的距离大，则该双曲线的方程为（�−）�=1(�>0,�>0)(−5,0)

(5,0)．�．．．

A2B2C2D2

�2�22�2�

【答案】D4−�=12−�=1�−2=1�−4=1

【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果.

222

【解答过程】由题知，根据题意，由双2�曲=线�的定�=义知5，�又+�=�，�,�

222

所以，得到�=5，所以双曲线的方程为2�=�，�+�=�

2

2222�

5�=5�=1,�=4�−4=1

故选：D.

【变式】（江苏淮安模拟预测）双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，

2-12025··2

�2

12

则双曲线的方程为（）��4−�=12,2

1

．�．

A2B2

�22�

4−�=1�−4=1

．．

C22D

��232

【答案】B2−2=1�−2�=1

【解题思路】利用待定系数法设的方程为，，代入即可得到答案

2.

�2

�14−�=��≠02,2

【解答过程】设双曲线的方程为，，

2

�2

�14−�=��≠0

代入点，则，

2

22

2,24−2=�=−1

则方程为，即

22.

�22�

故选：B.4−�=−1�−4=1

【变式】（宁夏石嘴山模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是，则

2-22025··222

��

62

C的标准方程是（）�+=1�

．．．．

A2B2C22D22

2�2�����

【答案】A�−3=1�−3=14−12=14−12=1

【解题思路】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出，根据关系求出

2

后即可得解.��,�,��

【解答过程】椭圆的焦点为，

22

��

所以双曲线的焦点6+为2=1且焦点在±轴2,上0，即，

因为的离心�率是2，所±以2,0，即�，�=2

�

��=�=2�=1

所以，故双曲线的标准方程为

2.

2222�

故选：�A=.�−�=3��−3=1

【变式】（四川雅安一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在

2-32025··22

��

1222

上，若，�,�的面积为�:�−，�则=1的(�方>程0为,�（>0)）��

�1�=2�2�∠��1�2=30°,△��1�263�

．．

A22B22

����

9−6=13−6=1

．．

C22D22

����

【答案】B6−9=16−3=1

【解题思路】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角

形的面积公式求出，利用勾股定理可�求2�得,�，1�进而可△求�出�1答�2案.��2�1

22

【解答过程】因为�，所以�，

又因为点在上，�所1�以=2�2��1�，>�2�

即��，�所1�以−�2�=2�，

2221

在2��−中�，�由正=弦2�定理得��=2�,��=，4�

��2��1

△��1�2sin∠��1�2=sin∠��2�1

所以，

��1sin30°

212

又sin∠���=��，所=以1，故，

212112

则0°<∠���<180°∠���=90°，∠所�以��=6，0°

122

△��1�212

则�=2����sin60°=23�=63�=3，所以，

22222222

所以�1�2=2�=，��1−��2=16�−4�=12�=36�=9

222

所以�的=方�程−为�=6

22.

��

故选：�B.3−6=1

【题型3曲线方程与双曲线】

【例】（新疆模拟预测）是方程表示双曲线的（）

32025··“”“22”

��

A．充分不必要条件�>4B．�必−要1−不�充−4分=条1件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解答过程】表示双曲线时，

22

��

等价于�−1−�−4=1，解得或.

因为由�−1可�推−出4>0或�，>但4是由�<1或，不能推出，

所以�>4是方程�>4�<1表示双曲线�>的4充分�不<必1要条件�>4

“”“22”.

��

故选：�A>.4�−1−�−4=1

【变式】（高二上河南许昌期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（）

3-124-25··22

��

A．或B．�+4+�−7=1�

C．�<−7或�>4D．−7<�<4

【答案】�D<−4�>7−4<�<7

【解题思路】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值

范围.��

【解答过程】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得；

22

��

�+4>0

�+4+�−7=1�−4<�<7

若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，�无−解7<0

22.

��

�+4<0

�+4+�−7=1�

综上所述，.�−7>0

故选：D.−4<�<7

【变式3-2】（24-25高二上·浙江·期中）对于方程，表示的曲线，下列说法正

22ππ

确的是（）�+�tan�=1, �∈−2, 2�

A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线

B．若为�负角，则曲线为双曲线

C．若�为正角，则曲线�为椭圆

D．若�为椭圆，则曲线�的焦点在轴上

【答案】B���

【解题思路】对于A，根据的取值，即可判断；对于B若为负角，即，结合双曲线标准

π

方程的形式，即可判断；�=0�−2<�<0

对于C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，

π

�=4

即可判断选项.

【解答过程】对于A，当，即时，曲线的方程为，即，

2

此时曲线为两条平行的�直=线0，故Ata错n�误=；0��=1�=±1

对于B，若�为负角，即，则，

π

�−2<�<0tan�<0

此时曲线为双曲线，故B正确；

对于C，若�为正角，即，当时，，

ππ

�0<�<2�=4tan�=1

则曲线的方程为1，是圆，故C错误；

22

对于，�若为椭圆�，+当�=，，又可变形为，

D2

1�

2221

�0<tan�<1tan�>1�+�tan�=1�+tan�=1

则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．

故选�：B.�

【变式】（安徽蚌埠模拟预测）已知曲线，则是曲线的焦点在

3-32025··22“”“C

��

4�

x轴上”的（）�:+=1(�≠0)�∈(0,4)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】若，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时.

【解答过程】若�∈(0,4)，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立；�<0

22x

��

若曲线C的焦点�在∈x(0轴,4上)，也有可�能:4是+�=1，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，

故选：A.�<0

【题型4求双曲线的轨迹方程】

【例4】（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，

相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为�（,�）−5,05,0����

4

�9�

．．

A22B22

�9��3�

25−100=1�≠±525−100=1�≠±5

．．

C22D22

�3��9�

【答案】2A5−100=1�≠±525−100=1�≠±5

【解题思路】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程.

【解答过程】依题意�(，�,设�)点，由�，

2

���4

2

�(�,�)���⋅���=�+5⋅�−5=�−25=9,(�≠±5)

可得，即得点的轨迹方程为

22.

22�9�

故选：4�A.−9�=100,(�≠±5)�25−100=1�≠±5

【变式4-1】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线

22

的距离为1，则动点的轨迹�:方�程+是�（−6）�=0��+��+1=0�≠

0, �≠05�+3, 5�

A．B．

222

��2532

4−5=14�+5−5�=1

．．

CD22

2522��

【答案】A4�−5�=15−4=1

【解题思路】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求

得�，设��+，�得�到+1=0，代1入方程，即可得到点2的轨迹

�−3�

22�=5�+3

5�−4�+6�+1=0�=5,�=55�+3, 5�

方程.�=5�

【解答过程】由圆，可得标准方程为，

2222

所以圆心，�半:�径+为�−6，�=0(�−3)+�=9

若圆上恰�有(3,三0)个点到直线�=3的距离为，

则满足�圆心到直线的距离恰�好�+为��，+即1=0，即1，

3�+122

22

2�+�=25�−4�+6�+1=0

设，则，

�−3�

�=5�+3

�=5,�=5

代入�=5�，可得，

22�−32�2�−3

5�−4�+6�+1=05⋅(5)−4⋅(5)+6⋅(5)+1=0

整理得，即点的轨迹方程为

2222.

����

故选：A4.−5=15�+3, 5�4−5=1

【变式】（重庆沙坪坝模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公

4-22025··2

2�

共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于�−4=1两点．当�:点�=运��动+时�，�点≠±2的轨迹方

程是（�）������,0,�0,����,�

．．

A2B2

�2�2

4+�=1�≠04−�=1�≠0

．．

C22D22

�4��4�

【答案】2D5+25=1�≠025−25=1�≠0

【解题思路】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果.

22�4

��+4=��(−�,−�)�,��,�

【解答过程】因为双曲线与直线有唯一的公共点，

2

2�

所以直线与双曲线相切，�−4=1�:�=��+��≠±2�

�

联立，消去并整理得，

�=��2+�222

2��(4−�)�−2���−�−4=0

所以�−4=1，即，

222222

将Δ=4��代+入4(4−�)(�+4)=0�+4，=得�，

22222222

得�+4=�，因(4为−�)�−，2���−�−，4所=以0−，��−2���−�=0

222

所以(��+�)，=0�≠±2�+4=�，即�≠0，

22

���−�4�4

由�=−��可=知−�⋅�，+�=�=−��(−�,−�)

22

所以�过+点4=且�与垂直�≠的直0线为，

41�

���+�=−�(�+�)

令，得，令，得，

5�5

�=0�=−��=0�=−�

则，，

5�5

�(−�,0)�(0,−�)

由5�，得，，

�=−�5�

5�=−��=�

�=−�

代入，得，即，

222

25��4�

2222

�+4=��+4=�25−25=1(�≠0)

故选：D.

【变式】（浙江一模）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：

4-32025··2

�

��,���,0��=�

的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：

�

�0<�<����3,0�

的距离的比是，则点的轨迹方程为（）

3

�=33�

．．

A2B2

�22�

2−�=1�−2=1

．．

C2D2

�22�

【答案】B2−�=1�−2=1

【解题思路】根据给定条件，列出方程并化简得答案.

【解答过程】设，依题意，22，化简整理得，

(�−3)+�2

2�

3

2

�(�,�)|�−3|=3�−=1

所以点的轨迹方程为

2.

2�

故选：B�.�−2=1

【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】

【例