2026年高考数学一轮复习专题8.1 直线的方程（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题8.1直线的方程（举一反三讲义）

【全国通用】

【题型1直线的倾斜角与斜率】...............................................................................................................................3

【题型2直线与线段的相交关系求斜率范围】.......................................................................................................4

【题型3直线的点斜式、斜截式方程】...................................................................................................................7

【题型4直线的两点式、截距式方程】...................................................................................................................9

【题型5直线的一般式方程】.................................................................................................................................10

【题型6直线过定点问题】.....................................................................................................................................12

【题型7三线能围成三角形的问题】.....................................................................................................................13

【题型8直线方程的综合应用】.............................................................................................................................15

1、直线的方程

考点要求真题统计考情分析

从近几年的高考情况来看，高考对

(1)理解直线的倾斜角和斜率直线方程的考查比较稳定，主要分为两

的概念，掌握过两点的直线斜2024年全国甲卷（文数）：第方面进行考察，一是直线的倾斜角与斜

率的计算公式10题，5分率、直线方程的求法；二是以直线与圆

(2)根据确定直线位置的几何2025年天津卷：第12题，5知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，

要素，掌握直线方程的几种形分与圆相交弦长等问题；多以选择题、填

式(点斜式、两点式及一般式)空题的形式出现，难度不大；复习时应

熟练掌握这些知识内容.

知识点1直线的方程

1．直线的倾斜角

(1)倾斜角的定义

①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾

斜角．

②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

2．直线的斜率

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.

(2)斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°

斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0

(3)过两点的直线的斜率公式

y2－y1

过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.

x2－x1

3．直线的方向向量

设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.

4．辨析直线方程的五种形式

方程形式直线方程局限性选择条件

不能表示与x轴垂①已知斜率；②已知

点斜式

直的直线一点

不能表示与x轴垂①已知在y轴上的截

斜截式y=kx+b

直的直线距；②已知斜率

不能表示与x轴、①已知两个定点；②已

两点式

y轴垂直的直线知两个截距

不能表示与x轴垂①已知两个截距；②已

截距式直、与y轴垂直、知直线与两条坐标轴

过原点的直线围成的三角形的面积

求直线方程的最后结

Ax+By+C=0

一般式表示所有的直线果均可以化为一般式

(A,B不全为0)

方程

知识点2求直线方程的一般方法

1．求直线方程的一般方法

(1)直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.

(2)待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截

距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).

【方法技巧与总结】

1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意

过原点的特殊情况是否满足题意.

3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k).

4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．

【题型1直线的倾斜角与斜率】

【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（）

π

�⋅tan5+�−2=0

A．B．C．D．

π3π7π4π

510105

【答案】D

【解题思路】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可.

【解答过程】由题意可将原直线方程变形为，

π4π

�=−tan5⋅�+2=tan5⋅�+2

由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、B、C错误.

4π

0,π5

故选：D.

【变式1-1】（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（）

�1�2�3�1�2�3

A．B．C．D．

�1<�3<�2�3<�1<�2�1<�2<�3�3<�2<�1

【答案】A

【解题思路】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系.

【解答过程】解：设直线，，的倾斜角分别为，，，

则由图知�1�2�3，�1�2�3

所以0°<�，3<�2<90°<�1<，180°

即tan�，1<0tan�2．>tan�3>0

故选�1：<A0.�2>�3>0

【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算．

π

�−1sin�−2=

【答案】

2

【解题思路2】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可.

【解答过程】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以，，

所以，�−1tan�=−1�∈[0,π)

3π

�=4

所以．

π3πππ2

sin�−2=sin4−2=sin4=2

故答案为：.

2

2

【变式1-3】（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值

��2

为.e�−�e+1+1=0(�∈�)��

【答案】

1

4

【解题思路】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值

�.

e1

�2�1

�

【解答过程】�=e+1，�=e+e+2�

�

e111

21

��1

e+1e+e�+2�4

�==≤2e⋅e�+2=

当且仅当时取等号，所以k的最大值为.

1

�=04

故答案为：.

1

4

【题型2直线与线段的相交关系求斜率范围】

【例2】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含

端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（�−）3,2�2,1�0,−1

A．B．C．D．

11

−∞,−1∪1,+∞−1,1−∞,−5∪1,+∞−5,1

【答案】A

【解题思路】求出直线、的斜率后即可求直线/的斜率的范围.

【解答过程】如图所示：����

，而，

−1−2−1−1

���=0+3=−1���=0−2=1

故直线的取值范围为.

故选：A�.−∞,−1∪[1,+∞)

【变式2-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与

线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为�（2,−）3,�−5,−2�:��−�+�+1=0

A�．��B．

4343

−3,4−∞,−3∪4,+∞

C．D．

3434

−4,3−∞,−4∪3,+∞

【答案】B

【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范

围，利用直线的斜率公式即可求解.

【解答过程】由，得，

所以直线的方程�恒�−过�定+点�+1=0，斜率�为−1．=��+1

因为�，�−1,1�

所以�2,−3,�−5,−2．

−3−14−2−13

����

由题意�可=知，2+1作=出−图3形,�如图=所−5示+1，=4

由图象可知，或，

34

�≥4�≤−3

所以实数的取值范围为．

43

�−∞,−3∪4,+∞

故选：B．

【变式2-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线

与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜�角�范围+为2（�+）�−1�+�−1=0�

A．�1,−2�2,1B．C．�D．

ππ3ππ3ππ3π

−4,44,π4,40,4∪4,π

【答案】D

【解题思路】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾

斜角的取值范围．����

【解答过程】直线的方程可化为，由，可得，

�+�+1=0�=0

���+�+1+2�−�−1=0

所以，直线过定点，2�−�−1=0�=−1

设直线的斜�率为，�直0线,−的1倾斜角为，则

因为直线�的斜率�为�，直�线0的≤斜�率<为π，

−1−−2−1−1

因为直线�经�过点0−1，且=−与1线段总��有公共点，0−2=1

��0,−1��

将代入方程：

可得�：1,−2不成立，�+2�不+在�直−线1上�，+�−1=0

所以3=0，即�1,−2，�

−1<�≤1−1<tan�≤1

因为所以或

π3π

0≤�<π0≤�≤44<�<π

故直线的倾斜角的取值范围是．

π3π

�0,4∪4,π

故选：D．

【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，

两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜�率(1,k2)的取值范围为（）�(9,1)

�(5,A8)．B．C．D．

1313113

8,2−8,2−∞,−8−∞,−8∪2,+∞

【答案】B

【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.

【解答过程】由题意作图如下：

设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，

由图可知�����，��������

�����

由，�≤�，≤�，则，，

1−218−263

�9,1�5,8�1,2���=9−1=−8���=5−1=4=2

所以.

13

−8≤��≤2

故选：B.

【题型3直线的点斜式、斜截式方程】

【例3】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（）

A．1,2B．�=2�−3

C．�−2=2�−1D．�−1=−2�−2

【答案】�A−2=−2�−1�−1=2�−2

【解题思路】根据直线的点斜式方程得到直线方程.

【解答过程】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得．

故选：A．1,2�−2=2�−1

【变式3-1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线

的方程为（）�3,−33,−3�

A．B．C．D．

【答案】A�+3�=0�+3�−6=0�−3�=0�−3�−6=0

【解题思路】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程.

【解答过程】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，

−3

�3,−3�=3

所以直线方程为，化简可得.

3

故选：A.�=−3(�−3)−3�+3�=0

【变式3-2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（）

60°�0,1

A．B．C．D．

33

【答案】D�=3�−1�=3�+1�=3�−1�=3�+1

【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.

【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，

又直线过点，所以直线的方程60为°.�=tan60°=3

故选：D.�0,1�=3�+1

【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，

π

3

则直线的方程为（）��1,0���

�

A．B．

3

�=3�−1�=3�−1

C．D．

3

【答案】�D=−3�−1�=−3�−1

【解题思路】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案.

【解答过程】直线过点�，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，

π

��1,0��3�

所以直线的倾斜角为，所以，

2π2π

�3tan3=−3

直线的方程为：.

故选：�D.�=−3�−1

【题型4直线的两点式、截距式方程】

【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程

为（）�3,5�

A．B．

C．�+�+8=0或D．5�−3�=0或

【答案】5C�−3�=0�+�−8=05�−3�=0�+�+8=0

【解题思路】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，

��

把点的坐标代入�即可得出．5�−3�=0��+�=1

3,5

【解答过程】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即；

5

��=3�5�−3�=0

当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为，

��

将�代入可得，此时直线方程为．�+�=1

综上3,，5直线的方�程=为8或�+�−8=．0

故选：C.�5�−3�=0�+�−8=0

【变式4-1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（）

�−9�−8

�5−9=2−8

A．直线经过点B．直线的斜截式为

311

�(5,2)��=2�−2

C．直线的倾斜角为锐角D．直线的点斜式为

2

���−2=3(�−5)

【答案】C

【解题思路】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：

2

�8,92,5�=3�+

，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C.

112

3�3>0

【解答过程】由题意，直线经过两点，，故AD错误，

�8,92,5

将两点式化为斜截式：，故B错误，

211

�=3�+3

直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.

2

�3>0�

故选：C.

【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为．

【答案】�2,1�1,2

�+�−3=0

【解题思路】利用两点式方程可得直线的方程.

��

【解答过程】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即.

�−1�−2

�2,1�1,22−1=1−2�+�−3=0

故答案为：.

【变式4-3】�（+20�2−4·陕3=西0西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程

为．�(1,3)��

【答案】或

【解题思路�=】3按�直�线+是�否−过4原=点0，结合直线的截距式方程求解即得.

【解答过程】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为；

当直线不过原点时，设直线方程为�=3�，�则，解得�，直线方程为�，=3�

��13

�+�=1�+�=1�=4�+�−4=0

所以所求直线方程为或.

故答案为：或�=3��+�.−4=0

�=3��+�−4=0

【题型5直线的一般式方程】

【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（）

A．(B−．3,0)(0,4)

C．4�+3�+12=0D．4�+3�−12=0

【答案】4C�−3�+12=04�−3�−12=0

【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.

【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，

��

(−3,0)(0,4)−3+4=1

整理得，即直线的一般式方程为.

故选：C4.�−3�+12=04�−3�+12=0

【变式5-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）直线的倾斜角为（）

A．B．C．3�−3�=0D．

【答案】A30°150°60°120°

【解题思路】根据直线的一般式得出斜率，再结合斜率与倾斜角的关系计算得出倾斜角.

【解答过程】直线的斜率为，

3

设倾斜角为，3�−3�=，0�=3

�0°≤�<180°

所以，所以.

3

3=tan��=30°

故选：A.

【变式5-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（）

A．直线倾斜角为�:3�−3�+4=0

π

�3

B．直线经过第四象限

�

C．直线在轴上的截距为

4

��−3

D．直线的一个方向向量为

【答案】D�3,3

【解题思路】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据

4

�=0��0,3

直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D.

【解答过程】设直线的倾斜角为，，3,3

���∈0,π

对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误；

333π

�−−3=3tan�=3�=6

对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为，

44ππ

�=0�=3��0,36<2

所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误；

对于C，由�B知，直线在轴上的截距为，故C错误；

4

��3

对于D，当时，，即直线过点，

4343

�=0�=−3��−3,0

则，所以直线的一个方向向量为，故D正确.

43443

339

故选��：=D.,=3,3�3,3

【变式5-3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直

线的倾斜角的2倍，则（）��+��+1=0�−1

3A�．−�=0B．

C．�=3,�=1D．�=−3,�=−1

【答案】�A=3,�=−1�=−3,�=1

【解题思路】根据截距的定义，可得所求直线与轴的交点，根据直线求得倾斜角，通过斜率定

义，可得答案.�3�−�=0

【解答过程】由直线在轴上的截距是，则直线过，可得，

解得；��+��+1=0�−10,−1�⋅0+�⋅−1+1=0

�=1

由直线，设该直线的倾斜角为，则，解得，

∘

设直线3�−�=0的倾斜角为，斜率�为，tan�=3�=60

由��+�+1，=则0��，

∘∘

由�=2�，=则120�=，ta解n�得=tan12.0=−3

故选�=：−A�.−�=−3�=3

【题型6直线过定点问题】

【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（）

A．B．�,�C．�−�D．�+�+2��−3�=0

【答案】B1,−1−1,10,02,2

【解题思路】法一：直线方程可化为，解方程

组即可求解；�−��+�+2��−3�=0��+�+�2�−�−3=0

�+�=0

法二2�：−直�线−方3程=0可化为，解方程组

�−��+�+2��−3�=0�−��+1+�+2��−1=0

即可求解.

�+1=0

【�解−答1过=程0】法一：直线方程可化为，

�−��+�+2��−3�=0��+�+�2�−�−3=0

令，解得，即定点坐标为.

�+�=0�=−1

−1,1

法二2�：−直�线−方3程=0�=1可化为，

�−��+�+2��−3�=0�−��+1+�+2��−1=0

则，解得，即定点坐标为.

�+1=0�=−1

−1,1

故选�：−B1.=0�=1

【变式6-1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（）

A．B．C．��+3�−1�+1D．=0

11

3, 1−3, 13, 13, 0

【答案】B

【解题思路】将直线分离参数为，令，可得定点.

�+3�=0

��+3�+1−�=0

【解答过程】根据题意，直线，1−�=0

即，��+3�−1�+1=0

令��+3�+，1得−�=0，

�+3�=0�=−3

故直1线−�=0�=1必过定点.

��+3�−1�+1=0−3,1

故选：B.

【变式6-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A

的坐标为（）3�+2�+�−1�−�=0�∈�

A．B．C．D．

121213

3,31,35,54,5

【答案】C

【解题思路】将直线化为，据此可得定点坐标.

【解答过程】3�+�−1�+2�−�=0，

3�+2�+�−1�−�=0⇔3�+�−1�+2�−�=0

令，解得1，则所过定点为.

3�+�−1=0�=512

25,5

2�−�=0

故选：C.�=5

【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线

恒过定点（）�:�+2�+�−1�+�−1=0�

A．B．C．D．

【答案】C−1,00,10,−11,0

【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点.

【解答过程】直线，由，解得，

�+�+1=0�=0

�:�(�+�+1)+2�−�−1=0

所以直线恒过定点.2�−�−1=0�=−1

故选：C.�0,−1

【题型7三线能围成三角形的问题】

【例7】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不

能围成三角形，则实数的取值集合为（）�1:�=�+1�2:�=−2�+4�3:��+�+1=0

A．�B．

C．1,−2D．1,−2,3

【答案】C−1,2,−3−1,2

【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出

值.�1,�2�

【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为

123123

由，�解,�得,�，即直线�=1的,�交点=−为2,�=−，�1,4,−1

�=�+1�=1

�1,�2�(1,2)

�=−2�+4�=2

由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上，

则�1,�2或,�3或�，1//解�3得�2//�3或�或�3，

所以−�实=数1的−取�值=集−合2为�+2+1.=0�=−1�=2�=−3

故选：C.�−1,2,−3

【变式7-1】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，

不能构成三角形，则的集合是（）�1:4�+�=4�2:��+�=0�3:2�−3��=4

A．�B．C．D．

211212

{−1,3}{4,−6}{−1,−6,3,4}{−1,−6,0,3,4}

【答案】C

【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同

一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值．

【解答过程】当直线平行于�时，．

12

当直线�平:4行�+于�=4�:��时+，�=0，�=4

1

�1:4�+�=4�3:2�−3��=4�=−6

当平行于时，，无解．

2

�2:��+�=0�3:2�−3��=4−�=3�

当三条直线经过同一个点时，把直线与的交点，代入，

4−4�

�1�2(4−�,4−�)�3:2�−3��=4

得，解得：或，

4−4�2

2×4−�−3�×4−�=4�=−1�=3

综上，满足条件的的集合为为.

12

�{4,−6,−1,3}

故选：C．

【变式7-2】（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，

123

不能围成一个三角形，则