2026年高考数学一轮复习专题8.1 直线的方程（举一反三讲义）（全国）（原卷版）

专题8.1直线的方程（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线的倾斜角与斜率】 3【题型2直线与线段的相交关系求斜率范围】 3【题型3直线的点斜式、斜截式方程】 4【题型4直线的两点式、截距式方程】 5【题型5直线的一般式方程】 5【题型6直线过定点问题】 6【题型7三线能围成三角形的问题】 6【题型8直线方程的综合应用】 61、直线的方程考点要求真题统计考情分析(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式(2)根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分2025年天津卷：第12题，5分从近几年的高考情况来看，高考对直线方程的考查比较稳定，主要分为两方面进行考察，一是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法；二是以直线与圆知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，与圆相交弦长等问题；多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；复习时应熟练掌握这些知识内容.知识点1直线的方程1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.4．辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知

一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、

y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0

(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程知识点2求直线方程的一般方法1．求直线方程的一般方法(1)直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).【方法技巧与总结】1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k).4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．【题型1直线的倾斜角与斜率】【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）直线x⋅tanπ5+y−2=0的倾斜角为（A．π5 B．3π10 C．7【变式1-1】（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2A．k1<k3<k2 B．【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）已知θ是斜率为−1的直线的倾斜角，计算sinθ−π2=【变式1-3】（2025·江西萍乡·一模）已知直线emx−yem+12+1=0(m∈R)的斜率为k【题型2直线与线段的相交关系求斜率范围】【例2】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知两点A−3,2，B2,1，过点P0,−1的直线l与线段ABA．−∞,−1∪1,+∞ B．−1,1 【变式2-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知点A2,−3,B−5,−2，若直线l:mx−y+m+1=0与线段AB（含端点）有公共点，则实数mA．−43,C．−34,【变式2-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l：m+2x+m−1y+m−1=0，若直线l与连接A1,−2，B2,1A．−π4,π4 B．3π【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点P(1,2)，经过点P作直线l，若直线l与连接A(9,1)，B(5,8)两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A．18,32 B．−18【题型3直线的点斜式、斜截式方程】【例3】（2025高二·全国·专题练习）过点1,2且与直线y=2x−3斜率相等的直线方程为（

）A．y−2=2x−1 B．C．y−2=−2x−1 D．【变式3-1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线l的方向向量为3,−3，且经过点3,−3，则直线l的方程为（A．x+3y=0 B．x+3y−6=0 C．【变式3-2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为60°，且过点P0,1，则直线的方程为（

A．y=33x−1 B．y=33x+1【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线l过点P1,0，将直线l绕点P逆时针旋转π3与x轴重合，则直线l的方程为（A．y=33x−1C．y=−33x−1【题型4直线的两点式、截距式方程】【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l过点3,5，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（

）A．x+y+8=0 B．5x−3y=0C．5x−3y=0或x+y−8=0 D．5x−3y=0或x+y+8=0【变式4-1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线l的两点式为y−95−9=x−8A．直线l经过点(5,2) B．直线l的斜截式为x=C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的点斜式为y−2=【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过A2,1与B1,2两点的直线方程为【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）过点P(1,3)，在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为．【题型5直线的一般式方程】【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点(−3,0)和(0,4)，的直线的一般式方程为（

）A．4x+3y+12=0 B．4x+3y−12=0C．4x−3y+12=0 D．4x−3y−12=0【变式5-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）直线3y−3x=0的倾斜角为（A．30° B．150° C．60° D．120°【变式5-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线l:3x−3y+4=0，下列选项正确的是（A．直线l倾斜角为πB．直线l经过第四象限C．直线l在y轴上的截距为−D．直线l的一个方向向量为3,【变式5-3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线Ax+By+1=0在y轴上的截距是−1，其倾斜角是直线3x−y=0的倾斜角的2倍，则（

A．A=3,B=1 B．C．A=3,B=−1 【题型6直线过定点问题】【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论m,n为何实数，直线m−nx+m+2ny−3n=0A．1,−1 B．−1,1 C．0,0 D．2,2【变式6-1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线mx+3m−1y+1=0必过定点（A．3, 1 B．−3, 1 C．【变式6-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线3a+2x+a−1y−a=0a∈R恒过定点A，则点A．13,23 B．1,3 C．【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l:m+2x+m−1y+m−1=0，则直线A．−1,0 B．0,1 C．0,−1 D．1,0【题型7三线能围成三角形的问题】【例7】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线l1:y=x+1，l2:y=−2x+4，l3A．1,−2 B．1,−2,3C．−1,2,−3 D．−1,2【变式7-1】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线l1:4x+y=4，l2:mx+y=0，l3A．{−1,23} B．{4,−16}【变式7-2】（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线l1:ax+y+2=0，l2:x+y−1=0，l3A．{−1,1} B．{4,1} C．−12,1【变式7-3】（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线4x+y−4=0,mx+y=0,2x−3my−4=0不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【题型8直线方程的综合应用】【例8】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线l:a−1(1)求直线l所过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．【变式8-1】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线l方程为m+1x+y−2m−3=0(1)证明：无论m为何值，直线l过定点；(2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的周长及此时直线l的方程．【变式8-2】（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线l经过点P−1,2(1)若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的方程；(2)设l的斜率k>0,l与两坐标轴的交点分别为A和B，当△AOB的面积最小时，求【变式8-3】（24-25高二上·福建·期中）已知直线l过点A−3,2，且l的一个法向量是4,3(1)求直线l的方程；(2)若直线l与y轴交于点C，将直线AC绕着点A逆时针旋转90∘，点C所对应的点为D，求直线AD(3)在（2）的条件下，求∠CAD的角平分线所在的直线方程.一、单选题1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线y=x+1的倾斜角为（

）A．π4 B．π3 C．π22．（2025·四川眉山·三模）已知点A4,23,B1,3，若向量ABA．30∘ B．60∘ C．120∘3．（2025·江西新余·一模）已知直线l的方程为y=−a2+1x+bA．0,π4 C．π4,π4．（2025·吉林长春·一模）直线x+2y−4=0与直线3x+y−9=0所成角是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线l1、l2、l3、lA．l1 B．l2 C．l36．（2025·安徽马鞍山·一模）设点A2,1，B−2,3，若直线ax+y+1=0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为（A．−∞,−1 B．−2,1 C．−1,2 7．（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（

）A．x−y+2=0 B．x−2y+4=0C．x−y−2=0 D．x+2y−4=08．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线kx−y+2=0和以M3,−2，N2,5为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（A．−∞,−4C．−43,二、多选题9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点0,2，3,1，则（

A．点C2,−1在直线lB．直线l的两点式方程为y−1C．直线l的一个方向向量的坐标为1,−D．直线l的截距式方程为x10．（2025·河南·模拟预测）已知△OAB为等腰直角三角形，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，∠AOB=π2，若直线OA,OB,AB的斜率都存在，记直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,kA．k1>kC．k1>k11．（2025·河北·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且AC:x+2y−5=0，则直线AB的方程可能为（

）A．3x−y+1=0 B．3x+y+1=0 C．x−3y+1=0 D．x+3y+1=0三、填空题12．（2025·陕西汉中·三模）若直线l过点−1,1，且其一个方向向量为m=1,1，则直线l的方程为13．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2:y=xtan80°的倾斜角小20°14．（2025·湖南长沙·三模）过点A(1,4)，且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有条．四、解答题15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点Mm+3,3m+5，N(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；(2)若直线MN的一个方向向量为a=1,−2025，求16．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点A−4,3，B3,2，过点P0,−1的直线l(1)求直线l的