江苏省扬州市树人中学2025-2026学年九年级上学期数学期中练习卷（含解析）

江苏省扬州市树人中学2025-2026学年九年级（上）数学期中练习卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在比例尺为1:400000的地图上，两处景点的距离为8cm，则这两处景点的实际距离为(

)A.3.2km B.32km C.5km D.50km2.△ABC∽△DEF，若AB=1，DE=2，则△ABC与△DEF的周长比是(

)A.1：2 B.1：3 C.2：3 D.3：23.一元二次方程2x2=4x的解为A.x1=1，x2=2 B.x1=0，x4.已知⊙O的直径为10，点P在⊙O内，则OP的长可能是(

)A.4 B.5 C.8 D.105.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为

(

)

A.10 B.12 C.20 D.246.已知关于x的一元二次方程x2-kx-k-2=0的根的情况是(

)A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根 D.无法确定7.下列说法正确的是(

)A.三点确定一个圆 B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弦长相等 D.三角形的外心是三条边垂直平分线的交点8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的⊙O交BC于点D，将BD沿BD翻折恰好经过圆心O，若BE=2AE，CD=3，则⊙O的半径为(

)

A.1 B.3 C.2 D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。9.某校举办了演讲比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，若依次按照30%,40%,30%的比例确定成绩，则该选手的成绩是

分．10.已知P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=4 cm，则PA=

cm．11.将一元二次方程x2-6x-1=0配方为x+m2=n的形式为12.已知x=1是方程x2-bx+2=0的根，则b=___________13.圆是轴对称图形，有

条对称轴．14.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB=AC，∠ADE=65°，则∠BOC=

．

15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠D的度数为______．

16.已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为3cm，则它的侧面积为

cm2．17.如图，圆内接矩形ABCD中，点E为边AD的中点.若CD=1，AD=3，则图中阴影部分的面积为

．

18.如图，正方形ABCD的边长为4，M，N为线段BC上的两个动点，BM=CN，AM交对角线BD于点E，连接CE，交DN于点F，连接BF，则线段BF长的最小值为

．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。19.解方程：x2-2x-3=0．四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2-(k+5)x+6+2k=0．

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．21.(本小题8分)

某校深入开展了以“珍爱生命谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)

九年级(1)班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，91，82．

九年级(2)班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．

通过数据分析，结果如下：

九年级(1)班、(2)班抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差九年级(1)班9294c46.2九年级(2)班92b10050.4根据以上信息，解答下列问题：

(1)直接写出上述a、b、c的值：a=______，b=______，c=______；

(2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．

(3)九年级两个班共有80人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀(x≥90)的学生总人数是多少？22.(本小题8分)

今年某电动自行车店的某品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆．

(1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；

(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该店1月至3月共盈利多少元？23.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连结BD，过点C作CE/​/AB．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)．(2)在(1)的条件下，求证：BD=BF．24.(本小题8分)

“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元．(1)当每千克荔枝降价5元时，每天销量可达

千克，每天盈利

元；(2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到336元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？25.(本小题8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若∠C=30°，CD=2326.(本小题8分)某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午活动课的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．经测量，站在旗杆底部的小红(BE)落在地面上的影长BF为3米，同一时刻，测得旗杆AB的影子一部分落在地面上(BC)，另一部分影子落在了教学楼上(CD)，已知旗杆和教学楼的水平距离为18米，影长CD为3.4米，小红的身高是1.6米，且B、F、C三点在同一条直线上，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度．

27.(本小题8分)定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．

(1)如图1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；

(2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分别交⊙O于D，C两点，连接CD.分别交AB、OA与点M、点E．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；

(3)已知⊙O的直径为10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP=3BP.求AB的长．28.(本小题8分)

(1)【问题提出】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，△ACD为等边三角形，AD=6，则线段BD的长为

．(2)【问题解决】如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC=42，以AC为直径作半圆O，D为AC⌢上一动点，求点B(3)【问题探究】一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽制作一种特殊的部件，部件的要求如图3，它由直角三角形ABC以及弓形BDC组成，其中∠B=90°，AB=7，BC=8，DE=2，E为BC的中点，DE⊥BC.小明和小丽在讨论这个部件，小丽说点A到BC⌢的最大距离是点A，D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到BC⌢答案和解析1.【答案】B

【解析】本题考查了比例尺，要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【详解】解：设这两处景点的实际距离为x厘米，则：1:400000=8:x，解得x=3200000，3200000厘米=32千米．故选：B．2.【答案】A

【解析】解：∵△ABC∽△DEF，

∴ABDE=12，

即相似比为1：2；3.【答案】B

【解析】解：∵2x2=4x，

∴2x2-4x=0，

则2x(x-2)=0，

∴x=0或x-2=0，

解得x1=0，x4.【答案】A

【解析】解：∵⊙O的直径为10，

∴⊙O的半径为5，

∵点P在⊙O内，

∴OP<5，

∴四个选项中，只有A选项符合题意，

故选：A．

设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内，据此可得答案．

本题主要考查了点与圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．5.【答案】D

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式：△=b2-4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．由判别式得△=k2+4>0，可得方程根的情况．

【解答】

解：7.【答案】D

【解析】解：∵不在同一条直线上的三点确定一个圆，

∴“三点确定一个圆”这一说法是错误的，

故A不符合题意；

∵平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，

∴“平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，

故B不符合题意；

∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦长相等，

∴“相等的圆心角所对的弦长相等”这一说法是错误的，

故C不符合题意；

∵三角形的外心到三个顶点的距离相等，

∴三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，

故D符合题意，

故选：D．

因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．

此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，正确地理解和应用这些知识是解题的关键．8.【答案】C

【解析】解：连接ED，作半径OF⊥BD于H，

∴BD=2BH，

由题意知：BD垂直平分OF，

∴OH=12OF=12OB，

∵sinB=OHOB=12，

∴∠B=30°，

∵BE是圆的直径，

∴∠BDE=90°，

∵∠C=90°，

∴∠C=∠BDE，

∴ED/​/AC，

∴BD：DC=BE：AE，

∵BE=2AE，

∴BD=2DC，

∴BH=CD=3，

∵cosB=cos30°=BHBO=3OB=32，

∴OB=2，

∴⊙O的半径长为2．

故选：C．

连接ED，作半径OF⊥BD于H，由垂径定理得到BD=2BH，由题意知：BD垂直平分OF，由sinB=OHOB=12，求出∠B=30°，由圆周角定理得到∠BDE=90°，判定9.【答案】82

【解析】本题考查了加权平均数，根据礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分以及依次按照30%,40%,30%的比例确定成绩，列式计算，即可作答．【详解】解：∵已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，且依次按照30%,40%,30%的比例确定成绩，∴90×30%+85×40%+70×30%30%+40%+30%=82(∴则该选手的成绩是82分．故答案为：82．10.【答案】(2【解析】∵PA2=AB·PB，解得PA=25-2(11.【答案】x-32【解析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为x2【详解】解：xxxx-3故答案为：x-3212.【答案】3

【解析】解：把x=1代入方程x2-bx+2=0中，

得1-b+2=0，

解得b=3．

故答案为3．

把x=1代入方程x13.【答案】无数

14.【答案】100°

【解析】解：∵四边形ABDC内接圆⊙O，∠ADE=65°，

∵∠ACB=65°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=65°，

∴∠BAC=180°-65°-65°=50°，

∵∠BAC与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，

∴∠BOC=2∠BAC=100°．

先根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数，再由AB=AC可得出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．15.【答案】70°

【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=110°，

∴∠D+∠B=180°，

∴∠D=180°-∠B=70°，

故答案为：70°．

根据圆内接四边形的性质求出∠D即可．

本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16.【答案】6π

【解析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求解即可．【详解】解：∵底面直径为4cm，∴底面周长=4π，∴侧面积=1故答案为：6π．17.【答案】π6【解析】解：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∴AC是直径，O是圆心，

∵AE=DE，OA=OD，

∴OE⊥AD，

∴∠AEO=∠ADC=90°，

∴OE/​/CD，

∴S△CDE=S△CDO，

∴S阴=S扇形ODC，

∵tan∠CAD=CDAD=33，

∴∠CAD=30°，

∴∠DOC=2∠CAD=60°，

∵OD=OC，

∴△CDO是等边三角形，

∴OD=OC=CD=1，

∴S阴=60π×1218.【答案】25【解析】提示：易证△ABM≌△DCN，所以∠BAM=∠CDN.可证△ABE≌△CBE(SAS)，所以∠BAE=∠BCE.所以∠CDN=∠BCE.因为∠BCE+∠DCE=90°，所以∠CDN+∠DCE=90°，所以∠DFC=90°.可知点F在以DC为直径的圆上，圆心G为DC的中点，连接BG，GF，则BF≥BG-GF=BG-GC.易得GC=12DC=2，BG=19.【答案】解：将原方程左边分解因式，得

(x-3)(x+1)=0，

∴x-3=0或x+1=0，

∴x1=3，【解析】【分析】

先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．

【点评】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．20.【答案】∵Δ=b2-4ac=[-(k+5)]2-4×1×(6+2k)=k2+2k+1=(k+1【解析】(1)∵Δ=b2-4ac=[-(k+5)]2-4×1×(6+2k)=(k+1)2≥0，

∴方程总有两个实数根；

(2)设方程的另一个根为m，

则3+m=k+53m=6+2k，

解得m=2k=0，

故另一个根为2．

(1)判断Δ>0即可证明；21.【答案】40，91，96；

学校会选派九年级

班；

52．

【解析】解：(1)九年级(1)班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100，

∵成绩为96分的学生有2名，最多，

∴c=96．

九年级(2)班C组有3人，

∴扇形统计图中C组所占百分比为310×100=30%，

∴扇形统计图中D组所占百分比为1-20%-10%-30%=40%，

∴a=40.b=90+922=91．

故答案为：40，91，96；

(2)选派九年级(2)班，理由如下：

∵两个班的平均成绩相同，而九年级(1)班的方差为46.2，九年级(2)班的方差为50.4，

∴九年级(1)班成绩更平衡，更稳定，

∴学校会选派九年级(1)班．

(3)九年级(2)班D组的人数为10×40%=4人，优秀的总计有7人，

∴九年级(1)班10名学生的成绩为优秀的有6人．

∴估计参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的九年级学生人数是80×7+620=52．

(1)将九年级(1)班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知九年级(2)班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用1-其它各组所占百分比即可求出a22.【答案】该品牌电动自行车销售量的月平均增长率20%；

该店1月至3月共盈利273000元

【解析】(1)设月平均增长率为x，

根据题意得：150(1+x)2=216，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不符合题意，舍去)，

答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率20%；

(2)根据题意可知，[150+150×(1+20%)+216]×(2800-2300)=273000(元)，

答：该店1月至3月共盈利273000元．

(1)设月平均增长率为x，根据今年某电动自行车店的某品牌电动自行车1月销售150辆，324.【答案】【小题1】30330【小题2】解：设应降价x元，根据题意得，40-24-x×解得x=2或x=4，为让顾客得到实惠，取x=4，所以，每千克应降价4元．

【解析】1.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，列出算式求解即可；【详解】解：当每千克荔枝降价5元时，销量为20+2×5=30(千克)，每天盈利为：40-5-24×30=330(元所以，每天销量可达30千克，每天盈利330元，故答案为：30，330；2.

根据题意，假设应降价x元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．25.【答案】(1)证明：如图所示，连接OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OD，，，∴OD//AC，，，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图所示，连接AD，

∵AB为直径，，，CD=23∴AD=，∴DE=1∴AE=1，∵AB=AC，，，又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=AD=2，∴==3

【解析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等．(1)连接OD，根据AB=AC得到∠ABC=∠ACB，结合OB=OD得到即可得到，从而得到OD//AC，即可得到证明；(2)连接AD，由AB为直径，得到，进而求出AD=2,AC=4，再求出DE=3,CE=3，则AE=1，证明△AOD是等边三角形，得到OD=AD=2，最后根据26.【答案】解：延长AD交BC延长线于点M，

由题意知，EF/​/AM，∠B=∠DCM=90∴∠EFB=∠M，∴▵BEF∽▵CDM，∴BE∴1.6∴CM=6.375，∴BM=BC+CM=24.375，∵EF//AM，∴▵BEF∽▵BAM，∴BE∴1.6∴AB=13，答：旗杆AB的高度为13米．

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题的关键．延长AD交BC延长线于点M，证明▵BEF∽▵CDM，利用相似三角形的性质求出CM=6.375，得到BM的长，再证明▵BEF∽▵BAM，利用相似三角形的性质即可求出AB．27.【答案】【小题1】证明：根据题意，得AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四边形ADOE是矩形，∵AB=AC，根据垂径定理，得AE=∴四边形ADOE是正方形．【小题2】证明：∵OD⊥OA，OC⊥OB，∴∠AOD=∠BOC=90∴∠AOD+∠AOC=∠BOC+∠AOC，∴∠COD=∠AOB，∴AB=CD；连接AC，设AB，CD交点为G，

∴∠ACD=1∴∠ACD+∠CAB=90∴∠AGC=180∴CD⊥AB．∴AB，CD是⊙O的等垂弦．【小题3】解：当等垂点P位于圆内，如答图所示，过点O作OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E，F，根据题意，得AB⊥CD，∴四边形OEPF是矩形，∵AB=CD，∴OE=OF，∴四边形OEPF是正方形，∴OE=OF=PE=PF．∵AP=