4.2.3 平行线的性质（同步练习）（解析版）- 华东师大版（2024）七上

4.2.3平行线的性质题型一根据平行线的性质求角的度数1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1=∠2，∠B【答案】30°/30度【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质和已知求出∠2=∠1=∠B，即可得出答案．解此题的关键是求出∠1【详解】解：∵AD∥∴∠1=∠B又∵∠1=∠2，∴∠2=60°，又∵FC⊥∴∠FCD∴∠BCF故答案为：30°．2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°．点E在直线【答案】30°或45°【分析】分两种情况讨论：①当EB∥AD时，②当EB∥本题主要考查了平行线的性质，分类讨论是解题的关键．【详解】解：①当EB∥AD时，则∠DCE则∠ACE②当EB∥AC时,故答案为：30°或45°．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，AB∥CD，3∠ABF=2∠ABE，【答案】3:2【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点F作l1∥CD，过点E作l2∥CD，由平行线的性质可知∠DFB=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF【详解】解：过点F作l1∥CD，过点E∵AB∥∴l1∥AB∴∠1=∠CDF，∠2=∠∴∠DFB∵l2∴∠3=∠CDE，∠4=∠∴∠BED∵3∠ABF=2∠ABE∴∠ABF=2∴

∠BFD即∠BED故答案为：3:2．4．（22-23七年级下·广东·期末）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD(1)求证：∠1=∠3；(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA【答案】(1)见详解(2)31°【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，由AB∥CD可得∠2=∠3，根据等量代换可得（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB【详解】（1）证明：∵BC平分∠∴∠1=∠2，∵AB∴∠2=∠3，∴∠1=∠3；（2）解：∵AD∴∠ADB∵∠CDA∴∠CDB∵AB∴∠ABD∴∠ABD∵BC平分∠∴∠1=∠2=1∵∠1=∠3，∴∠3=31°．5．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，连结(1)若∠1=40°，求∠2的度数；(2)判断AF与EC的位置关系，并说明理由；(3)若FA平分∠EFD，试说明EC平分∠【答案】(1)∠2=40°(2)AF∥(3)EC平分∠BEF【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质求出关系角的度数，再根据对顶角的性质求出答案；（2）根据平行线的性质和已知条件求出内错角相等两直线平行；（3）根据（2）得出的结论求出关系角，推出结论．【详解】（1）解：∵∠1=40°，∴∠AEF∵AB∥∴∠EFC∴∠2=∠EFC（2）AF∥证明：∵AB∥∴∠AEF∵∠EAF∴在△AEF和△CFE∴AF∥（3）∵AB∥∴∠BEF∵FA平分∠EFD∴∠AFE∵AF∥∴∠AFE∴EC平分∠BEF题型二根据平行线的性质探究角的关系6．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF=α，∠【答案】α【分析】本题考查平行线的性质，关键是过C作CM∥AB，得到过C作CM∥AB，得到CM∥DE，因此∠ABC【详解】解：过C作CM∥∵AB∥∴CM∥∴∠ABC=∠BCM∵BC∴∠BCM∴∠ABC∵∠ABC∴90°-β∴α-故答案为：α-7．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，MN∥CD，思考解决下列问题：试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠【答案】180°(【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键.分别过E、F…作直线平行于MN，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠m【详解】当有2个角时，根据两直线平行同旁内角互补，得出∠1+∠2=180°，当有3个角时，过点E作直线平行于MN，同理可得∠1+∠2+∠3=360°=180°×2，当有4个角时，分别过点E、F作直线平行于MN，同理可得∠1+∠2+∠3+∠4=540°=180°×3，根据规律，可得当有m个角时，∠1+∠2+∠3+∠4++∠m故答案为：180°m8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含60°角的直角三角尺EFG（其中∠EFG=90°，∠EGF=60°）按如图所示的方式摆放在两条平行线（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G落在CD上，且∠1=2∠2，则∠1的度数为．（2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在AB上，60°角的顶点G落在CD上，则∠AFG与∠EGD的数量关系为【答案】80°∠【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键．（1）根据平行线的性质可知∠1=∠EGD，依据∠2+∠（2）依据AB∥CD，可知∠AFG【详解】解：（1）∵AB∴∠1=∠EGD∵∠2+∠FGE∴∠2+60°+2∠2=180°，解得∠2=40°，∴∠1=2∠2=80°；（2）∵AB∴∠AFG即∠AFG整理得∠AFG故答案为：80°，∠AFG9．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线l1∥l2，直线l3与直线l1、(1)如图a，有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，∠1、(2)如图b，当动点P线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．【答案】(1)∠2=∠1+∠3，理由见解析(2)不成立，∠2=∠1-∠3，理由见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．（1）过点P作PE∥l1，则l1∥（2）同（1）即可求解．【详解】（1）解：∠2=∠1+∠3，理由如下，过点P作PE∥∵l1∴l∴∠1=∠APE，∠3=∠∵∠APB∴∠2=∠1+∠3．（2）解：上述结论不成立．新结论：∠2=∠1-∠3，理由如下：过点P作PE∥∵l∴l∴∠APE=∠1∵∠APE∴∠1=∠2+∠3，即∠2=∠1-∠3．10．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、(1)如图①，当点P在线段EF左侧时，求证：∠AEP，∠EPF，(2)如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC(3)若∠PEB，∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF=70°【答案】(1)∠EPF(2)∠(3)35°或145°【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．（1）作PH∥AB，证明AB∥PH∥CD，即可得到（2）作PH∥AB，证明AB∥PH∥CD，即可得到（3）分点P在线段EF左侧和点P在线段EF右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解．【详解】（1）解：如图①，作PH∥

图①∵AB∴AB∥∴∠AEP∴∠EPF即∠EPF（2）解：如图②，作PH∥

图②∵AB∴AB∥∴∠AEP∴∠AEP即∠AEP故答案为：∠AEP（3）解：如图③，当点P在线段EF左侧时，

图③由（2）得，∠BEP∵∠EPF∴∠BEP∵EQ、FQ分别是∠PEB，∠∴∠BEQ∴由（1）得∠EQF如图④，当点P在线段EF右侧时，

图④由（1）得，∠EPF∵∠EPF∴∠BEP∵EQ、FQ分别是∠PEB，∠∴∠BEQ∴由（1）得∠EQF故答案为：35°或145°．题型三平行线的性质在实际生活中的应用11．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与CD交于点N，当∠EOF=90°，∠ODC解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面，即AB∥因为∠ODC所以∠BOD=∠ODC因为∠AOE+∠EOF又因为∠EOF所以∠AOE=______因为DM∥所以∠AND=∠AOE=______所以∠ANM=180°-∠AND【答案】两直线平行，同位角相等；∠BOD；60；60；两直线平行，同位角相等；【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解．【详解】解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面，即AB∥因为∠ODC所以∠BOD因为∠AOE+∠EOF+又因为∠EOF所以∠AOE=因为DM∥所以∠AND=∠AOE所以∠ANM=180°-∠AND故答案为：两直线平行，同位角相等；∠BOD；60；60；两直线平行，同位角相等；12012．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=130°，两支架BC和CD的夹角(1)求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM(2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE【答案】(1)60°(2)60°【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．（1）过点C作CF//（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】（1）解：如图，过点C作CF∥∴∠BCF+∠∵∠CBE∴∠BCF∵∠BCD∴∠DCF∵BE∴CF∴∠CDM（2）∵AB∴∠ABC∵∠BCD∴∠ABC∵∠CBE∴∠ABE13．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG【答案】130°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出【详解】解：如图，过点F作FM∥∵AB∥∴AB∴∠DEF+∠EFM∴∠MFA∵CG∴∠EFA∴∠EFM∴∠DEF【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．14．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC=120°，(1)已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；(2)已知驱逐舰到达点C后沿C-D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E-F继续航行，且MN∥EF，【答案】(1)不会，理由见解析(2)20°【分析】（1）根据平行线的判定证明AC∥（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF∥CG，利用平行公理得到CG∥MN，求出【详解】（1）解：不会，理由是：∵∠MAC∴∠CAN∵∠NBE∴∠CAN∴AC∥∴这两艘舰艇不会相撞；（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，则EF∥∵MN∥∴CG∥MN∴∠ACG∵∠ACD∴α=∠【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．15．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题：【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且i=（1）在图1中，证明∠1=∠2；【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有∠1=∠2，∠4=∠5．（2）请问∠3和∠6有什么关系？并说明理由；（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜AB，CD的位置，并给出建议（合理即可）．【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠6，理由见解析；（3）调整平面镜AB，CD使得两面镜子达到平行（合理即可）【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．（1）根据等角的余角相等解答即可；（2）根据平行线的性质求解即可；（3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可．【详解】（1）证明：∵∠i∴∠1+∠i=90°，∴∠1=∠2；（2）∠3=∠6，理由如下：∵∠1=∠2，∠4=∠5，AB∥∴∠1=∠2=∠4=∠5，∴180°-∠1+∠2∴∠3=∠6；（3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明HG没有与光线EF平行，需要调整平面镜AB，CD的位置，使得两面镜子AB，CD达到平行（合理即可）．题型四根据平行线的性质与判定求角度16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，【答案】55°【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EF∥AB，则AB∥EF∥【详解】解：如答图，过点E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠ABE+∠BEF∵∠ABE=150°，∴∠BEF=180°-∠ABE∴∠BED17．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形FEBO中，H为OF上一点，C为BO上一点，连接BH，CH，若∠HCO=∠EBC(1)求证：EF∥(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠【答案】(1)见解析；(2)58°．【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB【详解】（1）证明：∵∠HCO∴EB∴∠EBH∵∠BHC∴∠EBH∴EF∥（2）解：∵∠HCO∴∠HCO∵BH平分∠EBC，∴∠EBH∵EF⊥OF，∴∠BHA∴∠FHC∴∠CHO18．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①，AB∥DE，试问∠B、∠解：如图①，过点C作CF∥∴∠B=∠又∵AB∥DE，∴（），∴∠E=∠∴∠B即；应用：如图②，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l拓展：如图③，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC=30°【答案】探究：两直线平行，内错角相等；DE∥CF；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；∠BCE=∠B【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键．探究：过点C作CF∥AB，可以得到AB∥DE∥应用：根据垂直的定义得到∠DOB=90°，然后根据对顶角相等得到拓展：过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，得到∠ABC【详解】探究：解：如图①，过点C作CF∥∴∠B又∵AB∥DE，∴DE∥∴∠E∴∠B即∠BCE应用：∵AB⊥∴∠DOB又∵∠1=30°∴∠BEG根据探究结论可得：∠ABE拓展：如图，过点C作CG∥AB，过点D作又∵AB∥∴AB∥∴∠ABC=∠BCG=30°，∵BC⊥∴∠BCD∴∠GCD∴∠CDE故答案为：105°．19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知AB∥CD，(1)求证：AE∥(2)若∠E=80°，∠ABD的角平分线BF与∠CDE的角平分线DF交于点F，BF与CD交于点M，∠1=116°【答案】(1)见解析(2)40°【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键．（1）先由平行线的性质，得出∠A+∠2=180°，再进行角的等量代换，得（2）过点F作直线l∥CD，得∠1=∠ABD=116°，结合角平分线的定义，得【详解】（1）解：如图：∵AB∴∠∵∠∴∠2=∠1∴AE∥（2）解：如图：过点F作直线l∥∵AB∥∴AB∥∴∠1=∠ABD∵BF平分∠ABD∴∠BFG∵AE∥BD，∴∠EDB∵∠CDB∴∠CDE∵FD平分∠CDE∴∠4=∠5=1∵AB∥∴∠3=∠4=18°，∴∠BFD20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG．AB∥DG(1)求证：AD∥(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=140°，求∠【答案】(1)见解析(2)∠【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，（1）由两直线平行，内错角相等得出∠1=∠BAD，再根据题意可得出∠BAD+∠2=180°（2）根据题意可求出∠1的大小，再根据角平分线的定义，得出∠GDC=∠1，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠1=∠BAD∵∠1+∠2=180°，∴∠BAD∴AD∥（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=140°，∴∠1=180-140°=40°，∵DG是∠ADC∴∠GDC∵AB∥∴∠B题型五根据平行线的性质与判定证明21．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG(1)求证：∠AOE(2)若∠ODG=∠C【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由垂线的定义得出∠DOE=90°，结合平角的定义得出∠AOE（2）由角平分线的定义得出∠DOG=∠COD，由垂线的定义得出∠DOE=90°即∠COE+∠【详解】（1）证明：∵OE⊥∴∠DOE∵∠DOE∴∠AOE∵∠ODG∴∠AOE（2）证明：∵射线OD平分∠BOC∴∠DOG∵OE⊥∴∠DOE∴∠COE∵∠ODG∴∠ODG∵∠ODG∴∠C∴CD∥22．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知∠1=48°，∠2=132°，∠C(1)求证：BD∥(2)若∠A=40°，求【答案】(1)见解析(2)∠【分析】本题考查了平行线的判定与性质；（1）由∠1=48°，∠2=132°，得出∠1+∠2=180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD∥（2）由BD∥CE得出∠C=∠ABD，由∠C=∠D得出∠ABD【详解】（1）证明：∵∠1=48°，∠2=132°，∴∠1+∠2=180°，∴BD（2）解：∵BD∴∠C又∵∠C∴∠ABD∵AC∴∠A23．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知BC∥(1)如图①，判断OB,(2)如图②，若点E,F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE(3)在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OFB与∠【答案】(1)OB(2)∠(3)∠OFB与∠OCB的度数之比不发生变化，∠OFB与∠【分析】贝泰妮主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）根据平行线的性质得到∠B+∠O=180°，进而得到（2）由平行线的性质得到∠BOA=80°，由角平分线的定义得到∠BOE=∠EOF（3）由平行线的性质得到∠FCO=∠COA，则可得到∠OFB=∠FOC+∠【详解】（1）解：∵BC∥∴∠B又∵∠B∴∠A∴OB∥（2）解：∵BC∥∴∠B∵∠B∴∠BOA∵OE平分∠BOF∴∠BOE又∵∠FOC∴∠EOC（3）解：∠OFB与∠OCB的度数之比不发生变化，为∵BC∥∴∠BCO=∠COA又∵∠FOC∴∠OFB∴∠OFB与∠OCB的度数之比是24．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、(1)求证：∠CAB(2)如图2，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．若∠A=50°，【答案】(1)见解析(2)80°【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．（1）过点A作AE∥MN，由平行线的性质可得∠MCA（2）过点P作PF∥【详解】（1）证明：过点A作AE∥MN，如图∵MN∥∴AE∥∴∠MCA=∠CAE∴∠CAB（2）解：过点P作PF∥AB，如图∵AB∥∴PF∥∴∠A=∠APF∵∠A=50°，∴∠APF=50°，∴∠APD题型六利用绝对值的几何意义求最值25．（22-23七年级下·广西来宾·期中）点P，Q分别在直线AB，CD上，且AB∥CD，点P到CD的距离为7cm，则点Q到ABA．大于7cm B．小于7cm C．等于7【答案】C【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题．本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键．【详解】解：∵AB∥CD，点P到CD的距离为∴Q到AB的距离等于7cm故选C．26．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，DA．AC B．AE C．AD D．BE【答案】C【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键．【详解】解：∵∠ADE∴AD⊥∵l1∥l2，点A在l1∴AD的长度是l1到l故选：C．27．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离是5cm，b与c之间的距离是2cm，则A．3cm B．7cm C．3cm或【答案】C【分析】本题考查平行线间的距离，分①直线c在直线a，b外，②直线c在直线a，b之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键．【详解】如图①，①直线c在直线a，b外时，

∵a与b之间的距离是5cm，b与c之间的距离是2∴a与c之间的距离为7cm如图②，直线c在直线a，b之间时，

∵a与b之间的距离是5cm，b与c之间的距离是2∴a与c之间的距离为3cm综上所述，a与c之间的距离为3cm或7故选：C．28．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，直线a∥b，AB与a，b分别交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线(1)若∠1=60∘，求(2)若AC=6,AB=8，BC=10，求直线【答案】(1)30°(2)24【分析】（1）由直线a∥b，根据平行线的性质得出∠3=∠1=60°，再由（2）过A作AD⊥BC于D，根据【详解】（1）∵a∴∠3=∠1=60°又∵AC∴∠2=90°-∠3=30°（2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为直线a与∵AC=6,AB=8△ABC∵S∴AD∴直线a与b的距离24【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．题型七利用平行线之间的距离解决问题29．（24-25七年级上·吉林·开学考试）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（

）A．无法比较 B．①与②相等C．①是②的2倍 D．①是②的3倍【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案．【详解】解：设两平行线间的距离为h，∴三角形面积为12×3h=∴①的面积是②的面积的2倍，故选：C．30．（24-25七年级上·河南南阳·开学考试）在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（

）．

A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等【答案】D【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，结合图形的面积公式进行判断即可．【详解】解：设两平行线间的距离为h，由图可知：平行四边形的面积为：4h，三角形的面积为12×8故三个图形的面积都相等；故选D．31．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ABC=9A．8cm2 B．9cm2 C．10cm2 D【答案】B【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果．【详解】解：设点C到AB的距离为h，∵AB∥∴点D到AB的距离也为h，∴S△故选B．32．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（

A．∠APB的大小 B．△C．△PAB的面积 D【答案】C【分析】本题考查了点到直线的距离、等底等高的三角形的面积相等、平行线间的距离的定义等知识点,熟记相关定义和性质是解答本题的关键．根据平行线间的距离、三角形的周长、面积以及角的定义逐项排查即可．【详解】解：A．∵直线m∥n，点P在直线∴∠APB是随P的运动而变化的，故AB．∵PA、PB的长度随点P的移动而变化，∴△PAB的周长会随点P的移动而变化,即BC．∵m∥n，则点P到直线n的距离不变，∴△PAB的面积不变，即CD．以上答案都不对是错误的，即D不符合题意．故选：C．33．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为8

【答案】8【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式．根据题意过点B，C分别作AD的垂线，交直线AD于点E，F，可得BE=FC，继而得到S△【详解】解：过点B，C分别作AD的垂线，交直线AD于点E，F，

∵AD∥∴BE=∵S△∴S△∴S△∴S△题型八利用绝对值的几何意义求最值34．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，（1）如图1，已知∠A=50°,∠D=150°，则（2）如图2，设∠A=α,∠D=β（3）如图3，AP⊥PD，∠ODN=13∠PDC，AN交【答案】（1）80°；（2）α+β-∠DPA【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的公理得出PE∥AB∥CD，根据平行线的性质得出（2）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠DPE=∠D（3）根据∠PAN+13∠PAB=∠P，得出∠PAN【详解】解：（1）过点P作PE∥∵AB∥∴PE∥∴∠APE=∠A∴∠EPD∴∠APD（2）过点P作PE∥∵AB∥∴AB∴∠DPE=∠D∴∠APE=180°-α∴β∴α（3）∵AP∴∠P∵∠PAN∴∠PAN∵∠PAN∴∠POA∵∠POA∴∠NOD∵∠ODN∴∠====90°，∴∠N35．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，AB∥CD，∠PAB=131°，∠PCD小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；

(直接写出答案【类比应用】：（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB、CD之间．则∠B，∠BED【解决问题】（3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠LED型的(如图3所示)，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF=126°，∠BCD=104°，则【答案】（1）129（2）∠BED=∠B+∠【分析】本题考查了平行线的性质与判定；（1）过点P作PE∥AB，得出PE∥（2）过点E作EF∥AB,根据平行线的性质可得∠BEF=∠ABE（3）过点E作EG∥MN得出∠GED【详解】（1）过点P作PE∥∵AB∥∴PE∥∵∠PAB=131°，∠=180°-∠=360°-∠=360°-131°-100°=129°（2）∠理由如下:如图所示,过点E作EF∥∵AB∥CD,∴AB∥CD∴∠BEF=∠ABE∴∠BED即∠BED（3）如图所示，过点E作EG∵EF与桌面MN垂直．∴∠∵∠∴∠由（1）可得∠故答案为：112°．36．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模