华师大（2024）数学八上12.4.2 线段垂直平分线 课件

第十二章

全等三角形12.4.2线段垂直平分线01教学目标02新知导入03新知讲解04课堂练习05课堂小结06作业布置01教学目标经历探索线段垂直平分线的性质定理与判定定理的过程，进一步体验轴对称的特点，体会互逆定理之间的关系.01会运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题，培养学生观察、发现、分析问题的能力，激发学生科学探究的兴趣.02提出问题，根据问题归纳线段垂直平分线的性质定理与判定定理，发展学生的空间想象.0302新知导入【想一想】如图，直线CD垂直平分线段AB，在直线CD上任取一点M，连结MA与MB，想一想，如果我们把线段AB沿直线CD对折，线段MA与MB会重合吗?03新知探究探究探究线段垂直平分线的性质定理如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合。我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.于是有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.03新知探究探究探究线段垂直平分线的性质定理已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点.求证：PA=PB.分析：图中有Rt△APC和Rt△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB.03新知探究探究探究线段垂直平分线的性质定理已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点.求证：PA=PB.证明：∵MN⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°，在△ACP和△BCP中，∵AC=BC，∠ACP=∠BCP=90°，PC=PC，∴△ACP≌△BCP，∴PA=PB.03新知探究探究探究线段垂直平分线的性质定理如图：如果改变点P的位置，那么PA还等于PB吗?总结归纳线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.数学语言：∵MN垂直平分AB，∴PA=PB.03新知探究【例】如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AB=8，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E和点D，△AEC的周长为13，求AC的长.解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB∴13=8+AC，∴AC=5.03新知探究探究探究线段垂直平分线性质定理的逆定理【探索】”线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等“这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢?条件结论性质定理逆命题线段垂直平分线上的点点到线段两端的距离相等到线段两端距离相等的点点在线段的垂直平分线上03新知探究探究探究线段垂直平分线的性质定理想一想：上述填写的逆命题是否是一个真命题？怎样证明这个命题是否正确？已知：如图，QA=QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.03新知探究探究探究线段垂直平分线的性质定理证明：如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C. ∵QA=QB，QC⊥AB，∴AC=CB(等腰三角形的三线合一).∴点Q在线段AB的垂直平分线上.总结归纳于是就有定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.数学语言：∵PA=PB，CA=CB，∴PC垂直平分AB.03新知探究探究探究三角形三边的垂直平分线相交于一点上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.从图中可以看出，要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.03新知探究探究探究三角形三边的垂直平分线相交于一点其思路可表示如下：试试看，现在你会证明了吗？03新知探究探究探究三角形三边的垂直平分线相交于一点证明：∵l是AB的垂直平分线，m是BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∴OA=OC ，∴点O在AC的垂直平分线n上，即AB、AC、BC的垂直平分线相交于点O.04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，PQ是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是(）.A.AP=BP B.BQ=AP C.AB=AP D.PQ=BQ B04课堂练习【知识技能类作业】必做题：2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连结BD.若AC=8，CD=5，则BD=_____.304课堂练习【知识技能类作业】必做题：3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=10°，则∠C的度数是______.40°04课堂练习【知识技能类作业】必做题：4.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则().A.点P在∠ABC的平分线上B.点P在∠ACB的平分线上C.点P在边AB的垂直平分线上D.点P在边BC的垂直平分线上D04课堂练习【知识技能类作业】选做题：5.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地.为均衡服务A，B，C三地，高铁站需建在到三地距离相等的位置，其选址应为().A.AB，BC两边垂直平分线的交点处B.AB，BC两边高线的交点处C.AB，BC两边中线的交点处D.∠B，∠C两内角的平分线的交点处A04课堂练习【知识技能类作业】选做题：6.如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD=CD，点P是直线a上一动点，连结PB，PC.若AB=5，AC=6，BC=3，则△PBC周长的最小值是______.804课堂练习【综合拓展类作业】7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E.(1)已知△ADE的周长是7cm，求BC的长;解：∵DM是AB的垂直平分线，∴DA=DB.∵EN是AC的垂直平分线，∴EA=EC.∵△ADE的周长为7cm，∴AD+DE+AE=7cm，∴BD+DE+EC=7cm，∴BC=7cm.04课堂练习【综合拓展类作业】7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E.(2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数.解：∵DA=DB，∴∠B=∠DAB=30°，∵EA=EC，∴∠C=EAC=40°.∴∠DAE=180°-∠B-∠BAD-∠C-∠EAC=40°.05课堂小结本节课你学到了什么？1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.3.三角形三边的垂直平分线交于一点.06作业布置【知识技能类作业】必做题：1.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，连结AD，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是().A.10cm B.12cm C.14cm D.15cm D06作业布置【知识技能类作业】必做题：2.如图是一块三角形的草坪，点A，B，C处各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在().A.三边的垂直平分线的交点上B.三条角平分线的交点上C.三条高所在直线的交点上D.三条中线的交点上A06作业布置【知识技能类作业】选做题：3.风筝又称“纸鸢”，距今已有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB=AD，BC=CD，AC=90cm，BD=60cm，则制作这个风筝需要的布料至少为_________cm2.270006作业布置【知识技能类作业】选做题：4.如图，直线l与线段AB相交于点O，点P在直线l上，且PA=PB，则下列结论正确的有().①AO=BO；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上.A.1个