专题2.2四种题型中的数形结合思想与真题训练-2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(原卷版+解析)

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）题型一：数轴中的数形结合思想一．选择题（共1小题）1．（2020秋•罗湖区校级期中）a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（）A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b二．解答题（共2小题）2．（2020•新华区校级模拟）已知，如图，数轴上有A，B，C，D四个点，点A对应的数为﹣1，且AB＝a+b，BC＝2a﹣b，BD＝3a+2b．（1）求点B，C，D所对应的数（用含a和b的代数式表示）；（2）若a＝3，C为AD的中点，求b的值，并确定点B，C，D对应的数．3．（2020•丰润区校级模拟）如图，数轴上的点A，B，C，D表示四个连续的整数，分别用a，b，c，d来表示，回答下面问题：（1）若点D表示原点，则a＝，3b＝；（2）若a和c互为相反数，则a+b+c+d＝；（3）若a＝2019，计算（b+1）（b﹣1）﹣（b﹣1）2．题型二：平面直角坐标系中的数形结合思想一．解答题（共4小题）1．（2021•杭州模拟）如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？2．（2020•翁牛特旗模拟）阅读下面材料：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的值相等，则称这个点为“和谐点”．例如：如图所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积的值相等，则P是“和谐点”．根据以上材料，解决下列问题：（1）判断C（2，3）、D（﹣4，﹣4）是否为“和谐点”，并说明理由；（2）若“和谐点”E（﹣3，n）在双曲线y＝（k≠0，k为常数）上，求k的值．3．（2020•顺德区三模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？4．（2020•南岸区模拟）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走，可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．（2）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图①所示，B是图象上一点，求d（O，B）的最小值及对应的点B的坐标．（3）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图②，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）题型三：函数图像中的数形结合思想一．选择题（共1小题）1．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法中不正确的是（）A．当x＞0时，y＞0 B．当x＜1时，y＜0 C．当x＜0时，y＜﹣2 D．当x≥1时，y≥0二．填空题（共1小题）2．（2021春•徐汇区期末）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是．三．解答题（共2小题）3．（2021秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．4．（2021秋•松江区期末）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当＝时，求t的值；②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．题型四：几何图形中的数形结合思想一．选择题（共1小题）1．（2007•崇安区一模）如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）二．填空题（共2小题）2．（2021春•静安区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝120°，直线AB与CD的夹角的度数是度．3．（2021秋•徐汇区期中）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于．【真题训练】1（2021上海中考真题6）.如图长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外2．（2020·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．3.（2019上海中考真题24）．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．4.（2018·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）题型一：数轴中的数形结合思想一．选择题（共1小题）1．（2020秋•罗湖区校级期中）a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（）A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．【解答】解：原式＝a﹣b﹣a＝﹣b．故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键．二．解答题（共2小题）2．（2020•新华区校级模拟）已知，如图，数轴上有A，B，C，D四个点，点A对应的数为﹣1，且AB＝a+b，BC＝2a﹣b，BD＝3a+2b．（1）求点B，C，D所对应的数（用含a和b的代数式表示）；（2）若a＝3，C为AD的中点，求b的值，并确定点B，C，D对应的数．【分析】（1）数轴上两点之间的距离可以用大的数减去小的数得到，所以小的数加上距离即可得到大的数；（2）根据中点可得到线段相等，推出a与b的关系，即可求出b，然后将b代入（1）中的代数式即可求解．【解答】解：（1）∵A对应数﹣1，且AB＝a+b，∴点B对应数轴上点的数值是﹣1+（a+b）＝a+b﹣1，又∵BC＝2a﹣b，AC＝a+b+（2a﹣b）＝3a，∴点C对应的数值是﹣1+3a，∵BD＝3a+2b，AD＝a+b+（3a+2b）＝4a+3b，∴点D对应的数值是﹣1+4a+3b．（2）∵点C为AD的中点，∴AC＝CD，即3a＝a+3b，∴，∵a＝3，∴b＝2，∴a+b﹣1＝4，﹣1+3a＝8，﹣1+4a+3b＝17，∴B对应数轴上的数值是4，C对应数轴上的点的数值是8，D对应数轴上的数值是17．【点评】本题主要考查数轴上两点之间的距离，在明确数位置的情况下，可以不加绝对值，直接用大的数减去小的数即可得到，所以小的数加上两者之间的距离也可得到大的数．3．（2020•丰润区校级模拟）如图，数轴上的点A，B，C，D表示四个连续的整数，分别用a，b，c，d来表示，回答下面问题：（1）若点D表示原点，则a＝﹣3，3b＝；（2）若a和c互为相反数，则a+b+c+d＝2；（3）若a＝2019，计算（b+1）（b﹣1）﹣（b﹣1）2．【分析】（1）当点D表示原点时，可得a＝﹣3，b＝﹣2，可求得此题结果；（2）根据a和c互为相反数，可得a，b，c，d的值，可求得此题结果；（3）由题意求得b的值，就可以求得此题的结果．【解答】解：（1）当点D表示原点时，可得a＝﹣3，b＝﹣2，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴3b＝3﹣2＝，故答案为：﹣3，；（2）若a和c互为相反数，可得a＝﹣1，b＝0，c＝1，d＝2，∴a+b+c+d＝﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2；（3）若a＝2019，则b＝2020，∴（b+1）（b﹣1）﹣（b﹣1）2＝（2020+1）（2020﹣1）﹣（2020﹣1）2＝20202﹣1﹣（20202﹣2×2020+1）＝20202﹣1﹣20202+2×2020﹣1＝4040﹣2＝4038．【点评】此题考查了数轴方面数形结合问题的解决能力，关键是能根据题意和数轴，准确确定数轴上的点所表示的实数．题型二：平面直角坐标系中的数形结合思想一．解答题（共4小题）1．（2021•杭州模拟）如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点B、D的横坐标，设抛物线解析式为y＝ax2，然后可进行求解；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．【解答】解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为y＝ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m﹣3），由抛物线经过点D和点B，可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为＝5（小时）．∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．【点评】本题考查了二次函数的应用，明确题意、熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．2．（2020•翁牛特旗模拟）阅读下面材料：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的值相等，则称这个点为“和谐点”．例如：如图所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积的值相等，则P是“和谐点”．根据以上材料，解决下列问题：（1）判断C（2，3）、D（﹣4，﹣4）是否为“和谐点”，并说明理由；（2）若“和谐点”E（﹣3，n）在双曲线y＝（k≠0，k为常数）上，求k的值．【分析】①根据给出的“和谐点”定义判断C，D两点；②求E点中n，再代入双曲线求解析式．【解答】解：（1）∵∁C＝（2+3）×2＝10，SC＝3×3＝6，∴∁C≠SC，∴C（2，3）不是“和谐点”，∵∁D＝（4+4）×2＝16，SD＝4×4＝16，∴∁D＝SD，∴D（﹣4，4）是“和谐点”．（2）∵E是和谐点，∴∁E＝SE，∴（3+|n|）×2＝3×|n|，∴n＝±6，∴k＝xy＝﹣3n＝±18．【点评】本题考查定义新运算，以满足特殊条件的点的坐标进行判断，结合反比例函数待定系数法解题．3．（2020•顺德区三模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+8，再把B（﹣8，6）代入，求出a的值即可；（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．【解答】解：（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：64a+8＝6，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．（2）根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣x2+8，得y＝7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，恰当地建立平面直角坐标系、利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．4．（2020•南岸区模拟）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走，可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．（2）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图①所示，B是图象上一点，求d（O，B）的最小值及对应的点B的坐标．（3）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图②，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；（2）设B（x，y），根据条件可得d（O，B）＝|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值，再将此时点B的横坐标代入y＝x2﹣5x+7，即可得出其纵坐标，从而问题得解；（3）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可证得d（O，E）最小．【解答】解：（1）由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3，故答案为：3．（2）设B（x，y），根据题意得：d（O，B）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|；∵x2﹣5x+7＝+＞0，又x≥0，∴d（O，B）＝x+x2﹣5x+7＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3．∴当x＝2时，d（O，B）有最小值3，22﹣5×2+7＝1，∴d（O，B）的最小值为3，点B的坐标为（2，1）．（3）如图，以M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止．设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H．修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l'∥l，l'与x轴相交于点G．因为∠EFH＝45°，所以EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF．同理d（O，P）＝OG．因为OG≥OF，所以d（O，P）≥d（O，E）．因此，上述方案修建的道路最短．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用及按照新定义求值，数形结合并明确函数的相关性质是解题的关键．题型三：函数图像中的数形结合思想一．选择题（共1小题）1．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法中不正确的是（）A．当x＞0时，y＞0 B．当x＜1时，y＜0 C．当x＜0时，y＜﹣2 D．当x≥1时，y≥0【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．【解答】解：由一次函数y＝ax+b的图象可知，当x＞0时，y＞﹣2，故A说法不正确；当x＜1时，y＜0，故B说法正确；当x＜0时，y＜﹣2，故C说法正确；当x≥1时，y≥0，故D说法正确．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．二．填空题（共1小题）2．（2021春•徐汇区期末）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4．【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（4，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜4时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4．故答案为：x＜4【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．三．解答题（共2小题）3．（2021秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t的值，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，设P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵点N在直线y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．4．（2021秋•松江区期末）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当＝时，求t的值；②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；（3）设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．【解答】解：（1）由y＝﹣x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①如图1，∵DE∥OB，∴，∵，∴，又∵∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE＝∠DBC，∴AE∥BC，∴C点的纵坐标为2，∴2＝﹣x2+x+2，∴x＝0或x＝2，∴C（2，2），∴t＝2；②如图2，设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，∵∠BCH＝∠ACE，∴tan∠BCH＝tan∠ACE，∴，∴，∴t＝，∴C（，），∴S△ACB＝S△ACE+S梯形BOCE﹣S△ABO＝﹣＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．题型四：几何图形中的数形结合思想一．选择题（共1小题）1．（2007•崇安区一模）如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．二．填空题（共2小题）2．（2021春•静安区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝120°，直线AB与CD的夹角的度数是60或120度．【分析】根据对顶角和邻补角的知识可求得此题的结果．【解答】解：∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°．故答案为：60或120．【点评】此题考查了对顶角与邻补角的计算能力，关键是能准确理解应用以上知识，并能严谨推导计算．3．（2021秋•徐汇区期中）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于4．【分析】如图，甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，根据正方形性质可推出△ABC∽△BDE，通过相似三角形性质建立方程求解即可．【解答】解：如图，∵甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，∴∠BCF＝∠CBG＝∠DEG＝90°，AF＝9，BC＝CF＝BG＝6，DE＝EG＝x，∴∠ACB＝180°﹣∠BCF＝90°，∠BED＝180°﹣∠DEG＝90°，∴∠ACB＝∠BED，∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBE，∴△ABC∽△BDE，∴＝，∵AC＝AF﹣CF＝9﹣6＝3，BE＝BG﹣EG＝6﹣x，∴＝，解得：x＝4，∴正方形丙的边长为4，故答案为：4．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，运用数形结合思想是解题关键．【真题训练】1（2021上海中考真题6）.如图长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外【考点】点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理．【解答】解：两圆外切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，则：AB=R-1,解出R=5，即圆A的半径等于5，∵AB=4,BC=AD=3，由勾股定理可知AC=5∴AC=5=R，AD=3＜R，∴点C在圆上，点D在圆内故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．2．（2020·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；

（2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；

（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，则﹣x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB==5；（2）设点C(m，﹣m+5)．∵B(0，5)，∴BC==|m|．∵BC=，∴|m|=，∴m=±2．∵点C在线段AB上，∴m=2，∴C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得，∴，∴抛物线y=﹣x2+x；（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．3.（2019上海中考真题24）．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【解答】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B