广东省广州市荔湾区2025-2026学年高三上学期10月调研测试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省广州市荔湾区2025-2026学年高三上学期10月调研测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．复数满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（

）A．抽取男生的样本量为40B．估计该校高三学生身高的均值为165C．抽样时女生甲被抽到的概率为D．估计该校高三学生身高的方差为195．的外接圆圆心为为的中点，且，则（

）A．5 B．10 C．13 D．266．已知函数，则（

）A． B．C． D．7．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（

）A．9143 B．9145 C．10009 D．10154二、多选题9．关于的展开式，下列结论正确的是（

）A．二项式系数和为64B．所有项的系数之和为2C．第三项的二项式系数最大D．系数最大值为24010．某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C，则（

）A．B．C．D．11．菱形中，，，对角线交于点，沿对角线将折起，使二面角的大小为，则（

）A．平面 B．平面平面C．点到所在平面的距离为 D．四面体的外接球的表面积是三、填空题12．在等差数列中，.则公差.13．若函数是奇函数，则实数.14．当时，函数的零点个数为，所有零点之和为.四、解答题15．如图，在中，的角平分线交于点，且，.(1)求证：；(2)求的面积.16．如图1，在正四棱锥中，所有棱长均为分别是棱和上的动点，满足.(1)求证：平面；(2)若异面直线与垂直，求的值；(3)如图2，现将棱长为2的正四面体与正四棱锥进行拼接，使得顶点分别与重合，求证：四点共面.17．在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由；(3)设点为圆上异于和的任意一点，若直线与直线分别交于点，求证：两点的纵坐标之积为定值.18．某检测中心在化验血液时有两种化验方法：①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.（参考数据：）19．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有三个零点，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省广州市荔湾区2025-2026学年高三上学期10月调研测试数学试题》参考答案题号12345678910答案ACBCBCBDADACD题号11答案ABD1．A【分析】求出集合，利用并集的定义即可求解.【详解】由题可得：，所以；故选：A2．C【分析】根据复数的模的几何意义可得复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆即可求解.【详解】设复数，则对应点的坐标为，所以所以复数对应的点到的距离为，故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为故选：C3．B【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错；选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直，即为它们的法向量垂直，则，B正确；选项C，若，且，则或，C错；选项D，若，则可能有，也可能相交，D错.故选：B．4．C【分析】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C.【详解】某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.则抽取男生的样本量为，A选项错误；男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则估计该校高三学生身高的均值为，B选项错误；抽样时女生甲被抽到的概率为，C选项正确；估计该校高三学生身高的方差为，D选项错误；故选：C.5．B【分析】设分别为的中点，连接，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案.【详解】由题意知的外接圆圆心为为的中点，则；设分别为的中点，连接，则，

，结合，可知，故，即，故选：B6．C【分析】先应用二倍角公式及辅助角公式化简再分别判断各个选项即可.【详解】函数，，A选项错误；不等于，B选项错误；，C选项正确；不是最大值，所以不成立，D选项错误；故选：C.7．B【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解.【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以，则，，设，则所以；由于，因为，所以，则，则，因为，所以故选：B8．D【分析】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解.【详解】由题意得，，，，所以，当时，，共10项，这10项的和为,其余项有项，当时，，这些项的和为，所以.故选：.9．AD【分析】利用二项式系数和公式可判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式定理的性质可判定C，利用二项式展开式通项可判定D.【详解】由二项式系数和公式知的二项式系数和为，故A正确；令，则的展开式所有项的系数之和为，故B错误；易知的展开式共7项，所以二项式系数最大项为第四项，故C错误；设的展开式通项为，，计，显然取偶数时各项系数为正数，，可知系数最大值为240，故D正确.故选：AD10．ACD【分析】应用概率的基本性质计算求解判断A，B，应用条件概率计算判断C，D.【详解】某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C，则，，A选项正确；，不相等，B选项错误；，C选项正确；，D选项正确；故选：ACD.11．ABD【分析】根据线面垂直的判定定理判断A的真假；根据A选项的结果，判断面面垂直，可得B是否正确；求点到平面的距离，判断C的真假；求四面体外接球半径，确定外接球表面积没判断D的真假.【详解】如图：对于A选项，菱形的对角线互相垂直，则，，，且在折起的过程中垂直关系保持不变，则平面AOC，所以A选项正确．对于B选项，由A选项得平面AOC，平面BCD，∴平面平面BCD，所以B选项正确．对于C选项，由二面角的定义知，又平面平面BCD，交线为OC，在平面AOC中，过A作，交CO的延长线于E，则平面BCD，AE为所求的点面距离．由，，得，所以C选项错误．对于D选项，设，的外心分别为，，的外接球球心为M，半径为R，根据的对称性，可知，，都在平面内，且，如图：做平面.则，的外接圆是四边形的外接圆，外接圆直径，，，，所以D选项正确．故选：ABD12．【分析】设等差数列的公差为，可得,即可求得公差.【详解】设等差数列的公差为，在等差数列中，，所以,解得:，所以;故答案为：13．1【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解.【详解】，所以，因为为奇函数，所以，所以，即，所以，所以，所以，解得，此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意.故答案为：1.14．3【分析】利用正、余弦函数的图象与对称性，结合导数研究函数的单调性数形结合分析即可.【详解】易知，取，则，且，因为在上单调递减，所以，即在上单调递减，，即此时无零点，分别作出的图象如下，两函数都关于轴对称，且都关于中心对称，显然由上结合图象可知上两函数无交点，有一个交点，又由两函数的轴对称性可知也有一个交点，又时，两函数相交，此时相交，再由两函数的中心对称性知上无交点，综上所述，两函数共有三个交点，其中一个为，另外两个关于轴对称，故三个交点横坐标之和为.故答案为：3；.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意得，，在中，利用正弦定理即可证明；（2）利用和差公式、倍角公式可得，由，结合倍角公式、同角关系式可得，继而可得，再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1），，的角平分线交于点；，，在中，由正弦定理得，即，（2），，，，，，或（舍），所以，，.16．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）过作，交于点，连接，可得四边形为平行四边形，从而证明平面;（2）解法一：由（1）知，从而可得，利用三角形的性质即可求得的值；解法二：作平面，则是正方形的中心，建立空间直角坐标系；（3）解法一：作中点，连接，可得即为二面角的平面角，即为二面角的平面角，分别求出其余弦值，找到余弦值的关系即可证明；解法二：作平面，则是正方形的中心，建立空间直角坐标系，利用边长关系求出点坐标，在利用向量关系即可证明结论.【详解】（1）过作，交于点，连接，四边形为平行四边形面面面（2）解法一：由（1）知若异面直线与垂直，则在中，为中点又为中点解法二：作平面，则是正方形的中心，如图建立空间直角坐标系；得，（3）解法一：作中点，连接在正四棱锥中，所有棱长均为，即为二面角的平面角，由于，则，同理可得在正四面体中，即为二面角的平面角，，三点共线，四点共面解法二：作平面，则是正方形的中心，如图建立空间直角坐标系；，设因为，解得，所以四点共面17．(1)(2)直线与椭圆相切，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的定义求轨迹方程即可；（2）利用点斜式方程求出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系；（3）设，利用点斜式方程求出线段的垂直平分线的方程，继而可求出，计算即可证明.【详解】（1）圆心，半径，线段的垂直平分线交半径于点点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为（2）直线过，斜率为，直线，联立，可得，即，只有一个解，直线与椭圆相切.（3）设，线段中点所以直线，即，当时，，当时，，，.18．(1)(2)分布列见解析(3)【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可；（2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可；（3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解.【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，则，故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为.（2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，则，可知，，，所以的分布列为：712（3），，所以，令，则，即，当时，，两边取以为底的对数，得到，设函数，则，当时；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以的最大值为.19．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解；（2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间；（3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参.【详