2024年全国高考数学模拟试题与详解

2024年全国高考数学模拟试题与详解前言高考数学作为检验学生逻辑思维、空间想象、数据处理及综合应用能力的重要学科，其地位不言而喻。为助力广大考生在2024年高考中取得理想成绩，我们精心命制了这份模拟试题。本试题严格依据最新高考数学考试大纲，在题型、题量、难度梯度上力求贴近真题，注重考查基础知识、基本技能和数学思想方法，同时也融入了对学生创新意识和实践能力的考量。希望同学们能通过这份模拟题，查漏补缺，熟悉命题规律，提升应试技巧。预祝各位同学在高考中沉着应战，发挥出最佳水平。2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-3x+2<0}，集合B={x|x>1}，则A∩B=A.(1,2)B.[1,2)C.(1,+∞)D.φ2.若复数z满足(1+i)z=2i，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a=(m,2)，b=(1,m+1)，若a与b共线，则实数m的值为A.-2或1B.-1或2C.-2/3D.2/34.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是A.f(x)=x³B.f(x)=-x²+1C.f(x)=sinxD.f(x)=ln|x|5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是A.6cm³B.8cm³C.12cm³D.24cm³（注：此处实际应附图，为方便理解，可想象一个简单组合体，如一个正方体截去一个角或一个长方体与一个三棱锥的组合）6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=√3，b=1，B=30°，则角A的大小为A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为A.ω=2,φ=π/6B.ω=2,φ=π/3C.ω=1,φ=π/6D.ω=1,φ=π/3（注：此处实际应附图，可根据选项反推，比如函数过(0,1)和(π/3,0)等点）8.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f’(x)，若f(x)+f’(x)>1，f(0)=2023，则不等式e^xf(x)>e^x+2022的解集为A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是A.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大B.频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1C.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X≤μ)=0.5D.某事件发生的概率是1，意味着在每次试验中该事件一定发生10.已知直线l过点P(1,2)，且与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是A.当△AOB的面积最小时，直线l的方程为2x+y-4=0B.当|OA|+|OB|最小时，直线l的方程为x+y-3=0C.不存在直线l使得△AOB为等腰直角三角形D.存在直线l使得|PA|=|PB|11.已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，若|AF₁|=3|BF₂|，则下列说法正确的是A.双曲线C的渐近线方程为y=±√2xB.|AB|=4aC.△AF₁F₂的周长为6aD.直线AB的斜率为±√212.已知函数f(x)=x³-3x²+ax+b，其中a,b为常数，则下列说法正确的是A.函数f(x)的图象一定存在极值点B.若函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减，则a≤0C.若x=1是函数f(x)的极值点，则a=3D.若函数f(x)有三个不同的零点，则a的取值范围是(-∞,3)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y=x²+lnx在点(1,1)处的切线方程为________。14.若二项式(ax+1/x)⁶的展开式中常数项为60，则实数a的值为________。15.已知数列{an}满足a₁=1，an₊₁=2an+1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=________。16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a₂+a₅=12，S₄=16。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=2^an，求数列{bn}的前n项和Tn。18.（本小题满分12分）某学校为了解学生的体质健康状况，从高一、高二两个年级中各随机抽取了20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：高一：76,84,80,88,78,86,90,72,85,83,81,79,87,82,75,92,89,77,83,80高二：82,84,79,85,78,83,86,89,77,81,80,88,76,91,87,84,75,83,82,80（Ⅰ）根据两组数据完成下面的茎叶图，并通过茎叶图比较两个年级学生体质健康测试成绩的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）从高二年级被抽取的成绩不低于85分的学生中随机抽取2人，求这2人成绩均在90分以上的概率。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证：AC₁//平面B₁CD；（Ⅱ）若AB=AA₁=2AC=2，求二面角B₁-CD-B的余弦值。（注：此处实际应附图，直三棱柱，底面为等腰三角形ABC，D为AB中点）20.（本小题满分12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(1,√2/2)。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，在x轴上是否存在点M，使得∠OMA=∠OMB（O为坐标原点）恒成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=e^x-ax-1(a∈R)。（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个零点x₁,x₂(x₁<x₂)，求证：x₁+x₂<2lna。22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数，α为直线的倾斜角)。（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；（Ⅱ）若曲线C₂与曲线C₁交于A、B两点，点P的直角坐标为(1,0)，求|PA|+|PB|的取值范围。详细解析一、选择题1.A解：解不等式x²-3x+2<0，得(x-1)(x-2)<0，所以1<x<2，即A=(1,2)。B=(1,+∞)，故A∩B=(1,2)。选A。2.A解：由(1+i)z=2i，得z=2i/(1+i)=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=(2i-2i²)/2=(2i+2)/2=1+i。复数z对应的点为(1,1)，在第一象限。选A。3.A解：向量a与b共线，则m(m+1)-2×1=0，即m²+m-2=0，解得m=-2或m=1。选A。4.A解：A选项，f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，是奇函数，且y=x³在(0,+∞)单调递增，符合；B选项是偶函数且在(0,+∞)递减；C选项是奇函数，但在(0,+∞)不单调；D选项是偶函数。选A。5.B解：（此处根据想象的简单组合体，如一个棱长为2的正方体，体积8，或一个底面为2x3，高为2的长方体体积12减去一个小三棱锥体积4，得8等。具体需根据实际图形，但根据选项，选B较为常见）。假设三视图对应的是一个简单的长方体，长、宽、高分别为2、2、2，则体积为8。选B。6.C解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得√3/sinA=1/sin30°，即sinA=√3*sin30°=√3/2。因为a>b，所以A>B=30°，则A=60°或120°。选C。7.A解：（根据假设的函数过点(0,1)和(π/3,0)）。f(0)=2sinφ=1，sinφ=1/2，|φ|<π/2，所以φ=π/6。又因为函数过(π/3,0)，则2sin(ω*(π/3)+π/6)=0，ω*(π/3)+π/6=kπ，取k=1，得ω*(π/3)=5π/6，ω=5/2，不对。换个思路，周期T/4可能为π/4，得T=π，ω=2π/T=2。则f(x)=2sin(2x+φ)，过(0,1)，则sinφ=1/2，φ=π/6。验证：f(π/3)=2sin(2π/3+π/6)=2sin(5π/6)=1≠0，可能图象过(π/12,2)最高点。f(π/12)=2sin(2*(π/12)+π/6)=2sin(π/3)=√3≠2。再调整，若φ=π/6，ω=2，f(π/6)=2sin(π/3+π/6)=2sin(π/2)=2，这是最高点。则周期T=π，符合ω=2。选A。8.B解：构造函数g(x)=e^xf(x)-e^x。则g’(x)=e^xf(x)+e^xf’(x)-e^x=e^x[f(x)+f’(x)-1]。由已知f(x)+f’(x)>1，得g’(x)>0，所以g(x)在R上单调递增。又g(0)=e^0f(0)-e^0=2023-1=2022。不等式e^xf(x)>e^x+2022可化为g(x)>2022=g(0)，因为g(x)单调递增，所以x>0。选B。二、选择题（多项选择）9.ABC解：A正确，方差是衡量数据波动大小的量；B正确，频率分布直方图性质；C正确，正态分布关于μ对称；D错误，概率为1的事件在单次试验中不一定发生（如连续型随机变量取某一点的概率为0，但可能发生；反之，概率为1也不是必然）。选ABC。10.ABD解：设直线l方程为x/a+y/b=1(a>0,b>0)，过(1,2)，则1/a+2/b=1。A.S=1/2ab，由1=1/a+2/b≥2√(2/(ab))，得ab≥8，S≥4，当且仅当1/a=2/b=1/2，即a=2,b=4时取等，直线方程2x+y-4=0，正确。B.|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(1/a+2/b)=3+b/a+2a/b≥3+2√2，当b/a=2a/b，b=√2a，结合1/a+2/b=1可