浙江省瑞安市2023-2024学年八年级第一学期数学期中试卷（含答案）

第第页浙江省瑞安市2023-2024学年八年级第一学期数学期中试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．下列长度(单位cm)的线段不能组成三角形的是（）A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，82．下列各组图形中是全等三角形的一组是（）A． B．C． D．3．对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（）A．∠1=80°，∠2=110° B．∠1=10°，∠2=169°C．∠1=60°，∠2=120° D．∠1=60°，∠2=140°4．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（）A．75° B．85 C．90° D．95°5．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．①②③6．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ7．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（）A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形B．不是等腰三角形的两个角不相等C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形D．有两个角相等的三角形是等腰三角形8．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度相同的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝12，CE＝16，CD⊥BC，则一根火柴棒的长度为（）A．8 B．10 C．12 D．149．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（）①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(3－1)AE．A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④10．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，连结DE，DE⊥AD，S△AEC：S△ACF＝3：8，AB＝14，CE的值为（）A．2.5 B．4 C．3.5 D．3二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．12．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝°．13．在等腰三角形ABC中，若∠B=140°，则ABAC（用“＞”“＝”“＜”中的一个符号填空）.14．如图，已知P是∠ABC平分线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥BA，垂足分别是E、F，如果PE＝3，那么PF＝．15．如图，一太阳能热水器支架(Rt△ACB)两直角边AC＝1.2米，CB＝1.6米，点D为受光面斜边AB的中点，则连杆CD的长为米．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝30°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AD，则∠DOC的度数为．17．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．18．如图，点P是在正△ABC内一点．PA＝6，PB＝8，PC＝10，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP′，连结．P′P，P′C，四边形APCP′的面积为，S△APB＋S△BPC＝．三、解答题（本题有5小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AB=AD=CD．若∠BAD=36°，求∠C的度数．20．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．（1）求证：AE＝DF．（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD．（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．22．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，已知BD=6，AD=8．

（1）求CD的长．（2）动点P从点B出发，沿射线BD以每秒1个单位长度的速度运动，Q为射线DA上一点，DQ=BP，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．①当点P在线段BD上时，若△CPQ是以CP为腰的等腰三角形，求t的值．②在点P的整个运动过程中，作点Q关于AP的对称点Q'，连结BQ'，当BQ'//AC时，请直接写出此时PD23．如图，△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E，F分别在射线BA，BC上，DE⊥DF，点M为EF的中点，点P在BC上，BP＝2，CP＝6，（1）当点E在BA的延长线上，证明AE=CF.（2）当△MPF为直角三角形，求AE的长.（3）直接写出PM的最小值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵3+3＞3，∴能组成三角形，故A不符合题意；

B、∵3+5＞5，∴能组成三角形，故B不符合题意；

C、∵3+4＞5，∴能组成三角形，故C不符合题意；

D、∵3+5=8，∴不能组成三角形，故D符合题意.故答案为：D.

【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断，即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵4≠6

∴两三角形不全等，故A不符合题意；

B、如图，

∵AC=DE=3，∠C=∠E=90°，BC=EF=5，

∴△ABC≌△DFE（SAS），故B符合题意；

C、如图

∵AC≠DE，∠C=∠E，CB=EF，

∴△ABC不全等△DFE，故C不符合题意；

D、已知两个三角形的一组边相等，但对应角不相等，

∴这两个三角形不全等，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用两个等边三角形不一定是全等三角形，可对A作出判断；利用SAS可对B，C作出判断；然后根据底边相等的两个的等腰三角形不一定是全等三角形，可对D作出判断.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵80°+110°=190°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；B、∵10°+169°=179°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；C、∵60°+120°=180°，∴∠1与∠2互补，但∠1≠∠2≠90°，∴能作为说明这个命题是假命题的反例；D、∵60°+140°=200°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例.故答案为：C.【分析】要使命题：如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°为假命题所举的反例需满足∠1与∠2互补，但不满足∠1=∠2=90°，据此判断.4．【答案】A【解析】【解答】解：如图，

∵∠A=30°，∠AED=∠D=45°，

∴∠α=∠A+∠AED=30°+45°=75°，故答案为：A.

【分析】根据三角板的度数得出∠A=30°，∠AED=∠D=45°，再根据三角形外角性质得出∠α=∠A+∠AED，即可得出答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：①作一个角的角平分线，正确；

②作一个角等于已知角，正确；

③作一条线段的垂直平分线，不正确.故答案为：B.

【分析】根据尺规作图-作一个角的角平分线、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线的作法逐项进行判断，即可得出答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵线段AP为BC边上的高线，

∴由垂线段最短得：AP≤AQ，AP≤AR，故答案为：A.【分析】根据垂线段最短，据此即可求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵定理“等腰三角形的两个底角相等”得题设是等腰三角形，结论是两个底角相等，

∴该定理的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形．故答案为：D.【分析】一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置，即可得出该命题的逆命题，故只要找出原命题的逆命题，此题得解了.8．【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC于点F，过点D作DG⊥AE于点G，∵AB=BC，BF⊥AC，AC=12，

∴CF=12AC=6，∠BFC=90°，

∴∠FBC+∠BCF=90°，

∵CD⊥BC，

∴∠BCD=90°，

∴∠DCG+∠BCF=90°，

∴∠DCG=∠FBC，

∵CD=DE，DG⊥CE，CE=16，

∴CG=12CE=8，∠DGC=90°，

在△BCF与△CDG中，

∵∠DCG=∠FBC，∠CGD=∠BFC=90°，BC=CD，

∴△BCF≌△CDG（AAS）

∴DG=CF=6，

在Rt△CDG中，CG=8，DG=6，

∴CD=10，即一根火柴棒的长度为10.【分析】过点B作BF⊥AC于点F，过点D作DG⊥AE于点G，由等腰三角形的三线合一得CF=12AC=6，∠BFC=90°，由直角三角形的两锐角互余得∠FBC+∠BCF=90°，由平角定义得∠DCG+∠BCF=90°，根据同角的余角相等得∠DCG=∠FBC，再根据等腰三角形的三线合一得CG=19．【答案】C【解析】【解答】解：∵将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，

∴∠BAE=∠EAD=12∠BAD，∠CAF=∠DAF=12∠CAD，

∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=12（∠BAD+∠CAD）=12∠BAC=12×90°=45°，故①正确；

∵∠BAC=90°，∠C=30°，

∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，

∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=3m，

∴CD=DF+CF=1+3m，

∵∠BDA=60°，∠C=30°，

∴∠DAC=∠C=30°，

∴DC=AD=1+3m=BD

∴BE=DE=12BD=1+32m，而C'F=3m，

∴C'F≠BE，故②错误；

∵CD=1+3m，BE=DE=1+32m，

∴CE=CD+CD=1+32m+1+3m=3+332m=3BE，故③正确；

∵∠BEC=90°，∠C=30°，

∴AE=33CE=33×3+332m=31+32m，

∴3-110．【答案】D【解析】【解答】解：如图，延长AD与FE相交于点G，∵点D是BC的中点，

∴CD=BD，

∵AB∥EF，

∴∠B=∠DCG，∠G=∠BAD，

在△ABD与△GCD中，

∵∠B=∠DCG，∠G=∠BAD，CD=BD，

∴△ABD≌△GCD（AAS），

∴AB=CG=14，AD=GD，

又∵DE⊥AD，

∴DE是线段AG的垂直平分线，

∴AE=GE，

∵S△ACE∶S△ACF=3∶8，

∴CE∶CF=3∶8，

设CE=3x，CF=8x，

∴EF=AE=CE+CF=11x=GE，

∴CG=GE+CE=14x=14，

∴x=1，

∴CE=3x=3.

故答案为：D.【分析】延长AD与FE相交于点G，由中点定义得DB=CD，由二直线平行，内错角相等得∠B=∠DCG，∠G=∠BAD，从而用AAS判断出△ABD≌△GCD，由全等三角形的对应边相等得AB=CG=14，AD=GD，结合DE⊥AD可得DE是线段AG的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=GE，由同高三角形的面积之比等于底之比得CE∶CF=3∶8，设CE=3x，则CF=8x，由线段的和差得EF=AE=CE+CF=11x=GE，进而根据CG=GE+CE建立方程可求出x的值，从而得出CE的长.11．【答案】同位角相等，两直线平行【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．12．【答案】60【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝50°，∠B＝70°，

∴∠C=60°，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠F=∠C=60°.故答案为：60.【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C=60°，进而根据全等三角形的对应角相等得∠F=∠C=60°.13．【答案】＜【解析】【解答】解：如图.在等腰三角形ABC中，若∠B＝140°，则∠B为顶角，AB＝BC，∴∠C＝∠A＝180°−∠B2∴∠C＜∠B，∴AB＜AC.故答案为：＜.【分析】根据三角形的内角和定理及等腰三角形的两底角相等可知∠B只能为等腰三角形的顶角，故∠C=∠A=20°，进而根据大角对大边即可得出答案.14．【答案】3【解析】【解答】解：∵P是∠ABC平分线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥BA，垂足分别是E、F，PE=3，

∴PF=PE=3.故答案为：3.【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PF=PE=3.15．【答案】1【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC＝1.2米，CB＝1.6米，

∴AB=AC2+BC2=2米，

∵故答案为：1.【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长.16．【答案】90°【解析】【解答】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE=30°，

在△ABD与△ACE中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ACE=∠B，

∵AB∥CE，

∴∠B+∠BCE=180°，即∠B+∠ACB+∠ACE=180°，

∴3∠B=180°，

∴∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∵∠CAE=30°，

∴AC⊥DE，

∴∠COD=90°.故答案为：90°.

【分析】由等边对等角得∠B=∠ACB，由已知推出∠BAD=∠CAE=30°，然后用SAS判断△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应角相等得∠ACE=∠B，进而根据二直线平行，同旁内角互补可算出∠B=60°，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC、△ADE是等边三角形，最后根据等边三角形的三线合一得出AD⊥DE，从而根据垂直的定义得出∠COD的度数.17．【答案】2【解析】【解答】解：如图，∵地毯被平均分成了3份，

∴每一个小正方形的面积为13×12=13，

每个小正方形的边长为13=33，

∴CD=3×33=3，【分析】先根据剪裁和拼接可得每一个阴影小正方形的面积为1318．【答案】93+24【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP'，

∴AP=AP'，∠PAP'=60°，

∴△APP'是等边三角形，

∴S△APP'=12×6×33=93，PP'=AP=6，∠BAC-∠CAP=∠PAP'-∠CAP，即∠BAP=∠CAP'，

在△ABP与△ACP'中，

∵AP=AP'，∠BAP=∠CAP'，AB=AC，

∴△ABP≌△ACP'（SAS），

∴P'C=BP=8，

在△PP'C中，∵pp'=6，P'C=8，PC=10，

∴P'P2+P'C2=PC2，

∴△P'PC是直角三角形，∠PP'C=90°，

∴S△P'PC=12×6×8=24，

∴四边形APCP'的面积=S△APP'+S△PP'C=24+93；

过点A作AH⊥CP'，交CP'的延长线于点H，

∵∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°，

∴∠AP'H=30°，

∴AH=12AP'=3，

∴P'H=P'A2-AH2=33，

∴AC2=AH2+CH2=32+8+332=100+483，

∵S△ABC=12×32AC2=34100+483=253+36，

∵S△ACP'=12CP'×AH=12×8×3=12，

∴S△APC=S四边形APCP'-S△ACP'=24+93-12=12+919．【答案】解：△ABD中，AB=AD，∠BAD=36°，

∴∠B=∠ADB=12（180°-∠BAD）=72°，

∵AD=CD，

∴∠C=∠DAC，

∵∠ADB=∠C+∠DAC，

∴2∠C=72°，

∴【解析】【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=∠ADB=1220．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠B=∠C，

在△ABE与△DCF中，

∵∠A=∠D，AB=CD，∠B=∠C，

∴△ABE≌△DCF（ASA），

∴AE=DF；（2）解：∵△ABE≌△DCF，

∴BE=CF，

又∵BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF=16+6=22，

∴2BE=22，

∴BE=11.【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠B=∠C，从而用ASA判断出△ABE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF；

（2）由全等三角形的对应边相等得BE=CF，进而根据线段的和差可得BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF，从而代入可求出BE的长.21．【答案】（1）证明：∵EC⊥AC，∠BAC=90°，

∴∠ACE=∠BAC=90°，

在Rt△ABD与Rt△CAE中，

∵AB=AC，BD=AE，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），

∴CE=AD；（2）证明：∵Rt△ABD≌Rt△CAE，

∴CE=AD，∠CAE=∠ABD，∠ADB=∠E，

∵CF=AD，

∴CF=CE，

∴∠E=∠CFE=∠AFB=∠ADB，

结合8字形图可得∠CBD=∠CAE，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC.【解析】【分析】（1）直接利用HL判断出Rt△ABD≌Rt△CAE，进而根据全等三角形的对应边相等可得CE=AD；

（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得CE=AD，∠CAE=∠ABD，∠ADB=∠E，结合AD=CF可得CF=CE，由等边对等角及对顶角相等可得∠E=∠CFE=∠AFB=∠ADB，结合三角形的内角和定理可得∠CBD=∠CAE，则∠CBD=∠ABD，从而根据角平分线的定义可得结论.22．【答案】（1）解：∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，∵AD=8，BD=6，

∴AB=AD2+BD2=10，（2）解：①依题意得：BP＝DQ＝t，

由（1）可知：CD＝2，

∴PD＝BD﹣BP＝6﹣t，CQ＝CD+DQ＝2+t

∵△CPQ是以CP为腰的等腰三角形，

∴有以下两种情况，连接CP，如图1所示：

（ⅰ）当CP＝PQ时，

∵BD⊥AC，

∴DQ＝CD＝2，

即t＝2，

（ⅱ）当PC＝CQ时，

在Rt△PCD中，PC＝2+t，CD＝2，PD＝6﹣t，

由勾股定理得：PC2＝CD2+PD2，

即（2+t）2＝22+（6﹣t）2，

解得：t＝2.25．

综上所述：t＝2或2.25时，△CPQ是以CP为腰的等腰三角形．

②4.8或8．【解析】【解答】解：（2）②分两种情况讨论如下：

（ⅰ）当点P在线段BD上运动时，

连接PQ'，过点A作AT⊥BQ'交BQ'的延长线于T，过Q'作Q'H⊥AC于H，如图2所示：

∵BQ'∥AC，BD⊥AC，Q'H⊥AC

∴∠Q'BD＝∠AGB＝∠Q'HD＝90°，

∴四边形BDHQ'为矩形，

∴BQ'＝DH，HQ'＝BD＝6，

∵AT⊥BQ'，

∴∠TQ'H＝∠Q'HA＝∠T＝90°，

∴四边形ADBT为矩形，

∴AT＝HQ'＝6，TQ'＝AH＝AD﹣DH＝8﹣BQ'，

依题意得：BP＝DQ，

由对称的性质得：PQ'＝PQ，AQ'＝AQ＝AD﹣DQ＝8﹣t，

在Rt△PBQ'和△QDP中，

BP=DQPQ'=PQ，

∴Rt△PBQ'≌△QDP（HL），

∴BQ'＝PD＝6﹣t，

∴TQ'＝8﹣BQ'＝8﹣（6﹣t）＝2+t，

在Rt△ATQ'中，AT＝6，TQ'＝2+t，AQ'＝8﹣t，

由勾股定理得：AQ'2＝AT2+TQ'2，

即（8﹣t）2＝62+（2+t）2，

解得：t＝1.2，

∴PD＝6﹣t＝6﹣1.5＝4.8，

（ⅱ）当点P在BD的延长线上时，

连接AQ'，PQ，PQ'，过点Q作QM⊥BQ'角BQ'的延长线于M，如图3所示：

同理可证：四边形QDBM为矩形，

∴QM＝BD＝6，BM＝DQ，

依题意得：BP＝DQ＝t，则PD＝t﹣6，AQ＝DQ﹣AD＝t﹣8，

同理可证：△PBQ'≌△QDP（HL），

∴BQ'＝PD＝6﹣t，

∵BM＝DQ＝t，

∴MQ'＝BM﹣BQ'＝t﹣（t﹣6）＝6，

∴QM＝MQ'＝6，

∴∠T＝90°，

∴△QMQ'为等腰直角三角形，

∴∠MQQ'＝45°，

∴∠Q'QA＝45°，

由对称性可知：AQ＝AQ'＝t﹣8，

∴∠AQ'Q＝∠Q'QA＝45°，

∴∠QAQ'＝90°，

又∵∠M＝∠AQM＝90°，

∴四边形AQMQ'为矩形，

∴AQ'＝QM，

∴t﹣8＝6，

解得：t＝14，

∴PD＝t﹣6＝14﹣6＝8．

综上所述：PD的长为4.8或8．

故答案为：4.8或8．

【分析】（1）在Rt△ABD中，由勾股定理算出AB的长，进而根据AB=AC可得AC的长，再根据CD=AC-AD即可算出答案；

（2）①依题意得：BP＝DQ＝t，根据线段的和差可得PD=6-t，CQ=2+t，从而此题分以下两种情况：（ⅰ）当CP＝PQ时，由等哟啊三角形的三线合一可得DQ=CD=2，进而根据路程除以速度=时间可算出t；（ⅱ）当PC＝CQ时，在Rt△PCD中，利用那个勾股定理建立方程可算出t的值，综上可得答案；②分两种情况讨论如下：（ⅰ）当点P在线段BD上运动时，连接PQ'，过点A作AT⊥BQ'交BQ'的延长线于T，过Q'作Q'H⊥AC于H，如图2所示：先证明四边形BDHQ'与四边形ADBT都为矩形，再利用HL判断Rt△PBQ'≌△QDP，根据全等三角形的对应边相等得BQ'＝PD＝6﹣t，然后在Rt△ATQ'中，利用勾股定理建立方程，可求出t的值，从而可求出PD的长；（