2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在危机管理研究中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在危机管理研究中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、试述概率统计方法在危机风险评估中的应用，并举例说明如何利用统计模型对某一类危机（如自然灾害、金融风险）进行风险评估。二、某城市在应对突发传染病危机时，需要在其区域内建立若干个临时医疗救助点。假设该城市被划分为一个平面区域，区域内有N个需要救助的居民点，位置已知。救援中心需要决定若干个救助点的位置，使得所有居民点到最近救助点的总距离最小。请建立该问题的数学模型，并说明属于何种优化问题。若进一步要求救助点必须位于指定的M个候选地点中，模型将如何修改？三、考虑一个简单的供应链危机管理场景：某产品由供应商A提供，经过分销商B后到达零售商C。假设在正常情况下，供应商A向分销商B的供货能力为每天100单位，分销商B的存储能力为50单位，分销商B向零售商C的供货能力为每天80单位，零售商C的存储能力为30单位。当前遭遇危机导致供应商A的供货能力骤降至每天50单位。请建立描述该供应链在危机情况下的运作过程的数学模型（可以使用系统动力学模型、排队模型或其他合适的模型），并分析可能导致零售商C缺货的原因。四、微分方程常被用于模拟危机事件的动态过程。试以SIR（易感者-感染者-移除者）模型为例，解释其基本原理，推导其微分方程组。并讨论该模型可以如何应用于预测传染病（如流感）的传播趋势，以及模型中哪些参数对预测结果影响最大。五、在城市紧急疏散计划中，需要确定最佳的疏散路线，以使所有居民在最短时间内从灾害区域撤离到安全区域。假设城市道路网络可以用一个赋权图G=(V,E)表示，其中顶点集V代表路口或区域，边集E代表道路，每条边e=(u,v)有权重w(e)表示通过该道路所需的时间。给出一种求解单源最短路径问题的算法（如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法），并说明如何利用该算法或其变种来规划一个居民点（起点）到所有安全区域（终点集合）的最快疏散方案。如果道路网络中存在单向通行限制或道路损毁，算法应如何调整？六、某应急物资（如帐篷）的储备仓库位于距离灾害发生地较远的A城。现需要在靠近灾害发生地（B城）的C、D两个区域之间建立一个临时中转站，用于快速分发帐篷。已知A城到C城的运输能力为每天500顶帐篷，到D城的运输能力为每天400顶帐篷。从C城到B城的运输能力为每天300顶帐篷，从D城到B城的运输能力为每天350顶帐篷。帐篷从A城运到C城或D城需要3天，从C城或D城运到B城需要2天。当前紧急需求是尽快将5000顶帐篷运抵B城。请建立该问题的线性规划模型，确定最优的运输方案（即从A城运往C城和D城的帐篷数量，以及从C城和D城运往B城的帐篷数量），并计算满足需求所需的最短时间。试卷答案一、概率统计方法通过收集和分析与危机相关的历史数据或模拟数据，可以量化危机发生的可能性（概率）、危机的潜在影响范围和强度（如期望损失、频率分布），并评估不同应对措施的效果。例如，在自然灾害风险评估中，可以利用历史地震数据拟合泊松分布或幂律分布来估计未来特定区域发生地震的概率；利用极值理论分析可能造成的最大损失；通过大样本模拟或蒙特卡洛方法评估不同防御工程措施的有效性及成本效益。统计模型还能用于分析危机影响因素（如地震烈度与断层距离、洪水风险与降雨量）之间的关系，为风险预警和资源优化配置提供依据。二、该问题可建立如下的数学模型：定义集合X为城市区域的平面点集，包含N个居民点xᵢ∈X(i=1,2,...,N)和M个候选救助点yⱼ∈X(j=1,2,...,M)。设d(xᵢ,yⱼ)表示居民点xᵢ到候选救助点yⱼ的欧氏距离（或其他合适的距离度量）。决策变量xᵢⱼ为0-1变量，表示救助点yⱼ是否被选中，xᵢⱼ=1若选中yⱼ，否则xᵢⱼ=0。目标函数为最小化所有居民点到最近选中救助点的总距离，即：Minimize∑<0xE2><0x82><0x98=1><0xE2><0x82><0x98Nmin<0xE2><0x82><0x98=1><0xE2><0x82><0x98Md(xᵢ,yⱼ)*xᵢⱼ约束条件包括：1.每个居民点必须被分配到至少一个救助点：∑<0xE2><0x82><0x98=1><0xE2><0x82><0x98Mxᵢⱼ≥1,∀i=1,2,...,N2.救助点选中数量限制（如果需要）：∑<0xE2><0x82><0x98=1><0xE2><0x82><0x98Nxᵢⱼ≤K(若最多设置K个)3.变量取值限制：xᵢⱼ∈{0,1},∀i=1,2,...,N,j=1,2,...,M此模型属于组合优化中的设施选址问题中的p-中位问题（若考虑距离平方和最小化）或最小生成树问题的变种（若将居民点视为需求点，候选点视为生成树节点）。当要求救助点必须位于M个候选地点时，模型中的集合X仅包含这M个候选点yⱼ，约束条件不变，目标函数中的求最小值符号可以去掉，因为候选点已固定。三、可以使用系统动力学模型或排队论模型来描述该供应链。以系统动力学模型为例：1.主要变量：供应商库存(S_A)，分销商库存(S_B)，零售商库存(S_C)，供应商出库速率(R_A)，分销商入库速率(R_B)，分销商出库速率(R_C)，零售商出库速率(R_D)。2.基本关系：*供应商库存变化率：d(S_A)/dt=到达供应商的入库速率-供应商出库速率(R_A)。入库速率取决于外部供应或更早阶段的供应，这里假设为常数或受危机影响的变化函数。供应商出库速率取决于分销商的请求或其自身处理能力，受限于其危机后的能力(≤50单位/天)。*分销商库存变化率：d(S_B)/dt=供应商出库速率(R_A)-分销商出库速率(R_B)。分销商出库速率取决于零售商的请求或其自身处理能力，受限于其危机后的能力(≤80单位/天)。*零售商库存变化率：d(S_C)/dt=分销商出库速率(R_B)-零售商出库速率(R_D)。零售商出库速率取决于顾客需求，受限于其危机后的能力(≤30单位/天)。3.模型图（概念性）：供应商库存节点指向分销商库存节点（带速率R_A），分销商库存节点指向零售商库存节点（带速率R_B），还有从零售商库存节点指向外部需求（带速率R_D）的流出，以及从各库存节点指向外部补充或损耗的流出（如损耗率）。4.缺货原因分析：在供应商能力降至50单位/天的情况下，可能导致零售商缺货的原因包括：*供应链阻塞：供应商能力瓶颈导致无法满足分销商的需求，进而导致分销商库存耗尽，无法满足零售商的需求。*需求激增：危机本身可能导致零售商处需求速率R_D突然增大，超过其处理能力（≤30单位/天），即使上游供应尚可。*信息不对称或协调不畅：上下游节点之间的信息传递延迟或协调不力，导致库存未能及时补充。*损耗加剧：危机期间管理混乱可能导致库存损耗（如物资损坏、管理不善）增加。四、SIR模型原理与推导：SIR模型将人群分为三类：易感者(S)、感染者(I)、移除者(R)。模型基于以下假设：1.总人口数N保持不变（或考虑有效接触数）。2.人与人之间的接触是随机的。3.易感者感染感染者后变为感染者，感染概率与易感者和感染者的接触率成正比。4.感染者康复后获得永久免疫，进入移除者类别。5.感染者有移除率γ（包括康复和死亡），表示感染者离开I类群的速度。6.易感者感染后立即变为感染者，无潜伏期（或简化处理）。推导微分方程组：*dS/dt：易感者减少的速率为感染率，即易感者S与感染者I的接触率乘以感染概率。接触率可近似为SI/N。因此，dS/dt=-βSI/N，其中β是传染率。*dI/dt：易感者转变为感染者的速率等于感染率，即βSI/N。同时，感染者因康复或死亡而离开I类的速率为γI。因此，dI/dt=βSI/N-γI。*dR/dt：感染者转变为移除者的速率等于移除率，即γI。因此，dR/dt=γI。模型应用与参数影响：SIR模型可用于预测传染病传播的阶段性趋势：初期S下降、I上升；中期I达到峰值；后期I下降、R上升。通过求解该微分方程组（通常需要数值方法，如Euler法、Runge-Kutta法），可以模拟出感染人数随时间的变化曲线。模型中参数对预测结果影响显著：*β(传染率)：反映疾病传染的难易程度。β越大，传播越快，峰值越高。受人口密度、接触模式、基本再生数R₀等影响。*γ(移除率)：反映感染者康复或死亡的速度。γ越大，感染期越短，峰值越低，模型中I下降越快。受医疗水平、病毒致死率等影响。*初始条件：初始易感者人数S₀、初始感染者人数I₀（通常设为1或一个极小值以模拟爆发）对短期预测影响较大。五、求解算法：可使用Dijkstra算法。Dijkstra算法适用于在赋权有向或无向图中，寻找从单个源顶点（起点）到图中所有其他顶点（终点）的最短路径长度。疏散路线规划：1.模型构建：将城市道路网络表示为赋权图G=(V,E)，顶点V代表路口或区域，边E代表道路，权重w(e)为通过该道路的时间。根据单向通行规则设置边的方向和权重。将所有安全区域设置为终点集合D。2.算法应用：对于给定的居民点（起点）s∈V：*运行Dijkstra算法，以s为源点，计算从s到图中所有顶点v∈V的最短路径长度d(s,v)。*对于终点集合D中的每一个安全区域目标点t∈D，Dijkstra算法将给出从s到t的最短路径及其长度。3.方案生成：对每一个目标点t∈D，找到从s到t的最短路径（路径序列）。这些路径即为从起点s到所有安全区域的最快疏散路线集合。4.考虑道路损毁：如果存在损毁道路e∈E，则将其权重w(e)设为无穷大（∞）或一个非常大的数。重新运行Dijkstra算法计算最短路径。如果从起点到某个安全区域的路径因损毁道路而变为无限长（或超出预设最大值），则表示该安全区域在当前条件下不可达，需要调整疏散计划或寻找替代方案。六、线性规划模型：设x₁为从A城运往C城的帐篷数量，x₂为从A城运往D城的帐篷数量，x₃为从C城运往B城的帐篷数量，x₄为从D城运往B城的帐篷数量。目标函数：MinimizeZ=3*(x₃+x₄)（将所有帐篷运抵B城所需的最短时间，以从C/D城到B城的时间3天为基准，A到C/D的时间3天是固定的运输时间，不直接计入总时间优化目标，但隐含在路径选择中。更精确的模型应将整个运输时间最小化，即Minimize3*(x₃+x₄)+2*(x₁+x₂)，但题目要求最优运输方案，通常指运输量满足前提下时间最短或资源利用最充分。此处按最小化到B城的总运输量理解，假设运输时间仅由C/D到B决定，或题目意在简化模型。若题目意在最小化总时间，目标函数应为3x₃+2x₄，约束需考虑各段运输能力与时间。根据上下文，此模型更可能指满足需求的最优运输方案，即满足供应和需求约束下的最小运输量或最短时间。此处按最小化总时间（3(x₃+x₄)）建立，假设运输时间仅由C/D到B决定，A到C/D的时间是固定的。）约束条件：1.供应约束：从A城出发的总量≤A城总能力：x₁+x₂≤502.C城出库与到达B城约束：从C城出发到B城的量≤C城接收的量≤C城最大能力：x₃≤x₁≤803.D城出库与到达B城约束：从D城出发到B城的量≤D城接收的量≤D城最大能力：x₄≤x₂≤4004.B城到达总量约束：到达B城的总量≥需求量：x₃+x₄≥50005.变量非负约束：x₁,x₂,x₃,x₄≥0求解思路：求解