2026年广东高考数学总复习：专题02 不等式（知识梳理+考点精讲）（解析版）

专题02不等式

目录

明晰学考要求................................................................................................................................................................1

基础知识梳理................................................................................................................................................................1

考点精讲讲练................................................................................................................................................................3

考点一：不等式的性质........................................................................................................................................3

考点二：和定求积和积定求和............................................................................................................................7

考点三：配凑法..................................................................................................................................................10

考点四：“1”的代换............................................................................................................................................13

考点五：解不含参数的一元二次不等式.........................................................................................................17

考点六：由二次不等式的解确定参数.............................................................................................................20

考点七：不等式的实际应用..............................................................................................................................23

实战能力训练..............................................................................................................................................................28

明晰学考要求

1、了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；

2、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；

3、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；

4、会解一元二次不等式；

5、了解基本不等式的证明过程；

6、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题

基础知识梳理

一、不等式的性质

1.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性abba双向性

传递性ab,bcac单向性

可加性aba＋cb＋c双向性

同向可加性ab,cdacbd单向性

ab,c0acbc

可乘性单向性，注意c的符号

ab,c0acbc

同向同正可乘性ab0,cd0acbd单向性

可乘方性ab0anbn(nN,n1)单向性

可开方性ab0nanb(nN，n2)单向性

2.倒数以及分数的有关性质

11

ab，ab0.

ab

11

a0b.

ab

倒数的性质

ab

ab0,0cd.

cd

111

0axb或axb0.

bxa

bbmbbm

；bm0；

aamaam

分数的性质（ab0，m0）

aamaam

；bm0；

bbmbbm

二、基本不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2b22aba,bR当且仅当“ab”时取“”

ab

基本不等式aba0,b0当且仅当“ab”时取“”

2

ab

叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数．

2

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

ab

注意：“当且仅当ab时，等号成立”是指若ab，则a2b22ab,ab即只能有

2

ab

a2b22ab,ab

2

基本不等式与最值

已知x,y都是正数，则（1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2P；

1

（2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.

4

注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1）x、y0，（2）和(积)为定值，（3）

存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”

三、一元二次不等式及其解法

1．三个“二次”之间的关系

判别式b24ac000

yax2bxc(a0)的图象

一元二次方程有两相异实根有两相等实根

b没有实数根

ax2bxc0(a0)的根x,x(xx)xx

1212122a

一元二次不等式

b

(,x1)(x2,){x|x}R

ax2bxc0(a0)的解集2a

一元二次不等式

(x1,x2)

ax2bxc0(a0)的解集

2．一元二次不等式恒成立问题

ab0a0

（1）2恒成立的充要条件是：或

axbxc02

c0b4ac0

ab0a0

（2）2恒成立的充要条件是：或

axbxc02

c0b4ac0

考点精讲讲练

考点一：不等式的性质

利用不等式判断正误的方法：

①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．

②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是

所取的值要有代表性．

【典型例题】

例1．（2024高二上·北京·学业考试）已知ab,cd，则下面不等式一定成立的是（）

A．adbcB．adbc

C．adbcD．adbc

【答案】C

【详解】对于ABD:取a4,b3,c2,d1，满足ab,cd，显然adbc和adbc，adbc

都不成立；

对于C：由cd可得dc，故adbc成立.

故选：C

例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知b克糖水中含有a克糖ba0，再添加m克糖（m0）（假设

全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（）

amabmb

A．B．

bbaa

amabmb

C．D．

bmbama

【答案】C

aam

【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，

bbm

ama

则有.

bmb

故选：C

例3．（2022高二下·河北·学业考试）若实数a,b满足a0b，则（）

A．ab0B．ab0

11

C．a2b2D．

ab

【答案】D

【详解】对于ABC，令a1,b1，显然满足a0b，同时ab>0，ab0，a2b2，故ABC错误；

11

对于D，若a0b，则0，故D正确.

ab

故选：D.

例4．（2022高二下·河北·学业考试）若实数a，b，c满足ab0，c0，则（）

abcc

A．acbcB．C．acbcD．

ccab

【答案】D

【详解】因为ab0，c0，

由不等式性质可知acbc，acbc，故AC错误；

1ab

由c0，可得0，不等式性质可知，故B错误；

ccc

1111

由ab0可知0，所以ab，即，

abababba

cc

又c0，所以，故D正确.

ba

故选：D

例5．（2024高二下·福建·学业考试）已知ab，则下列不等式一定成立的是（）

A．ab>0B．1a1bC．abD．a2b2

【答案】A

【详解】因为ab，

所以ab>0，A正确；

ab，因此1a1b，B错；

a1,b2时，ab，但ab，a2b2，CD错；

故选：A．

【即时演练】

1．下列不等式性质哪个是错误的（）

A．若ab,bc，则ac

B．若ab,cd，则acbd

C．若ab，则ac2bc2

D．若ab0,cd0，则acbd

【答案】C

【详解】对于A，由不等式的传递性知，若ab,bc，则ac，因此A正确；

对于B，由不等式的可加性知，ab,cd，则acbd，因此B正确；

对于C，若c0，则ac2bc2，因此C不正确；

对于D，由不等式的可乘性知，若ab0,cd0，则acbd，因此D正确；

故选：C.

2．若ab,c0，则下列不等式恒成立的是（）

ab

A．B．acbc

cc

C．ac2bc2D．ac3bc3

【答案】C

1ab

【详解】对于A，当c0时，则0，又因为ab，所以，故A不正确；

ccc

对于B，当c0时，由ab，得acbc，故B不正确；

对于C，因为c0，所以c20，由ab，得ac2bc2，故C正确；

对于D，当c0时，则c30，由ab，可得ac3bc3，故D不正确.

故选：C.

3．下面不等式成立的是（）

11

A．若ab，cd，则acbdB．若，则ab

ab2a2b

ab

C．若ab，则a2b2D．若ab0，cd0，则

dc

【答案】B

【详解】对于A，取a2,b1,c2,d1，满足ab，cd，而ac0bd，A错误；

1111

对于B，由，得a2b2a2b2，则ab，B正确；

ab2a2bab2a2b

对于C，取a1,b1，满足ab，而a21b2，C错误；

1111

对于D，由cd0，得0，则0，而ab0，

dcdc

abab

于是，，D错误.

dcdc

故选：B

4．如果b0a，那么下列不等式中正确的是（）

A．abb2B．ab

11

C．a2b2D．

ab

【答案】D

【详解】若b1,a2时，abb2，ab，a2b2，即A、B、C错；

11

由b0a，则恒成立，D对.

ab

故选：D

5．下列命题为真命题的是（）

A．若ab0，则ac2bc2B．若ab0，则a2b2

11

C．若ab0，则a2abb2D．若ab0，则

ab

【答案】B

【详解】对于A,当c0时，显然ac2bc2不成立，故A错误；

对于B，由ab0，利用不等式的性质易得a2b2，故B正确；

对于C，当ab0时，取a2,b1，则a24ab2，故C错误；

11

对于D，当ab0时，ab0，由不等式的性质，可得，故D错误.

ba

故选：B.

考点二：和定求积和积定求和

（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2P.(简记：积定和最小)

P2

（2）如果和xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

4

注意：应用不等式需满足“一正二定三相等”

【典型例题】

例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知正数a,b满足ab2，则ab的最小值是（）

A．2B．2C．22D．4

【答案】C

【详解】因为ab2，所以ab2ab22，当且仅当ab2时取等号，

故选：C.

例2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知x0,y0，且xy2，则（）

A．xy的最大值为1B．xy的最小值为1

C．xy的最大值为2D．xy的最小值为2

【答案】A

【详解】因为x0,y0，且xy2，

2

xy

所以xy1，当且仅当xy1时，等号成立，

2

所以xy的最大值为1，

2

而xyx2xx11，且，故无最小值.

0<�<2

故选：A

例3．（2023高三·河北·学业考试）若x，yR，且x2y3，则xy的最大值为．

9

【答案】

8

【详解】由题知，x，yR，且x2y3

因为x2y2x2y，

所以32x2y，

9

所以98xy，即xy，

8

33

当且仅当x2y，即x,y时，取等号，

24

9

故答案为：

8

例4．已知正实数m，n满足mn1，则mn的最大值是（）

21

A．2B．2C．D．

22

【答案】B

222

aba2b2ababa2b2

【详解】由于0，

22422

2

所以mnmn，

1

22

1

即mn2，当且仅当mn时等号成立．

2

故选:B．

1y

例5．已知x､yR，且2y3，则的最大值为

xx

9

【答案】或1.125

8

1

【详解】因为x,yR且2y3，

x

12yy9

所以32y2，即，

xxx8

123

当且仅当2y，即x且y时取等号，

x34

y9

此时取最大值为.

x8

9

故答案为：.

8

【即时演练】

1．若正数a,b满足：a24b22，则当ab取最大值时a的值为（）

111

A．1B．C．D．

423

【答案】A

1

【详解】根据基本不等式，解得a24b22a24b24ab,4ab2,ab,

2

当且仅当a2b1时等号成立，

故选：A.

2．已知x,y为正实数，且满足4xy40，则xy的最大值是．

【答案】100

【详解】因为4xy40，

2

114xy

所以xy4xy100，

442

当且仅当4xy，即x5,y20时，等号成立.

即xy的最大值为100.

故答案为：100

1

3．已知函数fxx1x0，则当且仅当x时，fx有最小值．

4x

1

【答案】/0.52

2

1111

【详解】x0,fxx12x12,当且仅当x，即x时取等号，且fx的最小值

4x4x4x2

为2，

1

故答案为：，2

2

1a

4．已知正数a，b满足3a则的最大值为.

bb

9

【答案】/2.25

4

11

【详解】因为3a，所以3a，

bb

因为a，b为正数，故3a0，所以0<a<3，

2

aa3a9

所以a3a，

b24

32a9

当且仅当a3a即a，此时b，取到最大值为.

23b4

9

故答案为：

4

5．已知a2b1，则3a9b的最小值为.

【答案】23

【详解】因为a2b1，

所以3a9b3a32b23a32b23a2b23，

11

当且仅当3a32b，即a，b时取等号，

24

故3a9b的最小值为23.

故答案为：23

考点三：配凑法

添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式；

【典型例题】

例1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若x1，则函数的最小值为（）

1

�(�)=9�+�−1

A．6B．9C．12D．15

【答案】D

【详解】因为x1，则x10，

可得，

111

�(�)=9�+�−1=9�−1+4�−1+9≥29�−1⋅�−1+9=15

当且仅当，即x时，等号成立，

13

9�−1=�−1

所以函数的最小值为15.

1

�(�)=9�+�−1

故选：D.

1

例2．已知x2，则x的最小值是（）

x2

A．3B．4C．5D．2

【答案】B

111

【详解】由于x2，故x20，所以xx222x224，

x2x2x2

11

当且仅当x2，即x3时等号成立，故x最小值为4.

x2x2

故选：B

4

例3．（2023高二·湖南衡阳·学业考试）函数yx（x2）的最小值是．

x2

【答案】6

【详解】因为x2，所以x20，

444

所以yxx222x226，

x2x2x2

4

当且仅当x2，即x4时取等号，

x2

4

所以函数yx（x2）的最小值是6.

x2

故答案为：6

例4．（2022高二下·辽宁·学业考试）已知x2，则函数fxx12的最小值为．

x2

【答案】2

【详解】因为x2，所以x20，

11

所以f(x)x22x22，

x2x2

1

当且仅当x2，即x3时等号成立，

x2

1

所以函数f(x)x2的最小值为2,

x2

故答案为：2.

1

例5．若x1，则2x的最小值是.

x1

【答案】222/222

【详解】因为x1，则x10，

111

2x2x1222x12222，

x1x1x1

12

当且仅当2x1，即x1时等号成立，

x12

1

所以2x的最小值是222.

x1

故答案为：222

【即时演练】

9

1．函数yxx2的最小值是（）

x2

A．4B．6C．8D．12

【答案】A

99

【详解】yx222(x2)2624，

x2x2

99

故yxx2最小值是4,当且仅当x2，解得x1.时,取得最小值.

x2x2

故选：A

2

2．已知x3，则x的最小值为（）

x3

A．223B．223C．22D．4

【答案】A

【详解】解：因为x3，所以x30，

222

所以xx332x33322，

x3x3x3

2

当且仅当x3时，即x32时等号成立，

x3

2

所以函数x的最小值是322.

x3

故选：A

3．已知x1，y0，xy3，则x1y的最大值是（）

114

A．B．C．D．1

429

【答案】D

x1y

【详解】由x1，y0，xy3，得x1y()21，当且仅当x1y1时取等号，

2

所以x1y的最大值是1.

故选：D

1

4．已知x1，则4x的最小值为（）

x1

A．4B．0C．4D．8

【答案】B

【详解】因为x1，所以x10，

111

所以4x4(x1)424(x1)40，

x1x1x1

11

当且仅当4(x1)，即x时，等号成立，

x12

1

故4x的最小值为0.

x1

故答案为：B.

x2

5．若x2，则y的最小值为.

x2

【答案】8

【详解】因为x2，所以x20，

2

x2x24x24

所以y

x2x2

44

x242x248，

x2x2

4

当且仅当x2，即x4时取等号，

x2

x2

所以y的最小值为8．

x2

故答案为：8.

考点四：“1”的代换

mn

出现分式相加模型，可进行以下步骤：

xy

①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式；

②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值．

【典型例题】

49

例1．（2022高三下·广东·学业考试）已知1，且x0，y0，则xy的最小值是（）

xy

A．24B．25C．26D．27

【答案】B

499x4y9x4y

【详解】yxy49132131225，x

xyyxyx

9x4y49

当且仅当3x2y时等号成立，又1，解得x10,y15.

yxxy

故选：B.

121

例2．若正实数x，y满足x3y1．则的最小值为（）

xy

A．12B．25C．27D．36

【答案】C

12112136yx

【详解】解：因为x3y1，所以x3y15．

xyxyxy

36yx36yx36yx21

因为x,y0，所以212，当且仅当，即x，y时，等号成立，

xyxyxy39

121

所以，的最小值为27．

xy

故选：C

11

例3．若a0，b0，ab1，则的最小值为.

ab

【答案】4

1111baba

【详解】易知ab11224，

abababab

11

当且仅当a,b时，等号成立；

22

11

即的最小值为4；

ab

故答案为：4

2y2

例4．（2023高二下·浙江·学业考试）正实数x，y满足2x3y1，则的最小值是（）

xy

A．3B．7C．1047D．107

【答案】C

2y263y2612x2722

【详解】由2x3y1得3y12x，所以，

xy3xy3xy3xy3

7227227y4x

由于2x3y10，

3xy33xy3xy

7y4x7y4x37377

由于x,y为正数，所以102104710，当且仅当2x7yy,x

xyxy24

时等号成立，

故选：C

11

例5．（2023高三上·重庆·学业考试）已知x1,y0,x4，则y的最小值为.

yx1

4

【答案】

3

11

【详解】因为x1,y0,x4，所以x10,y0,x13，

yy

111111114

故yx1y2x1y22x1y，

x13yx13x1y3x1y3

1152

当且仅当x1y且x4，即x,y时，等号成立，

x1yy23

1414

所以y，则y的最小值为.

x13x13

4

故答案为：.

3

【即时演练】

12

1．若a0，b0，a2b3，则的最小值为（）

ab

A．1B．3C．6D．9

【答案】B

【详解】根据题意可得

1211212a2b12a2b

a2b14523;

ab3ab3ba3ba

2a2b

当且仅当，即a1,b1时，等号成立，此时最小值为3.

ba

故选：B.

11

2．已知0x1，则的最小值为（）

2x1x

32

A．3B．

2

3

C．2D．322

2

【答案】C

【详解】因为0x1，所以1x0，

11

112121

则x1x

2x1xx1xx1x

11

1x1x

3x3x3，

2222

2x1x2x1x2

1

1x

当且仅当x，即时取等号，

2x21

x1x

113

所以的最小值为2.

2x1x2

故选：C.

11

3．若正实数a，b满足a2b1，则有（）

ab

A．最小值，且最小值为12B．最小值，且最小值为322

C．最大值，且最大值为12D．最大值，且最大值为322

【答案】B

【详解】已知a0，b0，且满足a2b1，

11112ba2ba

a2b323322，

abababab

22

当且仅当a21,b时，等号成立，

2

31

因此，的最小值为322.

ab

故选：B.

11

4．已知x0，y0，且2y1，则2x的最小值为（）

xy

A．4B．6C．8D．10

【答案】C

1

【详解】因为x0，y0，且2y1，

x

11111

则2x2x2y44xy424xy8，

yyxxyxy

1

2y1

x

x2

11

当且仅当4xy时，即当1时，等号成立，故2x的最小值为8.

xyyy

4

x0,y0

故选：C.

12

5．已知a0，b0，且4.

ab

1

(1)证明：ab

2

(2)求2ab的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

122

【详解】（1）因为a0，b0，所以2，

abab

当且仅当b2a1时，等号成立.

122

因为4，所以24

abab

21

所以4，所以ab.

ab2

121121b4a

（2）因为4，所以2ab2ab4.

ab4ab4ab

b4a

因为a0，b