2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学建模中的模型建立与求解

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学建模中的模型建立与求解考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、某城市规划部门希望规划一个矩形公园，公园的一边利用城市现有的河岸（设为AB），其他三边需要修建围栏。设修建围栏的总长度为L米。问：如何设计矩形公园的长和宽，才能使其面积最大？请建立数学模型，并写出模型的目标函数和约束条件。二、某公司生产两种产品A和B。每生产一件产品A需要消耗原料1公斤，工时2小时；每生产一件产品B需要消耗原料1.5公斤，工时1小时。公司每周可获得的原料最多为100公斤，工时最多为140小时。产品A的售价为每件100元，产品B的售价为每件80元。公司希望weekly的利润最大。请建立数学模型，求使利润最大的产品A和B的产量。三、假设一个传染病的传播过程可以用以下微分方程描述：$\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI$，其中$I(t)$是时间$t$时感染者的数量，$S(t)$是时间$t$时易感者的数量，$\beta$是感染率，$\gamma$是康复率。假设总人群数量$N$是常数，即$S(t)+I(t)=N$。初始时刻$t=0$，感染者数量为$I_0$，易感者数量为$S_0=N-I_0$。请将此微分方程模型简化为一阶常微分方程组，并说明每个方程的物理意义。四、某物流公司需要将一批货物从仓库A运往目的地C，中间必须经过中转站B。已知从A到B的运输成本为每吨100元，从B到C的运输成本为每吨150元。仓库A有货物100吨，目的地C需要货物120吨，中转站B最多可以存储50吨货物。请建立线性规划模型，求从A到B以及从B到C的运输量（设分别为$x_1$和$x_2$吨），使得总运输成本最小。五、已知某城市交通网络的一部分可以抽象为一个无向图$G=(V,E)$，其中顶点集$V=\{v_1,v_2,\dots,v_6\}$代表主要路口，边集$E$代表道路。边的权重表示通过该道路所需的时间（分钟）。请给出图$G$的邻接矩阵$A$。假设一辆车需要从一个路口$v_i$出发，最终到达另一个路口$v_j$，且途中最多经过3条边。请利用邻接矩阵$A$，通过矩阵运算找出所有满足条件的从$v_i$到$v_j$的路径数量（不考虑重复路径）。六、为了估计某湖泊中某种鱼的数量，研究人员进行了两次捕捞。第一次捕捞并标记了1000条鱼，然后将它们放回湖中。一段时间后，进行第二次捕捞，共捕捞了800条鱼，其中发现标记鱼有50条。请建立数学模型，估计该湖泊中这种鱼的总数量$N$。假设鱼被捕捞的概率是均匀的。七、一个工厂生产某种产品，每周的最大生产能力为100件。产品的需求是随机的，根据历史数据，每周需求量服从参数为$\lambda=80$的泊松分布。如果产品本周生产过剩，可以存放在仓库中，但每件产品的存储成本为10元/周。如果产品本周需求未能满足，将造成每件产品200元的损失。请建立数学模型，确定每周的最优生产量，使期望的周总成本最小。八、考虑以下非线性方程组：$\begin{cases}x^2+y^2-1=0\\x\siny-y\sinx=0\end{cases}$请选择一种合适的数值方法（例如牛顿法），并写出求解该方程组在初始猜测点$(x_0,y_0)=(1.2,0.5)$附近近似根的迭代公式。无需进行具体的迭代计算。试卷答案一、*模型:设矩形公园的长为$x$米（沿河岸方向），宽为$y$米。则修建围栏的总长度（周长减去河岸一边）为$L=x+2y$。公园的面积为$S=x\cdoty$。需要最大化$S$，且满足$L\leqL_{max}$。*目标函数:$\maxS=x\cdoty$*约束条件:1.$x+2y\leqL$2.$x\geq0$3.$y\geq0$二、*模型:设生产产品A的数量为$x$件，生产产品B的数量为$y$件。利润为$P$。总原料消耗为$R$，总工时为$T$。*目标函数:$\maxP=100x+80y$(利润最大化)*约束条件:1.$x+1.5y\leq100$(原料约束)2.$2x+y\leq140$(工时约束)3.$x\geq0$4.$y\geq0$三、*模型:微分方程组为：$\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI$$\frac{dS}{dt}=-\betaSI+\gammaI$（由$S(t)+I(t)=N$得$\frac{dS}{dt}=-\frac{dI}{dt}$）*简化方程组:$\frac{dI}{dt}=\beta(N-I)I-\gammaI=\betaNI-(\beta+\gamma)I$$\frac{dS}{dt}=-\frac{dI}{dt}=-\betaNI+(\beta+\gamma)I=(\beta+\gamma)I-\betaNI$*物理意义:*第一个方程:$\frac{dI}{dt}$表示感染人数的变化率。它等于新感染的人数($\betaSI$)减去康复的人数($\gammaI$)。*第二个方程:$\frac{dS}{dt}$表示易感人数的变化率。它等于从易感转为感染的人数($-\betaSI$，取负号是因为$S$在减少）加上从感染康复的人数($\gammaI$)。四、*模型:设从A到B的运输量为$x_1$吨，从B到C的运输量为$x_2$吨。总成本为$C$。*目标函数:$\minC=100x_1+150x_2$*约束条件:1.$x_1+x_2\leq100$(A地供应量)2.$x_2\leq120$(C地需求量)3.$x_1-x_2\leq50$(B地存储能力，$x_1$减去$x_2$是存入B地的量)4.$x_1\geq0$5.$x_2\geq0$五、*邻接矩阵$A$:(假设边的权重已知，例如$A_{ij}=w_{ij}$表示从$v_i$到$v_j$的直接道路时间，$A_{ij}=0$表示无直接道路，$A_{ii}=0$)$$A=\begin{bmatrix}0&w_{12}&w_{13}&w_{14}&w_{15}&w_{16}\\w_{21}&0&w_{23}&w_{24}&w_{25}&w_{26}\\w_{31}&w_{32}&0&w_{34}&w_{35}&w_{36}\\w_{41}&w_{42}&w_{43}&0&w_{45}&w_{46}\\w_{51}&w_{52}&w_{53}&w_{54}&0&w_{56}\\w_{61}&w_{62}&w_{63}&w_{64}&w_{65}&0\end{bmatrix}$$*路径数量计算:计算从$v_i$到$v_j$经过最多3条边的路径数量。设$B^k$是$A$的$k$次幂。$B^1=A$表示边数。$B^2=A^2$表示经过2条边的路径。$B^3=A^3$表示经过3条边的路径。$B_{ij}^k$表示从$v_i$到$v_j$经过恰好$k$条边的路径数量（不考虑回路）。则满足条件的路径数量为$\sum_{k=1}^3B_{ij}^k=(B_{ij}^1+B_{ij}^2+B_{ij}^3)$。需要计算$B^1,B^2,B^3$的$(i,j)$元素并求和。(注意：如果图中存在环，需考虑回路是否重复计数，此题假设不考虑重复路径，通常指不含相同边的路径)。六、*模型:采用标记重捕法（林肯指数法）。设湖中鱼的总数量为$N$。第一次标记并放回$M=1000$条。第二次捕捞$C=800$条，其中标记鱼$R=50$条。根据比例关系：$\frac{R}{C}\approx\frac{M}{N}$。*估计方程:$\hat{N}=\frac{M\cdotC}{R}=\frac{1000\times800}{50}$*估计值:$\hat{N}=16000$七、*模型:设每周生产量为$Q$件。总成本为$Cost$。需求量$D$服从参数$\lambda=80$的泊松分布。$D$的期望$E[D]=80$，方差$\mathrm{Var}(D)=80$。*成本构成:成本包括生产成本（假设每件生产成本为$c$元，则生产成本为$cQ$。题目未给出$c$，通常建模时视为常数，若$c=0$则仅考虑存储和缺货成本）、存储成本和缺货成本。总成本$Cost=cQ+\text{StorageCost}+\text{ShortageCost}$。*存储成本:期望存储量是生产量$Q$减去需求量$D$超过仓库容量的部分。当$D\leqQ$时，存储量为$0$；当$D>Q$时，存储量为$D-Q$。期望存储成本为$\mathbb{E}[\max(0,Q-D)]\times10$。利用泊松分布性质，$\mathbb{E}[\max(0,Q-D)]=Q-E[D]=Q-80$。*缺货成本:期望缺货量是需求量$D$超过生产量$Q$的部分。当$D\leqQ$时，缺货量为$0$；当$D>Q$时，缺货量为$D-Q$。期望缺货成本为$\mathbb{E}[\max(0,D-Q)]\times200$。利用泊松分布性质，$\mathbb{E}[\max(0,D-Q)]=E[D]-\mathbb{E}[\min(D,Q)]$。$\mathbb{E}[\min(D,Q)]=\sum_{k=0}^{Q}k\cdotP(D=k)+\sum_{k=Q+1}^{\infty}Q\cdotP(D=k)=Q\cdotP(D\leqQ)=Q\cdot\sum_{j=0}^{Q}\frac{80^je^{-80}}{j!}$。*总成本函数:$Cost(Q)=cQ+(Q-80)\times10+(80-\mathbb{E}[\min(D,Q)])\times200$。*优化:目标是$\min_{Q\geq0}Cost(Q)$。通常需要计算$\mathbb{E}[\min(D,Q)]$的近似值或使用数值方法求解。例如，当$Q=80$时，$\mathbb{E}[\min(D,80)]=80$，成本为$80c+0+0=80c$。当$Q>80$时，$\mathbb{E}[\min(D,Q)]>80$，缺货成本减少，但存储成本增加。需要找到使总成本最小的$Q$值。此模型求解复杂，通常需要编程计算或使用特定库存模型求解器。简化思路是计算不同$Q$值下的总期望成本进行比较。八、*模型:采用牛顿法求解非线性方程组$\mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$，其中$\mathbf{x}=[x,y]^T$，$\mathbf{F}(\mathbf{x})=[f_1(x,y),f_2(x,y)]^T$，$f_1(x,y)=x^2+y^2-1$，$f_2(x,y)=x\siny-y\sinx$。*迭代公式:牛顿法迭代公式为$\mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{x}_k-J(\mathbf{x}_k)^{-1}\mathbf{F}(\mathbf{x}_k)$，其中$J(\mathbf{x}_k)$是$\mathbf{F}(\mathbf{x})$在$\mathbf{x}_k$处的雅可比矩阵。*雅可比矩阵$J(\mathbf{x})$:$$J(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}\frac{\partialf_1}{\partialx}&\frac{\partialf_1}{\partialy}\\\frac{\p