2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 动力系统与混沌理论探索

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——动力系统与混沌理论探索考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题4分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设$\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$是平面光滑向量场，系统$\dot{x}=P(x,y),\dot{y}=Q(x,y)$的相轨线如果是一条封闭曲线，那么在该曲线上任意一点$(x_0,y_0)$，向量$\vec{F}(x_0,y_0)$的方向是？(A)指向曲线内部(B)指向曲线外部(C)沿曲线切线方向(D)垂直于曲线2.对于平面自治系统$\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y)$，设点$(x_0,y_0)$是平衡点。若在点$(x_0,y_0)$处的雅可比矩阵$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2$，则下列说法正确的是？(A)若$\lambda_1\lambda_2>0$，则$(x_0,y_0)$一定是鞍点(B)若$\lambda_1=i\omega,\lambda_2=-i\omega$且$\omega\neq0$，则$(x_0,y_0)$一定是中心点(C)若$\text{Re}(\lambda_1)>0$且$\text{Re}(\lambda_2)<0$，则$(x_0,y_0)$一定是稳定焦点(D)若$\lambda_1\neq0,\lambda_2\neq0$且$\lambda_1\neq\lambda_2$，则系统在$(x_0,y_0)$附近是可积的3.下列哪个系统是哈密顿系统？(A)$\dot{x}=y,\dot{y}=-x+y^3$(B)$\dot{x}=x^2+y,\dot{y}=x-y^2$(C)$\dot{x}=xy,\dot{y}=x^2$(D)$\dot{x}=y^2,\dot{y}=x^2y$4.在二维相空间中，一条封闭的相轨线代表系统运动状态？(A)一定是周期解(B)一定是稳定解(C)运动状态会随时间趋于该封闭曲线(D)运动状态会随时间远离该封闭曲线5.李雅普诺夫指数是描述动力系统哪个特性的量？(A)平衡点的类型(B)相轨线的形状(C)运动轨迹的收敛性(D)系统长期行为对初值的敏感性二、计算题（每题10分，共40分）6.考虑自治系统$\dot{x}=y,\dot{y}=-x-y^2$。求系统在原点$(0,0)$处的平衡点类型。7.考虑自治系统$\dot{x}=x-y-x(x^2+y^2),\dot{y}=y+x-y(x^2+y^2)$。证明原点$(0,0)$是该系统的稳定平衡点。8.对于哈密顿系统$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialy},\dot{y}=-\frac{\partialH}{\partialx}$，其中$H(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$。求该系统的正则方程，并找出其能量守恒的不变量。9.考虑系统$\dot{x}=y,\dot{y}=x-x^3-xy$。计算在点$(1,0)$附近的李雅普诺夫指数$\lambda_1,\lambda_2$的近似值（提示：进行线性化分析）。三、证明题（每题15分，共45分）10.证明：对于二维自治系统$\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{f}(\mathbf{z})$，如果存在一个李雅普诺夫函数$V(\mathbf{z})$，满足$V(\mathbf{z})>0$，$\frac{dV}{dt}\leq0$，且$\frac{dV}{dt}=0$仅在$\mathbf{z}=\mathbf{z}_0$(平衡点)处成立，那么该平衡点$\mathbf{z}_0$是局部稳定的。11.证明庞加莱-贝奈克定理：对于哈密顿系统$\dot{\mathbf{q}}=\{\mathbf{H},\mathbf{q}\}$，如果$H$在相空间中的某个区域$D$内具有连续的一阶偏导数，并且存在一个与$H$正交的函数$G$（即$\{\mathbf{H},G\}=0$），那么在$D$内存在一个围绕某个平衡点的闭合轨道。12.设$x'=f(x,y),y'=g(x,y)$是一个光滑自治系统，$(x_0,y_0)$是一个平衡点。证明：如果在该点处，系统雅可比矩阵$\mathbf{J}$的特征值都具有负实部，那么存在一个定义在邻域内的李雅普诺夫函数$V(x,y)$，使得$V(x_0,y_0)=0$，$V(x,y)>0$当$(x,y)\neq(x_0,y_0)$，且$\frac{\partialV}{\partialx}f+\frac{\partialV}{\partialy}g\leq0$。---试卷答案一、选择题1.(C)2.(D)3.(A)4.(A)5.(D)二、计算题6.解：平衡点$(0,0)$满足$\dot{x}=0,\dot{y}=0$，即$y=0,-x-y^2=0$，解得$(0,0)$为平衡点。计算雅可比矩阵$\mathbf{J}$在$(0,0)$处：$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-2y\end{pmatrix}\bigg|_{(0,0)}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$计算特征值：$\det(\mathbf{J}-\lambda\mathbf{I})=\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-1&-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+1=0$，得$\lambda_1=i,\lambda_2=-i$。特征值为纯虚数，且在原点邻域内没有实部的特征值。因此，平衡点$(0,0)$是一个中心点，是不稳定焦点。7.解：平衡点$(0,0)$满足$\dot{x}=0,\dot{y}=0$，即$y+x(x^2+y^2)=0,y+x-y(x^2+y^2)=0$。解得$(0,0)$为平衡点。计算雅可比矩阵$\mathbf{J}$在$(0,0)$处：$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-3x^2-y^2&-1-2xy\\1-x^2-y^2&1-2xy\end{pmatrix}\bigg|_{(0,0)}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$计算特征值：$\det(\mathbf{J}-\lambda\mathbf{I})=\det\begin{pmatrix}1-\lambda&-1\\1&1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2+1=\lambda^2-2\lambda+2=0$，得$\lambda=1\pmi$。特征值实部为正（$\text{Re}(\lambda)=1$），因此平衡点$(0,0)$不是稳定的。现在寻找李雅普诺夫函数。考虑函数$V(x,y)=x^2+y^2$。计算其沿系统轨迹的时间导数：$\frac{dV}{dt}=\frac{\partialV}{\partialx}\dot{x}+\frac{\partialV}{\partialy}\dot{y}=2x(x-y-x(x^2+y^2))+2y(y+x-y(x^2+y^2))$$=2x^2-2xy-2x^4-2xy^2+2y^2+2xy-2y^4-2xy^3$$=2(x^2+y^2)-2(x^4+y^4+xy(x^2+y^2))$在原点$(0,0)$附近，$x^4,y^4,xy(x^2+y^2)$都是高阶小量，可以忽略。因此，在原点附近$\frac{dV}{dt}\approx2(x^2+y^2)>0$。这意味着轨迹会远离原点，平衡点$(0,0)$是不稳定的。（注：题目要求证明稳定，但计算结果表明平衡点是不稳定的。此题可能存在条件错误或要求寻找不同类型的稳定点，或者考察对不稳定性证明的理解。按标准方法计算，原点不满足稳定条件。若题目意图是考察稳定性的证明方法，则应提供稳定点的例子。）8.解：正则方程为$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialy},\dot{y}=-\frac{\partialH}{\partialx}$。$H(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$。$\frac{\partialH}{\partialx}=x,\frac{\partialH}{\partialy}=y$。因此，正则方程为$\dot{x}=y,\dot{y}=-x$。能量守恒的不变量即为哈密顿量本身$H(x,y)$。由于$H(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$，且系统能量守恒，即$H(x(t),y(t))=\text{常数}$，所以$H$就是该系统的能量守恒不变量。9.解：在点$(1,0)$附近，系统可以近似为线性系统。计算雅可比矩阵$\mathbf{J}$在$(1,0)$处：$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1-3x^2-y^2&-x-2xy\end{pmatrix}\bigg|_{(1,0)}=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-1\end{pmatrix}$计算特征值：$\det(\mathbf{J}-\lambda\mathbf{I})=\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-2&-1-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+\lambda-2=0$，得$\lambda_1=1,\lambda_2=-2$。因此，近似李雅普诺夫指数为$\lambda_1\approx1,\lambda_2\approx-2$。三、证明题10.证明：设$\mathbf{z}_0$是平衡点，即$\mathbf{f}(\mathbf{z}_0)=\mathbf{0}$。取李雅普诺夫函数$V(\mathbf{z})$，满足$V(\mathbf{z}_0)=0$，$V(\mathbf{z})>0$当$\mathbf{z}\neq\mathbf{z}_0$，且$\frac{dV}{dt}\leq0$。对于系统$\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{f}(\mathbf{z})$上的任意轨迹$\mathbf{z}(t)$，$V(\mathbf{z}(t))$是一个非负函数，并且其沿轨迹的时间导数$\frac{dV}{dt}$总是小于或等于零。这意味着$V(\mathbf{z}(t))$是一个非增加的函数。假设存在一个点$\mathbf{z}_1$在轨迹上，使得$V(\mathbf{z}_1)>0$。由于$\frac{dV}{dt}\leq0$，$V(\mathbf{z}(t))$将不会增加，即$V(\mathbf{z}(t))\leqV(\mathbf{z}_1)$。但根据$V(\mathbf{z})>0$当$\mathbf{z}\neq\mathbf{z}_0$，$V(\mathbf{z}(t))$永远不会等于零，除非$\mathbf{z}(t)=\mathbf{z}_0$。因此，要使$V(\mathbf{z}(t))$保持非增加且永远不为零，唯一的可能是$V(\mathbf{z}(t))$永远大于零且趋向于某个非负极限，但这与$\frac{dV}{dt}\leq0$和$V(\mathbf{z}_0)=0$矛盾（除非轨迹最终到达$\mathbf{z}_0$）。实际上，由于$\frac{dV}{dt}\leq0$且$\frac{dV}{dt}=0$仅在$\mathbf{z}=\mathbf{z}_0$处成立，$V(\mathbf{z}(t))$必须是非增加的，并且当$t\to\infty$时，$V(\mathbf{z}(t))$趋向于$V(\mathbf{z}_0)=0$。这意味着对于任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$和$T>0$，当$\|\mathbf{z}(t)-\mathbf{z}_0\|<\delta$时，$t>T$，都有$\|\mathbf{z}(t)-\mathbf{z}_0\|<\epsilon$。因此，平衡点$\mathbf{z}_0$是局部稳定的。11.证明：设哈密顿系统$\dot{\mathbf{q}}=\{\mathbf{H},\mathbf{q}\}$，其中$\mathbf{H}$在区域$D$内具有连续一阶偏导数，且存在一个与$\mathbf{H}$正交的函数$G$，即$\{\mathbf{H},G\}=\frac{\partialH}{\partialq_i}\frac{\partialG}{\partialq_j}-\frac{\partialH}{\partialq_j}\frac{\partialG}{\partialq_i}=0$对所有$i,j$成立。定义函数$F=G+\alphaH$，其中$\alpha$是一个常数。计算$F$的全微分：$dF=\frac{\partialF}{\partialq_i}dq_i=\left(\frac{\partialG}{\partialq_i}+\alpha\frac{\partialH}{\partialq_i}\right)dq_i=\left(\{\mathbf{H},G\}+\alpha\{\mathbf{H},H\}\right)dq_i=\alpha\{\mathbf{H},H\}dq_i$由于$\{\mathbf{H},H\}=0$（因为$\{\mathbf{H},H\}=\sum\frac{\partialH}{\partialq_i}\frac{\partialH}{\partialq_i}=\sum(\frac{\partialH}{\partialq_i})^2\geq0$，且仅在$H$为常数时取等号），所以$dF=0$。这意味着$F=G+\alphaH$是一个常函数。设此常数为$C$，即$G+\alphaH=C$。定义作用量积分$S=W+p\cdotG$，其中$W=\int_{q_0}^q\sqrt{2(E-H(q,p))}dq$是哈密顿函数$E$的积分（哈密顿-雅可比方程的解），$p=\frac{\partialH}{\partialq}$是广义动量。$S$是哈密顿函数$H(q,p)$下的全积分（在相空间中定义了一个曲面族）。令$H'=H-\frac{C-G}{\alpha}$。由于$G$与$H$正交，$C-G$与$H$也正交，所以$H'$仍然是一个哈密顿函数。在$H'$相空间中，作用量积分$S=W+p\cdotG$是一个常数，其中$p=\frac{\partialH'}{\partialq}$。因此，$H'$的等能面（由$H'=\text{常数}$定义）在相空间中是围绕平衡点$(q,p)=(0,0)$的闭合曲面（因为$H$是关于$(q,p)$的二次型函数，其等值面是超曲面，且在$H=0$时退化为一点）。由$\dot{q}=\{\mathbf{H'},\mathbf{q}\}$和$\dot{p}=-\{\mathbf{H'},\mathbf{p}\}=-\{\mathbf{H'},\mathbf{q}\}$，可知在$H'=\text{常数}$的闭合曲面上，$q$和$p$都随时间周期性变化。因此，存在围绕平衡点$(0,0)$的闭合轨道。12.证明：设$(x_0,y_0)$是一个平衡点，且在该点处，系统雅可比矩阵$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}$的特征值都具有负实部，记为$\lambda_1,\lambda_2$，且$\text{Re}(\lambda_1)<0,\text{Re}(\lambda_2)<0$。根据线性代数知识，存在一个非奇异矩阵$\mathbf{P}$和一个对角矩阵$\mathbf{\Lambda}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$，使得$\mathbf{J}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}$。定义一个新的变量$\mathbf{u}=\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$。在新的坐标系下，平衡点变为原点$(0,0)$。原系统变换为$\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{J}\mathbf{P}\mathbf{u}=\mathbf{\Lambda}\mathbf{u}$。即$\dot{u}_1=\lambda_1u_1,\dot{u}_2=\lambda_2u_2$。在这个线性系统中，函数$V(u_1,u_2)=u_1^2+u_2^2$是一个李雅普诺夫函数。计算其沿系统轨迹的时间导数：$\frac{dV}{dt}=2u_1\dot{u}_1+2u_2\dot{u}_2=2u_1(\lambda_1u_1)+2u_2(\lambda_2u_2)=2(\lambda_1u_1^2+\lambda_2u_2^2)$。由于$\text{Re}(\lambda_1)<0,\text{Re}(\lambda_2)<0$，所以$\lambda_1u_1^2+\lambda_2u_2^2\leq0$。因此，$\frac{dV}{dt}\leq0$，且$\frac{dV}{dt}=0$仅当$u_1=0,u_2=0$时成立。将$\mathbf{u}=\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$代回原变量$\mathbf{x}$，得到$V(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\mathbf{P}^{-T}\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)=(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\mathbf{P}^{-T}\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$。令$\mathbf{K}=\mathbf{P}^{-T}\mathbf{P}^{-1}$，则$\mathbf{K}$是正定矩阵（因为$\mathbf{J}$的特征值有负实部，保证了平衡点的局部稳定性，对应的线性化系统是稳定的）。所以$V(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\mathbf{K}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$。显然，$V(\mathbf{x}_0)=0$，且当$\mathbf{x}\neq\mathbf{x}_0$时，$V(\mathbf{x})>0$。因此，存在一个定义在$\mathbf{x}_0$附近邻域内的李雅普