2026版《课堂新坐标》高三数学一轮复习基础版13第二章第5课时函数的对称性及应用

第二章函数第5课时函数的对称性及应用[考试要求]

1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．

√

反思领悟

f(x＋1)为偶函数⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称⇔f(1＋x)＝f(1－x)⇔f(x)＝f(2－x)．

考点二中心对称问题若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0时，f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(x)＋f(2a－x)＝0⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔y＝f(x＋a)是奇函数．[典例2]

(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(

)A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0C．f(－x)＝－f(x＋4) D．f(x＋2)＝f(x－2)√√√

(1)ABC

(2)4

[(1)因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，用x＋2替换x，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选ABC．4

反思领悟

本例(1)中，函数y＝f(x)图象关于点(2，0)对称⇔f(4－x)＋f(x)＝0⇔f(2－x)＋f(2＋x)＝0．本例(2)中，f(x)＋f(－x)＝2⇔函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称．巩固迁移2若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(

)A．f(x－1)－1

B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1√D

[因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)的图象关于点(1，－1)对称，所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象，该函数的图象的对称中心为(0，0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．故选D．]

[典例3]已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(

)A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称

D．关于点(3，0)对称√A

[设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．]

巩固迁移3下列函数图象与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(

)A．y＝ex-1

B．y＝e1-xC．y＝e2-x D．y＝lnx√C

[f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是函数f(2－x)＝e2-x的图象．故选C．]1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法．2．常见的抽象函数模型：(1)f(x±y)＝f(x)±f(y)可看作f(x)＝kx的抽象表达式．

考向1

抽象函数求值[典例1]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)等于________．2

[∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，∴令x＝y＝1，得f(2)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，再令x＝2，y＝－1，得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2，∴f(－1)＝0，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2．]2反思领悟

本题解答关键是选取适当的特殊值进行求解．应用体验1已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________．7

[令x＝y＝1，得f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7．]7考向2

抽象函数的性质[典例2]若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0，则(

)A．f(x)是奇函数，且在R上是增函数B．f(x)是奇函数，且在R上是减函数C．f(x)是奇函数，但在R上不是单调函数D．无法确定f(x)的单调性和奇偶性√

反思领悟

对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调性、奇偶性的定义进行求解．

√

随堂练习√

2．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(

)A．f(－1)<f(3)

B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)√A

[由f(x＋2)＝f(2－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(－1)＝f(5)，f(0)＝f(4)，又f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(3)>f(4)>f(5)，即f(3)>f(0)>f(－1)．故选A．]3．已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝______．4

[法一：由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4．法二：由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)图象关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4．]44．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________．5

[∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，∴f(－1)＝5．]5【教用·备选题】1．(多选)(2024·福建南平阶段练习)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则(

)A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象有一条对称轴x＝1C．f(x)是周期函数D．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝2√√√BCD

[∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1)＝2≠0，可知函数f(x)不可能同时为偶函数，故A错误；∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)图象有一条对称轴x＝1，故B正确；由f(1－x)＝f(1＋x)，将x换成x＋1得到f(－x)＝f(2＋x)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)的周期为4，故C正确；∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0．∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故D正确．故选BCD．]

√B

[因为f(x)＝x3－3x2，设图象的对称中心为(a，b)，则2b＝f(a＋x)＋f(a－x)对任意的x均成立，

3．(2024·汕头濠江区二模)定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＋f(x)＝2．若f(x)的图象关于直线x＝4对称，则下列选项中一定成立的是(

)A．f(－2)＝1

B．f(0)＝0C．f(4)＝2 D．f(6)＝－1√A

[因为函数f(x)满足f(4－x)＋f(x)＝2，所以f(4－2)＋f(2)＝2f(2)＝2，所以f(2)＝1，又f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(6)＝f(2)＝1，且f(4－x)＝f(4＋x)，则f(4＋x)＋f(x)＝2，所以f(4－2)＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝1，无法求出f(0)，f(4)．故选A．]

√

5．(多选)(2025·湛江模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(4－x)＝f(x)，若对于任意的x1，x2∈[2，4]，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则(

)A．f(x)的图象关于点(－2，0)中心对称B．f(x)＝f(x＋8)

C．f(x)在区间[－2，2]上单调递增D．f(x)在x＝66处取得最大值√√√BCD

[由f(4－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称，由对称性可知，函数f(x)的图象关于点(4，0)中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(－4，0)中心对称，A错误；因为f(－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)，得f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(8＋x)＝f(x)，B正确；因为对于任意的

x1，x2∈[2，4]都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，所以f(x)在[2，4]上单调递减，则f(x)在[4，6]上单调递减，因为f(x)的图象关于直线

x＝2对称，则f(x)在区间[－2，2]上单调递增，C正确；由上可知，f(x)在x＝2处取得最大值，f(66)＝f(8×8＋2)＝f(2)，则f(x)在x＝66处取得最大值，D正确．故选BCD．]课后习题(十)函数的对称性及应用

√题号135246879101112√√题号135246879101112ABD

[∵函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，∴f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b．对于A，由f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是f(x)＝x的图象的对称中心，故A满足题意；对于B，f(x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，∴P(1，－2)为f(x)图象的对称中心，故B满足题意；

题号135246879101112√题号1352468791011122．(多选)(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数f(x)在区间(0，2)上单调递减，且函数y＝f(x＋2)是偶函数，那么(

)A．f(x)在区间(2，4)上单调递减B．f(x)在区间(2，4)上单调递增C．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称√题号135246879101112BC

[∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确，D错误．∵函数f(x)在(0，2)上单调递减，∴函数f(x)在(2，4)上单调递增，A错误，B正确．]题号135246879101112

(－1，1)题号1352468791011124．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1．(1)若f(x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)图象的对称中心为点________．2(0，1)题号135246879101112

题号1352468791011125．(2024·北京学业考试)在同一坐标系中，函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象(

)A．关于原点对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称√B

[当x＝a时，y＝f(a)与y＝－f(a)互为相反数，即函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．故选B．]题号135246879101112

√题号135246879101112

题号135246879101112

√题号135246879101112

题号1352468791011128．(2024·宁波期末)定义在R上的函数f(x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则下列式子一定成立的是(

)A．f(－2)＋f(0)＝4

B．f(－1)＋f(1)＝4C．f(0)＋f(2)＝4 D．f(1)＋f(3)＝4√题号135246879101112C

[因为函数f(x＋1)的图象关于点(0，2)对称，所以f(x)的图象关于点(1，2)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝4，结合选项可知，f(0)＋f(2)＝4一定成立．故选C．]题号1352468791011129．(多选)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(－3x＋1)为奇函数，则下列式子