1.2 常用逻辑用语（3大考点+5大题型）（讲义）（解析版）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳

27/271.2常用逻辑用语目录TOC\o"1-2"\h\z\u01课表要求 202落实主干知识 3一、充分条件与必要条件 3二、全称量词和存在量词 3三、常用二级结论 403探究核心题型 5题型一：充分、必要条件的判定 5题型二：利用充分条件与必要条件关系求参 6题型三：含量词的命题的否定 8题型四：含量词的命题的真假判断 9题型五：利用命题的真假求参 1004好题赏析（一题多解） 1205数学思想方法 14①数形结合 14②转化与化归 16③分类讨论 1706课时精练（真题、模拟题） 20基础过关篇 20能力拓展篇 27

1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

一、充分条件与必要条件1、定义如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．2、从逻辑推理关系上看p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充要条件且p是q的充分不必要条件且是的必要不充分条件且是的既不充分也不必要条件且3、大小关系（设包含的对象分别组成集合）①若，则是的充分条件②若，则是的必要条件③若，则是的充分不必要条件④若，则是的必要不充分条件⑤若，则是的充要条件二、全称量词和存在量词1、全称量词与存在量词的概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等2、全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对中任意一个，有成立存在中一个，有成立简记，，否定，，三、常用二级结论1、从集合与集合之间的关系上看设．（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；简记：“小大”．（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件．

题型一：充分、必要条件的判定【例1】（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在四边形中，若，则四边形为平行四边形，若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形，四边形是正方形时，必有，即有，故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.故选：B.【解题总结】充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据，是否成立进行判断.(2)集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.【变式1-1】（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误；对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误；对于C，，即，故是的充要条件，故C错误；对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确.故选：D【变式1-2】（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，充分性成立；设，则有满足，此时有，不满足，故必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-3】（2025·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可知，或，，此时，即“”“”；但当时，取，，此时，即“”“”，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.题型二：利用充分条件与必要条件关系求参【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集,可得，等号不同时成立，结合，解得，所以的取值范围为，故选：B【解题总结】求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，即，则或，即，又是的必要不充分条件，则或，即或.则的取值范围为.故选：B【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知且，解得，所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，因为只有选项A中的是的真子集，故选：A【变式2-3】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由＂＂的充分不必要条件是＂＂，得，但，所以．故选：B.题型三：含量词的命题的否定【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：命题“”的否定是“”.故选：D【解题总结】含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.【变式3-1】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以为“”.故选：A.【变式3-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题，的否定是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】，的否定是，.故选：A【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】命题“”的否定是“”.故选:D.题型四：含量词的命题的真假判断【例4】（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.故选：B.【解题总结】判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，对于命题，由可得或，则命题为真命题，因此，和都是真命题.故选：B.【变式4-2】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（

）A．和都是真命题B．是假命题，是真命题C．是真命题，是假命题D．和都是假命题【答案】B【解析】对于命题，因为当时，，故命题是假命题；对于命题，当时，，故命题是真命题.故选：B.【变式4-3】（2025·陕西西安·二模）已知命题；命题，则（

）A．p和都是真命题 B．和都是真命题C．p和q都是真命题 D．和q都是真命题【答案】C【解析】当时，成立，所以为真命题；因为，当且仅当，即时等号成立，而，所以为真命题,所以都是假命题.故选：C题型五：利用命题的真假求参【例5】（2025·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得，命题“”的否定，即命题“”真命题，根据二次函数的性质可得，应有，解得.故选：C.【解题总结】由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.【变式5-1】（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为“”是假命题，所以“”是真命题；即a要小于等于的最小值，又当时，，故.故选：C【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于.因为恒成立，所以，即，解得.故选：A.【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）已知命题，若是假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是假命题，则命题为真命题，所以又，当且仅当时取等号，所以，故选：B.1．若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C

①数形结合1．“”是“圆不经过第三象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】圆，即，则圆心为，半径为，且，即，圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，要圆不经过第三象限，则，解得，综上圆C不经过第三象限时，所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件．故选：2．已知命题，为假命题，则a的取值范围为

A． B． C． D．【答案】D

【解析】由题意知，，令，则，作出函数的图象如图所示，若，则直线与函数的图象没有公共点，数形结合可知，所以a的取值范围为故选：3．在中，，点P在边BC上，则“”是“P为BC中点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】在直角三角形ABC中，若P为BC中点，由直角三角形的性质可得成立，即必要性成立，构造矩形ABDC，其中O为矩形对角线的交点，则，点P在边BC上，且，，则，则P不一定与O重合，即充分性不成立，故“”是“P为BC中点”的必要不充分条件，故选：②转化与化归4．若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】若“，使得成立”是假命题，即“，使得成立”是假命题，故，恒成立，令，，根据对勾函数的性质知：在递增，所以，，故选：5．已知x，y是实数，则“”是“”是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D

【解析】若，满足，此时，所以不是的充分条件，反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件．故选：6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（

）A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3【答案】C

【解析】因为此数为小于5的正整数，所以因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，所以，，故且，解得，故“”表示的数字是1或故选③分类讨论7．设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】对于甲：若，则，不合题意；若，则，因为，则，且，可知在内不是单调递减函数所以函数在不是单调递增，不合题意，若，因为，则，且因为函数在单调递增，则，解得；综上所述：甲等价于“”又因为是的真子集，所以甲是乙的充分不必要条件．故答案为：8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】由得或，即不等式的解集为或，由得，若，则不等式的解为，此时不等式的解集为，若，则不等式的解集为或，若，不等式的解集为或，若“”是“”的必要不充分条件，则，则当时，不满足条件．当时则满足，即，得，当时，则满足，得，得综上实数a的取值范围，故选：9．“R，使”的一个充分不必要条件是

A． B． C． D．或【答案】C

【解析】若R，使，当时：有解；当时：开口向上有解，当时：满足综上：，则“R，使”的一个充分不必要条件是，故选

基础过关篇1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B.2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B4．（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“数列为递减数列”，易得，若“对任意的正整数，”，，当时，由，得，解得：或，若，则，此时，与已知矛盾；若，则，由指数函数单调性可知单调递减；当时，由，得，解得：或，若，则，此时，与已知矛盾；若，则，由指数函数单调性可知单调递减；综上可知：若，可判断数列为递减数列，所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件，故选：C5．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若与共线，则存在实数，使得，即，由于平面向量与不共线，所以且，故，因此“与共线”是“”的充要条件，故选：C6．（2025·陕西咸阳·三模）已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于：关于的不等式无解，则，即，对于：直线的斜率非负，即，得，所以，但，所以是的充分不必要条件.故选：A7．（2024年北京高考数学真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.8．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选：C.9．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B10．（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，即，解得或3，所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件.故选：A．11．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则满足，但不满足，故无法得到；若，则满足，但不满足，故无法得到，故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D12．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】D【解析】如时，等比数列是递增数列，公比，由甲不能推出乙；当时，如，时，，不是递增数列，乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故选：D．13．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（）A．，且为假 B．，且为假C．，且为真 D．，且为真【答案】D【解析】因为，且，则，，可得，即命题为假命题，所以，且为真命题.故选：D.14．（多选题）（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由正弦定理可得，即．对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确；对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误；对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确；对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误.故选：AC．15．（多选题）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故“”是“”的充要条件，故A错误；由得能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；由可得，故，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD.16．（多选题）下列四个结论中正确的是（

）A．若，则B．若且，则C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”．D．“”是“”的必要不充分条件【答案】CD【解析】A.取，不满足，故A错误；B.取符合题意，但，故B错误；C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确；D.若，则不一定成立，例如；若，则成立，故D正确.故选：CD.17．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】BC【解析】由题意得，解得，则BC符合题意.故选：BC.18．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为．【答案】【解析】由题意得“，”为真命题，所以在区间内有解，又知在区间内单调递增，所以，故的取值范围为．故答案为：19．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为．【答案】【解析】命题p：，的否定为：，故答案为：20．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是．【答案】【解析】