3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（2大考点+8大题型）（讲义+精练）（解析版）-2026年新高考数学大一轮复习

27/273.1导数的概念及其意义、导数的运算目录TOC\o"1-2"\h\z\u01课标要求 202落实主干知识 3一、导数定义与几何意义 3二、导数的计算 3常用二级结论 403探究核心题型 6题型一：导数的运算 6题型二：求切线方程 9题型三：以值代参解决切线问题 11题型四：利用切线方法解决距离最值问题 14题型五：切线条数 18题型六：切线问题之弦长问题 22题型七：公切线问题 27题型八：切线新定义问题 3204好题赏析（一题多解） 4105数学思想方法 43①数形结合 43②转化与化归 46③分类讨论 4706课时精练（真题、模拟题） 50基础过关篇 50能力拓展篇 64

1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2、通过函数图象，理解导数的几何意义.3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.

一、导数定义与几何意义1、①函数从到的平均变化率为：.变式：.②函数在处附近的平均变化率为：.③平均变化率的几何意义：割线的斜率；平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.2、函数在处的瞬时变化率（导数）：.几何意义：切线的斜率；物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.变式：①，②，③3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率即，因此切线方程是：.二、导数的计算1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数)②若，则，简记为③若，则，简记为④若，则，简记为⑤若，则，简记为⑥若，则，简记为⑦若，则，简记为⑧若，则，简记为2、和差积商法则：①；②；③；④．3、复合函数的求导法则：复合函数的导数与函数，的导数间的关系是常用二级结论1、切线问题(1)在某点的切线方程思路：函数在点处的切线方程为：，关键(2)过某点的切线方程思路：设切点为，则斜率过切点的切线方程为，又因为切线方程过点所以然后解出的值带入切线方程即可．（有几个值，就有几条切线）过点与在点处的区别在点处的切线指的是为切点的切线．过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条．(3)公切线问题若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求公切线思路：设直线与和的切点分别为和，写切线，，化斜截：，斜率相等，截距相等：两个方程解两个未知数，解出，带入所写切线即可．(4)切线求参①已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标．②若在点处的切线过点，则．③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．

题型一：导数的运算【典例1-1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（

）A．0 B．2 C．－2 D．－4【答案】C【解析】因为，所以，所以，则.故选：C.【典例1-2】已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据题意，函数在区间上的平均变化率为：，所以.故选：B.【解题总结】(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【变式1-1】（2025·高三·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.故选：C.【变式1-2】求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．【变式1-3】求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）.（2）（3）（4），由，.【变式1-4】已知函数满足,求的解析式【解析】，令得：，故，故，令得，故，故.题型二：求切线方程【典例2-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求导得：，则，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，则与轴相交于点，与轴相交于点，所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为，故选：C.【典例2-2】（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意有，所以切线方程为，即，故选：C.【解题总结】处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.【变式2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】倾斜角为且横截距为a的直线l为，即得，曲线与直线l相切，设切点为，因为，所以且，所以，所以，设，因为，所以，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以，所以所以，即得.故选：B.【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对求导：.将代入中，可得切线的斜率.已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为.将其化简为一般式：，的图象在点处的切线方程是.故选：D.【变式2-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】设函数，则，则，所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为.故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.故选：A题型三：以值代参解决切线问题9．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（

）A．1 B． C．e D．【答案】A【解析】，，设切点坐标为，则，消去k，得，所以.故选：A【典例3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】设直线与曲线的切点为，对求导，得，直线的斜率为1，导数的几何意义知，在切点处，即．又切点既在直线上又在曲线上，且，即．将代入，得：，即．故选：A【解题总结】已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．【典例3-2】（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为．【答案】【解析】，设直线与曲线相切于点，则且，解得，所以，从而得，所以，设，，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为.故答案为：.【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（

）A．0 B．1 C．-1 D．【答案】B【解析】与的图象相切，设切点为，则，故，由，即，将代入上式，得，故.故选：B.【变式3-2】若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或【答案】D【解析】，当时，，解得：或.故选：D【变式3-3】（2025·陕西咸阳·三模）若曲线与曲线相切，则的值是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】当时，；当时，.因为的定义域为，所以两曲线的切点在上.对求导得.因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即.解方程，解得.把代入得，所以切点坐标为.把切点代入得，即.因为，所以.故选：B.【变式3-4】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】设直线与曲线的切点为.对求导，根据，可得.因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知，在切点处，即.又因为切点既在直线上又在曲线上，所以且，即.将代入可得：，即.将代入可得：，所以当，时，取得最小值为.故选：A【变式3-5】（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】依题意有，，又，即，，，.故选：D.题型四：利用切线方法解决距离最值问题【典例4-1】（2025·安徽·三模）已知且，若定义，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】设，，，垂直于直线，为垂足，为抛物线的焦点，易得曲线过点的切线为，与之垂直的直线方程为，恰好通过点，所以.故选：D.【典例4-2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，因，则，故曲线和直线无交点，，则，令，解得，则曲线上的点到直线的距离，则的最小值为.故选：A【解题总结】利用导数的几何意义求最值问题【变式4-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为．【答案】/【解析】易知点在函数上,设,化简得,即则点在以为圆心,半径为1的圆周上,如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可.设圆心为,可知,设函数,求导得易知为单调增函数,且,所以当时，,在单调递减,当时，,在单调递增,在上有最小值,最小值,所以的最小值为.故答案为:.【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题意得的最小值为曲线上点到直线距离的最小值，此时点就是曲线与直线相切的切点，对求导有，由可得，即，故.故答案为：.【变式4-3】（2025·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为.【答案】【解析】设，，易知函数的反函数为，由点在曲线上可知点在函数上，所以相当于上的点到曲线上点的距离，又与的图象关于对称，所以的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍.由，得，令，解得，又点到直线的距离，所以的“镜像距离”的最小值为.故答案为：【变式4-4】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为．【答案】【解析】由题意得，即圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，设，由于与关于对称，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，最小值为，故的最小值为，则的最小值等于.故答案为：【变式4-5】（2025·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为．【答案】【解析】由题意得，，即求曲线上一点到距离最小值，又因为在直线上，所以当切线与直线平行时，距离取得最小值，令，解得或（舍去），当时，点到直线距离为，即所求曲线上一点到距离最小值为.故答案为：题型五：切线条数【典例5-1】已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设切点坐标为.由题意得，所以函数的图像在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，则，由题意可知，这个方程有三个不等实根.设，则，由得，由得或.所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于；当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且，所以的大致图象如图，所以要使直线与函数的图象有三个交点，则.故选：C【典例5-2】（2025·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意故选：B【解题总结】设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．【变式5-1】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，设切点为，则切线方程，而过，将代入方程得到，令，，令，，此时单调递减，令，，此时单调递增，故有极小值，有极大值，则得到，故A正确.故选：A.【变式5-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线（

）A．有条 B．有条 C．有条 D．有条【答案】A【解析】函数的导数为，故曲线在处的切线l的斜率为,切点为，可得切线的方程为.假设l与曲线相切,设切点为，，即有，消去a得,设，则,令，则，令，则，所以在上单调递减,在上单调递增，则，当，所以在有唯一零点,则，而时,,与矛盾，所以符合情况的切线不存在，故选：A.【变式5-3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【解析】函数，对其求导得.设切点为，则切线斜率为又，所以切线方程为，化简得.将切线方程和曲线方程联立得：整理得，因式分解得，解得或，因为切线与曲线有且只有一个公共点，所以，解得，此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线，故选：B.题型六：切线问题之弦长问题【典例6-1】（2025·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为．【答案】【解析】易知，设，则，设切线斜率为，则，所以，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为．故答案为：【典例6-2】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【解题总结】利用导数的几何意义进行转化【变式6-1】若直线与函数和的图象分别相切于点，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】设，，因为，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，函数的图象在点处的切线方程为，即，因为直线是两函数图象的公切线，所以，由①可得，代入②得，因为，所以，所以，，所以.故选：C．【变式6-2】（2025·高三·湖北·期末）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则，的取值范围是．【答案】【解析】当时，，故，所以函数的图象在点处的切线斜率为，切线方程为，所以，当时，，，所以函数的图象在点处的切线斜率为，切线方程为所以，因为函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，、所以，即，所以，，，所以，由于，所以，所以，因为，所以，所以所以的取值范围是故答案为：；.【变式6-3】（2025·高三·江苏无锡·期末）已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为.【答案】【解析】当时，，，则，当时，，，则，因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，则，即，则，，，所以，，令，其中，则，当时，，此时函数在上单调递减，当时，，此时函数在上单调递增，所以，，因此，的取值范围是.故答案为：.【变式6-4】设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则；的取值范围是.【答案】2【解析】当时，；当时，，依题意可知，且，切线分别是，，故，由两切线垂直知，；由两点间的距离公式得，，.故答案为：；【变式6-5】已知曲线在点处的切线与轴相交于点，曲线在点处的切线与轴相交于点，，则，当时，的取值范围是.【答案】【解析】空1：由，，则，，又，即，故，所以，空2：令，则，，所以，，令得：，，由上结论及函数图象知，在与上两曲线所成图形有轴对称关系，只需研究，此时的范围即可，令，则，即在上递增，所以，即.故答案为：；.题型七：公切线问题【典例7-1】（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是.【答案】【解析】设公切线分别切，于点.则有以下关系式：①，②由①得：代入②式变形得：，又.令，原命题化为：有两解.，令，则，为上的减函数.又注意到，则在区间上，，在区间上递增，结合，，则此时值域为；在区间上，，在区间上递减，结合，则此时值域为.则当时，存在，使.故的取值范围是.故答案为：.【典例7-2】若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则.【答案】/【解析】设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，得，再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，从而得出.故答案为：【解题总结】公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.【变式7-1】已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是【答案】【解析】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线，因为，由同一条切线的斜率相等可得，由同一条切线的截距相等，可得，即，将斜率相等的表达式代入可得，即方程在上有解，令，则，令，得，当时，；当时，，且当时，；当时，，所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为，若方程在上有解，则，又，所以.故答案为：.【变式7-2】（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意知，，设公切线分别与曲线，相切于点，，则，，所以公切线方程为，，即，，所以，，所以，令，，，所以，由，得,由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且时，，时，，所以．故答案为：.【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.【答案】/【解析】曲线在点处的切线与曲线相切于点，，∴曲线在点处的切线斜率，曲线在点处的切线斜率，∴曲线在点处的切线方程为，或，，即，，易知，，.故答案为：.【变式7-4】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为．【答案】-2【解析】因为，，所以，，则在点处的切线方程为，即；在点处的切线方程为：，即，由已知，由得，故，故，解得，所以，因此．故答案为：．【变式7-5】（2025·安徽黄山·二模）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.【解析】(1)求出，分五种情讨论，分别令得增区间，得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于的两个等式，由其中一个等式求得的范围，再根据另一个等式利用导数求得的范围.试题解析：由已知得，所以.(1).①若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.②若，当时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.③若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.④若，故的单调递减区间为.⑤若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递减区间为；当时，单调递增区间为；单调递减区间为,；(2),设的方程为，切点为，则，所以.由题意知，所以的方程为，设与的切点为，则.又,即，令，在定义域上，，所以上，是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故.题型八：切线新定义问题【典例8-1】若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为.【答案】【解析】由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知，在上，.设直线，直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，，，则，则，且，联立解得，，所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.故答案为：.【典例8-2】（多选题）（2025·吉林·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（

）A．切线的方程为 B．C． D．若，则【答案】ACD【解析】，，，所以切线的方程为，故A正确；令，得，，，所以，令，有，故B错误；在横坐标为的点处的切线斜率为，所以在横坐标为的点处的切线方程为，令，则，故C正确；因为在上恒成立，所以在上单调递增．，则．由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，且．，则．．要证，只需证，只需证，即证，，成立．，故D正确．故选：ACD.【解题总结】数形结合处理【变式8-1】已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为．【答案】【解析】因为第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点，设直线方程为，联立方程消去得，所以，由求导可得，由题意可得点在曲线上，则，过点的切线方程为，代入整理得，令解得，根据题意可得，即，所以数列是公比为的等比数列，同理可得也是公比为的等比数列，所以，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前项和，故答案为：【变式8-2】（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中.(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位）(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.（i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；（ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，）【解析】（1）当时，令，则，曲线在处的切线为，令，得，则.，，曲线在处的切线为，令，得，则.故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为.（2）（i）设点的坐标为，则，，则曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则.因为在上单调递增，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对任意的正实数都有，即当时，都有.（ii）证明：因为在上单调递增，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是在的极小值点，也是在的最小值点，即.又，所以当方程有两个根时，必满足，且，曲线过点和点的割线方程为.下面证明：.设，则，令，得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，，在上单调递增，，所以当时，，即.因为，所以，解得①.曲线过点和点的割线方程为.下面证明：.设，则，即在上单调递增，，.因为，所以，即，所以，即.由零点存在性定理可知，存在，使得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，，在上单调递增，，所以当时，，即.因为，所以，解得②.由②①，得，即证得.【变式8-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（IsaacNewton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，并称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，称为r的2次近似值．一般地，在点处作曲线的切线，记与x轴交于点，并称为r的次近似值．(1)若函数，取作为r的初始近似值，求r的2次近似值；(2)若函数，取作为r的初始近似值，点，数列是由，，，…，构成的，记：，．回答以下问题：①请将的长度用n表示；②求证：．【解析】（1）由得，，又，得，在处的切线的方程为：，令，得到，所以，得到，所以，在处的切线的方程为：，令，得到，故r的2次近似值为；（2）①由，得，，，，得，，同理：在点处的切线斜率为，，将代入得，所以或，若，则，，…，重合，与题设矛盾，故舍去，，故数列是首项为，公比为的等比数列，得到，由抛物线的定义：，故；②由题意得：，由①知：，，，得，而，时，，得，故，所以，将代入，得，故命题得证．

1．（2025年高考全国一卷数学真题）若直线是曲线的切线，则.【答案】【解析】法一：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得，将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得.故答案为：.法二：对于，其导数为，假设与的切点为，则，解得.故答案为：.2．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.

①数形结合1．已知曲线：与曲线在第一象限交于点A，在A处两条曲线的切线倾斜角分别为，则

A． B． C． D．【答案】A

【解析】设，，解得或舍去，则，设曲线在点A处的切线斜率为，曲线在点A处的切线斜率为，由，得，圆：，，则，即，故，设，，则，所以，即，因为，所以，即．故选：2．过点有n条直线与函数的图像相切，当n取最大值时，m的取值范为

A． B． C． D．【答案】B

【解析】设切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，又切线过点，所以由于有n条直线与函数的图像相切，所以有n个不相等的实根，令，则，令得或，当或时，，单调递减，当时，，单调递增，当x趋近于时，趋近于0，，，当x趋近于时，趋近于，所以函数的图像大致如图，由图象可知，直线与的图象最多有3个交点，即n取最大值3，m的取值范围为3．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数m的取值范围是

A． B．C． D．【答案】A

【解析】因为，所以，令，整理得，由题意得此方程有两个不同的解；设，则函数的图象与直线有两个交点；易知，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，其图象如下图所示：又当时，，当时，，当x趋近于时，趋近于0，所以，解得，即实数m的取值范围是故选：②转化与化归4．若直线与曲线相切，则的最小值为

A． B．1 C． D．2【答案】A

【解析】设切点的坐标为，由，得，则，即，则，则，则当时，的最小值为故选5．若过点可以作曲线的两条切线，则

A． B． C． D．【答案】D

【解析】设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知，整理得：有两解，令，，易知最大值为即，解得，又因为当x趋近正无穷时，当x趋近负无穷时，趋近，则综上，故选6．若是的切线，则的取值范围为

A． B． C． D．【答案】A

【解析】因为，所以，设切点为，则，，可得，，令，求导可得，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当处取得最小值，且为，即，故选：③分类讨论7．已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的取值范围为

A． B． C． D．【答案】B

【解析】函数的导数为，可得在点处的切线的斜率为，则切线的方程为，即，由切线与曲线只有一个公共点，可得当时，由，解得，成立；当时，可得，即有两个相等的实数根，即，解得或9，综上，可得故选：8．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率，由点斜式得切线方程为，即，联立，得，因为切线与曲线没有公共点，所以方程没有实数解，当时，方程有唯一解，不满足题意，当时，，可得综上所述，，由，符合题意．故选9．直线是曲线和的公切线，则

A． B．0 C．0或 D．【答案】C

【解析】对于，求导得，设切点为，则在该点处的斜率为，则切线方程为，即，对于，求导得，设切点为，则在该点处的斜率为，则切线方程为，即，因为是公切线，所以，即，所以，即，所以，即或，解得或，当时，此时，，所以；当时，此时，，所以，所以或，故选：

基础过关篇1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设，，，由可得，则，于是在点处的切线方程为，又，化简方程得，同理得C在点N处的切线方程为，又两切线交于点，故得，即点，都在直线上，也即直线MN的方程为，因为点在直线MN上，代入得，得，故线段PF的中点为，故选项中可以为线段PF中点是.故选：A2．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数与的图象关于直线对称，设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为，设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为，由解得，可得，由解得，可得，则，则圆珠直径的取值范围应为.故选：A.

3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】D【解析】设直线与相切于，则直线：，直线与相切于，则直线：，因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，故，则.令，，则在单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，于是有，即.故选：D.4．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由题意有：设切点为，所以，所以，解得，，令，所以，令有，由有，有，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，故b的最大值为1.故选：A.5．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．e【答案】B【解析】解法一：令，，则，设直线与的切点为，则切线方程为，即，又因为，所以，解得，，所以切线方程为，令，则，设直线与的切点为，所以

①，又因为切点在直线上，所以，即

②，由①和②可得，所以，解得．解法二：设切点分别为，，．∴，．同理．∴，∴，∴．故选：B．6．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，故两切线方程为，，即，，与存在公切线，所以有解，消去后得：，令，，易得在上单调递增，且时，；时，，故在区间上递减，在上递增．所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为．故选：B．7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C9．（多选题）（2025·山东·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A．当时，B．函数有2个零点C．函数在点处的切线方程为D．，都有【答案】ACD【解析】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对.对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.对于C，对求导得，所以，故所求切线为，即，所以C对.对于D，当时，，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且当时，，时，所以由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.故选：ACD.10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则（

）A．函数仅有一个零点B．若函数在点处与x轴相切，则C．D．若为增函数，则【答案】BCD【解析】由题意得的定义域为，．函数在点处与x轴相切，则，得，故B正确；当时，，，函数在上单调递增，则，则，即，故C正确；若为增函数，则在上恒成立，则在上恒成立，在上恒成立，即（当且仅当时取等），解得，故D正确；令，则，解得或，若，，，易知均大于0，则在上有两个零点，不妨设，则，易知在和上单调递增，在上单调递减，又时，时，，此时函数有三个零点，故A错误．故选：BCD11．（2025·福建福州·模拟预测）已知曲线在A，B两点处的切线垂直于y轴．若直线AB的斜率为，则实数c的取值范围为．【答案】【解析】由函数，可得，令，可得，设,则，可得，故，化简得：，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：12．（2025·云南昭通·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，它们越来越逼近的零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点．用“牛顿法”求方程的近似解，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的近似值约为．（结果保留两位小数）【答案】【解析】由，，，，所以在处的切线方程为：．令，得，可得，，所以在处的切线方程为：，令，得.故答案为:．13．（2025·广东·三模）若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么.【答案】【解析】函数是偶函数，可得，即有，①是奇函数，可得，，即为，②由①②可得，，，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，可得，可得，即为，即为，即有，可得，，.故答案为：.14．（2025·上海杨浦·三模）若有唯一解，则的范围是【答案】1【解析】因为有唯一解，所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，直线过定点，画出的图象上与直线的图象如图，由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解；当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集；当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解，设切点坐标为，因为，所以，故答案为：1.15．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则．【答案】1【解析】函数的定义域为，由已知，故，函数的导函数，所以，因为函数在处的切线与直线平行，所以，所以，经验证，此时满足题意．故答案为：116．（2025·天津北辰·三模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是.【答案】【解析】存在唯一使的整数解唯一，令，则有有解，而绝对值不等式知，当且仅当同号时等号成立，故此时异号，，图象如下所示：①当时，，即有唯一整数解，（i）若，知过定点，，令与相切，切点为，其中，