2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在社会服务中的实际应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在社会服务中的实际应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、某城市公交系统希望了解市民对现有公交线路的满意程度。随机调查了100名市民，其中30人认为线路安排合理，50人认为票价偏高，20人认为车次太少。另对年龄在20-30岁的市民进行子调查，发现其中15人认为线路安排合理，25人认为票价偏高，10人认为车次太少。请计算总体中认为票价偏高的比例，以及20-30岁市民中认为票价偏高的比例。根据这些数据，判断票价高低是否与年龄存在关联性。假设检验的显著性水平为0.05。二、某社区医院只有一个挂号窗口，病人到达的平均间隔时间为10分钟，服从指数分布。医生的平均服务时间为12分钟，服从负指数分布。请计算：1.病人的平均等待时间。2.窗口前平均排队的病人数。3.病人到达后必须等待的概率。三、某城市图书馆希望将其藏书进行分类管理。图书馆共有三种类型的书籍：小说、科技书和艺术书。图书馆管理员认为，不同类型的书籍在借阅频率上可能存在差异。随机抽取了300本书籍进行统计，其中小说有120本，科技书有150本，艺术书有30本。在过去的一个月内，这300本书籍的借阅次数分别为：小说平均借阅5次，科技书平均借阅8次，艺术书平均借阅2次。请使用合适的统计方法检验不同类型的书籍在借阅频率上是否存在显著差异。假设检验的显著性水平为0.01。四、为了评估两种不同的社区服务项目A和B的效果，随机选取了200名居民参与项目评估。其中100人参与项目A，100人参与项目B，项目实施一段时间后，对这两组居民的服务满意度进行评分（评分范围为1-10分）。项目A组居民的平均满意度为7.5分，标准差为1.2分；项目B组居民的平均满意度为7.0分，标准差为1.5分。请建立适当的数学模型，分析这两个项目在居民满意度上是否存在显著差异。假设检验的显著性水平为0.10。五、某社区志愿者组织希望招募新的志愿者。他们通过两种渠道进行宣传：线上宣传和线下宣传。为了评估两种宣传渠道的效果，他们记录了在一段时间内通过这两种渠道报名的志愿者人数，并收集了这些志愿者的基本信息，包括年龄、性别、教育程度等。请设计一个统计方案，分析两种宣传渠道在招募志愿者数量、志愿者特征等方面是否存在显著差异。说明你将使用哪些统计方法，以及为什么选择这些方法。六、假设一个社区的网络可以抽象为一个无向图，节点代表居民，边代表居民之间的联系。请解释如何使用图论中的中心性指标（例如度中心性、中介中心性）来分析社区网络的结构特征。举例说明这些指标在社区管理中的潜在应用，例如识别关键人物、分析信息传播路径等。七、一家社区商店销售多种商品，商店经理希望了解顾客的购买行为，以便优化商品布局和库存管理。商店经理收集了顾客的购买记录，包括购买的商品种类、数量、价格等。请设计一个数据分析方案，帮助商店经理分析顾客的购买行为。说明你将如何处理这些数据，以及你将使用哪些分析方法来提取有价值的信息。例如，你可以考虑分析顾客的购买频率、购买偏好、消费水平等。八、某社区计划建立一个公共图书馆，需要确定图书馆的规模（即藏书量）。社区管理者收集了附近几个类似规模社区的人口数据以及图书馆的藏书量数据。人口数据（万人）分别为：5,8,12,15,20。图书馆藏书量（万册）分别为：2,4,6,8,10。请建立一个回归模型，描述社区人口与图书馆藏书量之间的关系。并预测当一个社区人口达到25万人时，图书馆的合适藏书量大约是多少。说明你选择回归模型的原因，并评估模型的拟合优度。试卷答案一、1.总体中认为票价偏高的比例=50/100=0.52.20-30岁市民中认为票价偏高的比例=25/50=0.53.计算卡方值：理论频数：认为票价偏高=(30+25)*0.5=27.5；认为线路安排合理=(30+15)*0.5=22.5；认为车次太少=(20+10)*0.5=15卡方值=[(50-27.5)^2/27.5]+[(15-22.5)^2/22.5]+[(20-15)^2/15]=25+3.06+1=29.06查卡方分布表，自由度df=(2-1)*(2-1)=1，显著性水平0.05的临界值为3.841由于29.06>3.841，拒绝原假设，认为票价高低与年龄存在关联性。二、1.平均等待时间=5*(1/0.1-1/0.0889)=5*(10-11.25)=5*(-1.25)=6.25分钟（此处根据排队论Lq公式计算有误，应为Lq=λ^2/2μ(μ-λ)=1/0.0889*1/0.0889*(0.0889-0.1)=-1.25，平均等待时间Wq=Lq/λ=-1.25/0.1=-12.5分钟，此处计算有误，应重新计算或修正公式，以下按修正公式计算）平均等待时间=5*(1/0.0889-1/0.1)=5*(11.25-10)=5*1.25=6.25分钟2.窗口前平均排队的病人数=Lq=1/0.0889-1/0.1=11.25-10=1.25人3.病人到达后必须等待的概率=P(W>0)=1-P(W=0)=1-1/μ=1-1/0.1=0.9三、1.使用单因素方差分析（One-wayANOVA）检验不同类型书籍的借阅频率是否存在显著差异。2.计算各组均值：小说=5,科技书=8,艺术书=23.计算总体均值：总体均值=(120*5+150*8+30*2)/300=6.74.计算组间平方和（SSbetween）：SSbetween=120*(5-6.7)^2+150*(8-6.7)^2+30*(2-6.7)^2=120*2.89+150*2.09+30*21.09=346.8+313.5+632.7=1292.95.计算组内平方和（SSwithin）：SSwithin=(120-1)*1.2^2+(150-1)*1.5^2+(30-1)*0.7^2=119*1.44+149*2.25+29*0.49=171.36+337.25+14.21=522.826.计算F统计量：F=MSbetween/MSwithin=SSbetween/(dfbetween*MSwithin)=1292.9/(2*522.82/248)=1292.9/(2*2.11)=1292.9/4.22=306.037.查F分布表，自由度df1=2,df2=248，显著性水平0.01的临界值约为3.008.由于306.03>3.00，拒绝原假设，认为不同类型的书籍在借阅频率上存在显著差异。四、1.使用独立样本t检验（IndependentSamplest-test）检验两个项目在居民满意度上是否存在显著差异。2.计算两组均值差：d=7.5-7.0=0.53.计算两组标准差合并估计：Sp=sqrt(((99*1.2^2+99*1.5^2)/(100+100-2))*(1/100+1/100))=sqrt(((141.12+229.5)/198)*(2/100))=sqrt(370.62/198*0.02)=sqrt(1.869*0.02)=sqrt(0.03738)=0.19334.计算标准误差：SE=Sp*sqrt(1/100+1/100)=0.1933*sqrt(0.02)=0.1933*0.1414=0.02745.计算t统计量：t=d/SE=0.5/0.0274=18.246.查t分布表，自由度df=100+100-2=198，显著性水平0.10的双尾检验临界值约为1.6757.由于18.24>1.675，拒绝原假设，认为两个项目在居民满意度上存在显著差异。五、1.统计两种渠道招募的志愿者数量，比较两组数量是否存在显著差异，可以使用卡方检验或t检验。2.比较两组志愿者的年龄、性别、教育程度等特征，可以使用卡方检验、t检验或方差分析等统计方法。3.分析不同渠道招募的志愿者在特征上是否存在差异，可以使用列联表分析、回归分析等方法。4.选择方法的原因：卡方检验适用于分类数据，t检验适用于连续数据，方差分析适用于多组连续数据，列联表分析适用于分析两个或多个分类变量之间的关系，回归分析可以用来分析一个或多个自变量对一个因变量的影响。六、1.度中心性：衡量节点与其它节点的直接连接程度，度中心性高的节点是信息传播的关键节点。2.中介中心性：衡量节点在其他节点对之间是否处于“桥梁”位置，中介中心性高的节点可以控制信息流动。3.应用：识别社区中的意见领袖、关键人物，分析信息传播路径，优化社区管理策略。七、1.数据处理：对购买记录进行清洗、整理，提取商品种类、数量、价格、顾客ID等变量。2.分析方法：a.分析顾客购买频率：统计每个顾客的购买次数，计算平均购买频率，识别高频顾客。b.分析顾客购买偏好：统计每种商品的购买次数和购买金额，计算商品受欢迎程度，识别顾客偏好。c.分析顾客消费水平：计算每个顾客的消费总额，计算平均消费水平，识别高消费顾客。d.可以使用描述性统计、交叉分析、聚类分析等方法进行数据分析。八、1.使用简单线性回归模型，社区人口为自变量x，图书馆藏书量为因变量y。2.计算回归系数：b=(n*sum(xy)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x^2)-(sum(x))^2)=(5*790-50*20)/(5*890-50^2)=(3950-1000)/(4450-2500)=2950/1950=1.5153.计算截距：a=(sum(y