2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在感染性疾病研究中的角色

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在感染性疾病研究中的角色考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设有一个传染病模型SIR，其方程组为$$\frac{dS}{dt}=-\beta\frac{SI}{N},\quad\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI,$$其中$S(t),I(t),R(t)$分别表示$t$时刻易感者、感染者、康复者的数量，$N=S+I+R$为总人口数，$\beta$为传染率，$\gamma$为康复率。证明该模型无病平衡点$(N,0,0)$的稳定性。二、考虑一个SEIR模型，其方程组为$$\frac{dS}{dt}=\lambda-\beta\frac{SI}{N}-\muS,\quad\frac{dE}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\sigmaE-\muE,$$$$\frac{dI}{dt}=\sigmaE-\gammaI-\muI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI-\muR,\quad\frac{dR_0}{dt}=\muR-\deltaR_0,$$其中$S(t),E(t),I(t),R(t),R_0(t)$分别表示$t$时刻易感者、潜伏者、感染者、康复者、死亡者数量，$N=S+E+I+R+R_0$为总人口数，$\lambda$为出生率（也假设等于死亡率$\mu$），$\beta$为传染率，$\sigma$为潜伏期长度对应的率，$\gamma$为发病率（即康复率），$\delta$为死亡率。假设$\sigma=1/\sigma_d$,$\gamma=1/\gamma_d$,$\delta=1/\delta_d$，其中$\sigma_d,\gamma_d,\delta_d$分别为潜伏期、传染期、病程（从发病到死亡）的平均长度。证明该模型无病平衡点$(N,0,0,0,0)$的稳定性。三、在一个包含$N=1000$个人的封闭社区中，发生了一起传染病爆发。初始时刻有10个感染者，无康复者。假设该社区符合SIR模型，参数$\beta=0.3$，$\gamma=0.1$。试建立相应的初值问题，并用欧拉法(步长$h=0.1$)模拟前50天的疫情发展情况。要求计算出每一天末的易感者、感染者和康复者人数。四、已知某传染病的潜伏期平均长度为5天，传染期平均长度为3天。该病无病阈值$R_0=3$。为将此病的$R_0$降至1以下，需要采取什么措施？请解释理由。五、考虑一个随机SIR模型，每个个体都有相同的概率$\mu$感染疾病（假设人群规模很大，可以用连续模型近似），感染后以概率$\gamma$康复，并从康复者中以概率$\delta$再次感染。设$p_S,p_I,p_R$分别为易感者、感染者、康复者在人群中的比例。写出该随机模型的微分方程形式，并解释方程中各项的含义。六、假设一个城市人口为100万，某传染病的潜伏期和传染期分别为4天和5天，无病阈值$R_0=1.5$。如果当前该城市的感染人数为1000人，问在不采取任何干预措施的情况下，该城市的疫情是否会发生大规模爆发？请解释理由。七、描述一下你如何利用数学模型来评估一种新的传染病疫苗的效果。需要考虑哪些因素？需要建立什么样的模型？如何利用模型数据进行评估？试卷答案一、证明：首先，计算无病平衡点$(N,0,0)$的雅可比矩阵：$$J=\begin{pmatrix}-\betaI/N&-\betaS/N&0\\\betaI/N&\betaS/N-\gamma&0\\0&0&\gamma\end{pmatrix}$$在平衡点$(N,0,0)$处，$I=0,S=N$，代入雅可比矩阵得：$$J(0,0)=\begin{pmatrix}0&-\beta&0\\\beta&-\gamma&0\\0&0&\gamma\end{pmatrix}$$计算该矩阵的特征值，设$\lambda$为特征值，则有：$$\det(J-\lambdaI)=\begin{vmatrix}-\lambda&-\beta&0\\\beta&-\gamma-\lambda&0\\0&0&\gamma-\lambda\end{vmatrix}=(-\lambda)(-\gamma-\lambda)(\gamma-\lambda)=0$$解得特征值为$\lambda_1=0$,$\lambda_2=-\gamma$,$\lambda_3=\gamma$。由于所有特征值的实部均小于等于0，且存在特征值0，根据稳定性判定定理，无病平衡点$(N,0,0)$是稳定的。解析思路：利用线性稳定性分析方法，计算无病平衡点的雅可比矩阵，然后求解特征值，根据特征值的实部判断平衡点的稳定性。所有特征值的实部小于等于0，且至少有一个特征值为0，则平衡点稳定。二、证明：首先，计算无病平衡点$(N,0,0,0,0)$的雅可比矩阵：$$J=\begin{pmatrix}-\betaI/N-\mu&\betaI/N&0&0&0\\\betaI/N-\sigma-\mu&-\sigma-\mu&0&0&0\\0&\sigma-\gamma-\mu&-\gamma-\mu&0&0\\0&0&\gamma-\mu&-\mu&0\\0&0&0&-\mu&-\delta\end{pmatrix}$$在平衡点$(N,0,0,0,0)$处，$I=0,E=0,R=0,R_0=0$，代入雅可比矩阵得：$$J(0,0,0,0)=\begin{pmatrix}-\mu&0&0&0&0\\0&-\mu-\sigma&0&0&0\\0&0&-\mu&0&0\\0&0&0&-\mu&0\\0&0&0&0&-\delta\end{pmatrix}$$计算该矩阵的特征值，即求解$\det(J-\lambdaI)=0$：$$\det\begin{pmatrix}-\mu-\lambda&0&0&0&0\\0&-\mu-\sigma-\lambda&0&0&0\\0&0&-\mu-\gamma-\lambda&0&0\\0&0&0&-\mu-\lambda&0\\0&0&0&0&-\delta-\lambda\end{pmatrix}=0$$解得特征值为$\lambda_1=-\mu,\lambda_2=-\mu-\sigma,\lambda_3=-\mu-\gamma,\lambda_4=-\mu,\lambda_5=-\delta$。由于所有特征值的实部均小于0，根据稳定性判定定理，无病平衡点$(N,0,0,0,0)$是稳定的。解析思路：利用线性稳定性分析方法，计算无病平衡点的雅可比矩阵，然后求解特征值，根据特征值的实部判断平衡点的稳定性。所有特征值的实部小于0，则平衡点稳定。三、建立初值问题：$$\frac{dS}{dt}=-0.3\frac{SI}{1000},\quad\frac{dI}{dt}=0.3\frac{SI}{1000}-0.1I,\quad\frac{dR}{dt}=0.1I$$初值条件：$S(0)=990,I(0)=10,R(0)=0$。用欧拉法(步长$h=0.1$)模拟前50天的疫情发展情况，公式为：$$S(t+h)=S(t)+hf_S(t,S,I),\quadI(t+h)=I(t)+hf_I(t,S,I),\quadR(t+h)=R(t)+hf_R(t,I)$$其中$f_S(t,S,I)=-0.3\frac{SI}{1000}$,$f_I(t,S,I)=0.3\frac{SI}{1000}-0.1I$,$f_R(t,I)=0.1I$。解析思路：首先，根据题目给出的参数和初始条件，建立SEIR模型的微分方程组。然后，选择合适的数值方法，这里使用欧拉法，并确定步长。最后，通过迭代计算，模拟出每个时间步长下易感者、感染者和康复者的人数。四、为将此病的$R_0$降至1以下，需要采取措施降低传染率$\beta$或增加康复率$\gamma$。具体措施包括：1.推广佩戴口罩、勤洗手、保持社交距离等个人防护措施，以降低传染率$\beta$。2.加强疫苗接种，提高人群免疫力，以增加康复率$\gamma$。3.加强医疗资源建设，提高治疗效果，以缩短传染期，从而间接降低$R_0$。解析思路：$R_0$是衡量疾病传播能力的指标，$R_0<1$表示疾病会逐渐消失。因此，需要采取措施使得$R_0$降低到1以下。可以通过降低传染率$\beta$或增加康复率$\gamma$来实现，具体措施包括个人防护、疫苗接种、医疗资源建设等。五、随机SIR模型的微分方程形式为：$$\frac{dp_S}{dt}=-\mu+\deltap_R,\quad\frac{dp_I}{dt}=\mup_S-(\mu+\gamma)p_I,\quad\frac{dp_R}{dt}=\gammap_I-\deltap_R$$其中$p_S,p_I,p_R$分别表示易感者、感染者、康复者在人群中的比例。解析思路：首先，考虑每个个体的状态转移。易感者以概率$\mu$感染疾病，转变为感染者；康复者以概率$\delta$再次感染，转变为感染者。感染者以概率$\gamma$康复，转变为康复者。然后，根据比例形式，写出每个状态比例的变化率。六、根据题意，潜伏期和传染期分别为4天和5天，无病阈值$R_0=1.5$，当前感染人数为1000人。可以使用以下方法评估是否会发生大规模爆发：1.计算基本再生数$R_0$的实际值，需要估计传染率$\beta$和康复率$\gamma$。如果$R_0>1$，则疫情有扩散的风险。2.使用SEIR模型模拟疫情发展，输入参数$R_0=1.5$，初始条件$I(0)=1000$，其他参数根据实际情况估计。观察模拟结果，如果感染人数持续增长，则可能发生大规模爆发。3.考虑人群密度、防控措施等因素，综合评估疫情风险。解析思路：首先，需要明确判断疫情是否爆发的指标，通常是基于$R_0$的值。然后，需要估计模型参数，并利用模型进行模拟，观察疫情发展趋势。最后，需要综合考虑各种因素，进行综合评估。七、利用数学模型评估新疫苗效果的方法：1.建立包含疫苗接种策略的SEIR模型，考虑不同接种人群、接种剂次、接种时间等因素。