专题02勾股定理中的折叠类型(原卷版+解析)

专题02勾股定理中的折叠类型（原卷版）类型一三角形的折叠1．（2023秋•泗县期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A．254cm B．223cm C．74cm 2．（2023秋•南岗区月考）如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．83cm B．23cm C．22cm D．33．（2022秋•城阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝．4．（2021秋•洛江区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为cm2．5．（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？6．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．类型二长方形的折叠7．（2023春•大石桥市期中）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm28．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为（）A．23 B．1 C．329．（2023秋•峄城区月考）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝．10．（2023秋•青岛期中）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．（1）请你直接写出点A的坐标；（2）求FC，AE的长；（3）求四边形EOFD的面积．11．（2023春•西平县期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．（1）求证：DF＝FG；（2）若AB＝6，BC2＝96，求FD的长．

12．（2023•龙川县开学）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．13．（南昌中考）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E＝BF；（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．类型三正方形的折叠14．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32 B．3 C．94 15．如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为（）A．32 B．3 C．3 D．16．（2022春•汉阳区期中）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，4）．（1）直接写出点C的坐标是；（2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF，求点E的坐标；（3）如图（3），动点E，F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式．专题02勾股定理中的折叠类型（解析版）类型一三角形的折叠1．（2023秋•泗县期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A．254cm B．223cm C．74cm 【思路引领】根据折叠的性质得DA＝DB，设CD＝xcm，则BD＝AD＝（8﹣x）cm，在Rt△ACD中利用勾股定理得到x2+62＝（8﹣x）2，然后解方程即可．【解答】解：∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴DA＝DB，设CD＝xcm，则BD＝AD＝（8﹣x）cm，在Rt△ACD中，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，解得x=7即CD的长为74故选：C．【总结提升】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．2．（2023秋•南岗区月考）如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．83cm B．23cm C．22cm D．3【思路引领】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC＝∠BDC′，∠CBD＝∠ABD＝30°，∠ADE＝∠A′DE，然后求出∠BDE＝90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC＝∠BDC′，∠CBD＝∠ABD=12∠∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE＝∠A′DE，∴∠BDE＝∠A′BD+∠A′DE=1在Rt△BCD中，BD＝BC÷cos30°＝4÷32在Rt△BDE中，DE＝BD•tan30°=83故选：A．【总结提升】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．3．（2022秋•城阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝1.5．【思路引领】首先根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，然后设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2+22＝（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=A∴B′C＝5﹣3＝2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝1.5，故答案为：1.5．【总结提升】此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的．4．（2021秋•洛江区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为15cm2．【思路引领】利用勾股定理的逆定理证出∠C＝90°，由翻折不变性可知：EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，设EC＝DE＝x，在Rt△BDE中，根据DE2+BD2＝BE2，构建方程求出x，再根据S△ABE=12×BE【解答】解：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．∵将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，∴EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，∴DB＝AB﹣AD＝4cm，设EC＝DE＝xcm，在Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴BE＝BC﹣EC＝8﹣3＝5cm，∴S△ABE=12×BE×AC=1故答案为：15．【总结提升】本题考查翻折变换，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5．（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？【思路引领】首先由勾股定理求得AB＝10，然后由翻折的性质求得BE＝4，设DC＝x，则BD＝8﹣x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB=B由折叠的性质可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．∴BE＝4，∠DEB＝90°．设DC＝x，则BD＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴CD＝3．【总结提升】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．6．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．【思路引领】（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，再根据∠（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC=BE2+CE2=41，设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x=165【解答】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=1又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCB'＝90°，∴∠ECD+∠FCD=1即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，∴∠EFC＝45°＝∠ECF，∴CE＝EF＝4，∴BE＝4+1＝5，∴Rt△BCE中，BC=B设AE＝x，则AB＝x+5，∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，解得x=16∴S△ABC=12AB×CE=12（【总结提升】本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．类型二长方形的折叠7．（2023春•大石桥市期中）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2【思路引领】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．【总结提升】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．8．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为（）A．23 B．1 C．32【思路引领】根据折叠的性质得到∠F＝∠B＝∠A＝90°，BE＝EF，根据全等三角形的性质得到FH＝AE，GF＝AG，得到AH＝BE＝EF，设AE＝x，则AH＝BE＝EF＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵将△CBE沿CE翻折至△CFE，∴∠F＝∠B＝∠A＝90°，BE＝EF，在△AGE与△FGH中，∠A=∠F∠AGE=∠FGH∴△AGE≌△FGH（AAS），∴FH＝AE，GF＝AG，∴AH＝BE＝EF，设AE＝x，则AH＝BE＝EF＝4﹣x∴DH＝x+2，CH＝6﹣x，∵CD2+DH2＝CH2，∴42+（2+x）2＝（6﹣x）2，∴x＝1，∴AE＝1，故选：B．【总结提升】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．9．（2023秋•峄城区月考）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝6．【思路引领】设BC＝x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．【解答】解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，故BF＝x﹣4＝6．故答案为：6．【总结提升】考查了勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．10．（2023秋•青岛期中）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．（1）请你直接写出点A的坐标；（2）求FC，AE的长；（3）求四边形EOFD的面积．【思路引领】（1）证明四边形AOCD是矩形，再结合D的坐标即可得出结果；（2）根据折叠的性质得出DF的长，再根据勾股定理求出CF的长，即可得出OF的长，设AE＝x，在Rt△OEF中根据勾股定理得出等式求解得出AE的长即可；（3）根据折叠的性质可知，四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵DA⊥y轴，DC⊥x轴，∠AOC＝90°，∴四边形AOCD是矩形，∵D的坐标为（15，9），∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9，∴A（0，9）；（2）∵将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．∴DF＝AD＝15，∴CF=D∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3，设AE＝x，则EF＝x，OE＝9﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得，OE2+OF2＝EF2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，∴AE＝5；（3）由（2）知AE＝5，∴OE＝9﹣5＝4，由折叠的性质可知，S△AED＝S△DFE，∴四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED=1=1=87【总结提升】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．11．（2023春•西平县期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．（1）求证：DF＝FG；（2）若AB＝6，BC2＝96，求FD的长．【思路引领】（1）根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；（2）设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可．【解答】解：（1）证明∵△BGE由△BAE翻折而成，∴∠A＝∠EGB＝90°，AE＝EG，∵E是AD的中点，AE＝EG＝DE，在Rt△EGF和Rt△EDF中EF=EFEG=ED∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴DF＝GF．（2）∵DF＝GF，可设DF＝x，则GF＝x，BF＝6+x，CF＝6﹣x，在Rt△BFC中BF2＝CF2+BC2，（6+x）2＝（6﹣x）2+96，解得，x＝4，∴DF的长为4．【总结提升】此题是折叠问题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED＝EG是解题的关键．是一道典型的折叠问题．12．（2023•龙川县开学）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【思路引领】（1）先判断出AF＝AD＝8，进而利用勾股定理求出BF＝6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论；（2）先作出点E关于BC的对称点E'，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=A∴CF＝BC﹣BF＝4，设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3；（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P，此时，PA+PE最小，最小值为AE'，∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11，在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'=A【总结提升】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，求出CE是解本题的关键．13．（南昌中考）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E＝BF；（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．【思路引领】（1）首先根据题意得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E＝BF；（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．【解答】（1）证明：由题意得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′FE＝∠B'EF，∴B′F＝B′E，∴B′E＝BF；（2）a，b，c三者存在的关系是a2+b2＝c2．证明：由（1）知A′B′＝AB＝c，A'E＝AE＝a，∵B′E＝BF＝c，∴在△A'B'E中，∠A′＝90°，∴A'E2+A'B'2＝B'E2，∴a2+b2＝c2．【总结提升】此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自己动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．类型三正方形的折叠14．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32 B．3 C．94 【思路引领】由正方形的性质和折叠的性质可得EF＝DF，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°，由勾股定理可求AF的长．【解答】解：∵将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，∴EF＝DF，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝3cm，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，∴（6﹣AF）2＝AF2+9∴AF=故选：C．【总结提升】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．15．如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为（）A．32 B．3 C．3 D．【思路引领】根据折叠可得DH＝EH，在直角△CEH中，设CH＝x，则DH＝EH＝6﹣x，根据E是BC的中点，可得CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：设CH＝x，则DH＝EH＝6﹣x，∵点E恰好是BC的中点，BC＝6，∴CE=12∵在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，∴（6﹣x）2＝32+x2，解得：x=9即CH=9故选：D．【总结提升】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．16．（2022春•汉阳区期中）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，4）．（1）直接写出点C的坐标是（4，4）；（2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF，求点E的坐标；（3）如图（3），动点E，F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式．【思路引领】（1）根据正方形的性质和D点的坐标得出C点坐标即可；（2）