（人教A版）必修第一册高一数学上学期同步考点分类训练专题3.6 函数的概念与性质（能力提升卷）（解析版）

函数的概念与性质（能力提升卷）一、单选题1．已知函数fx+2的定义域为−3,4，则函数gx=A．13,4 B．13,2 C．【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，所以f(x)的定义域为(−1,6).又因为3x−1>0，即x>13，所以函数g(x)的定义域为2．已知f2x−1=4x2+3A．x2−2x+4 B．x2+2x C．【答案】D【分析】利用换元法求解函数解析式.【详解】令t=2x−1，则x=t+12，ft3．若函数fx+1x=x2+A．6 B．6或−6 C．−6【答案】B【分析】令x+1x=t，配凑可得f【详解】令x+1x=t（t≥2或t≤−2），x2+1x4．若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．【答案】C【分析】当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据fx的值域包含0,+【详解】当a=0时，y=4x+1≥0，即值域为若a≠0，设fx=ax2+4x+1∴a>0Δ=16−4a≥0，解得：0<a≤4；综上所述：a5．设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−A．−53 B．−13 C．【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f5【详解】由题意可得：f53=f故f56．已知函数f(x)=ax−1x−a在(2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（A．(−∞，−1)∪(1，+∞) B．(−1,1)C．(−∞，−1)∪(1，2] D．(−∞，−1)∪(1，2)【答案】C【分析】先用分离常数法得到f(x)=a2−1【详解】解：根据题意，函数f(x)=ax−1x−a=a(x−a)+a2−1x−a=a2−1x−a+a，若f(x)在区间(2,+∞)上单调递减，必有a27．若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（

）A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：x<0−2≤x−1≤0或x>00≤x−1≤2或x=0解得−1≤x≤0或所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D.8．已知实数a，b，c，d满足a>b>c，且a+b+c=0，ad2+2bd−b=0，则dA．−∞,−1∪0,+∞ C．−2,2【答案】D【分析】先求解出方程的解d1,2，然后利用换元法（t=ba）将d表示为关于t的函数，根据条件分析t的取值范围，然后分析出d关于t【详解】因为ad2+2bd−b=0，所以d令ba=t，则d1,2=−t±t又因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0且c=−a−b<b<a，所以−a<2b,b<a，所以−12<当t∈0,1时，d因为y=1t在0,1上单调递减，所以y=−t+t当t=0时，d1=0，当t=1时，d1当t∈0,1时，d因为y=t、y=t2+t在0,1上单调递增，所以y=−t−当t=0时，d2=0，当t=1时，d2综上可知：d∈−1−二、多选题9．下列各组函数是同一函数的是（

）A．y=|x|x与y=1 B．y=C．y=(x)2x与y=【答案】CD【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：函数y=|x|x的定义域为x≠0，函数y=1定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数y=(x−1)2定义域为R，化简可得y=x−1，与y=x−1解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数y=(x)2x定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，函数y=x(x故选：CD10．定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy，当A．fB．fxC．fx在区间m,n上有最大值fD．fx−1+f【答案】ABD【分析】令x=y=0可判断A选项；令y=−x，可得fx+f−x=f0=0，得到f−x=−fx可判断B选项；任取x根据单调性的定义得到函数fx在R上的单调性，可判断C选项；由fx−1+fx2【详解】对于A选项，在fx+y=fx+fy中，令x=y=0对于B选项，由于函数fx的定义域为R，在fx+y=fx+fy中，令y=−x，可得对于C选项，任取x1，x2∈R，且x1所以fx1−fx2=fx1+f−x对于D选项，由fx−1+fx2−1>0可得fx2−111．若函数f(x)在定义域内D内的某区间M是增函数，且f(x)x在M上是减函数，则称f(x)在M上是“弱增函数"，则下列说法正确的是（

A．若f(x)=x2,则不存在区间MB．若f(x)=x+1x,则存在区间MC．若f(x)=x5+x3D．若f(x)=x2+(4−a)x+a在区间【答案】ABD【解析】A.y=f(x)B.f(x)=x+1C.由f(x)=x5+x3+x的奇偶性和单调性，可判断其在R上为增函数.y=f(x)x=D.可结合二次函数和双勾函数单调性作出判断.【详解】A.f(x)=x2,f(x)x=xB.f(x)=x+1x在[1,+∞)上为增函数，y=f(x)故f(x)=x+1x存在区间M使C.f(x)=x5+x3+x为奇函数，且x≥0时，y=f(x)x=x4+xD.若f(x)=x2+(4−a)x+a在区间(0,2]上是“弱增函数”，则f(x)=x2+(4−a)x+a在(0,2]上为增函数，故−4−a2≤0，故a≤4，又y=f(x)x三、填空题12．已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2x−3【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】ff6=f13．已知fx=(3a−1)x+4a,x<1【答案】1【分析】利用函数在R上是减函数，可列出不等式组3a−1<03a−1+4a⩾−1+1，由此求得【详解】由于fx=(3a−1)x+4a,x<1求得17⩽a<114．设函数fx=x,x≤1,【答案】−3,3【分析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.【详解】由函数解析式知f(x)在R上单调递增，且−f(2)=−2=f(−2)，则f1−由单调性知1−x>−2，解得x∈四、解答题15．函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x（1）求函数f(x)在x∈(−∞,0)的解析式；（2）当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）1【分析】（1）根据偶函数的性质，令x∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解；（2）m>0，有m2【详解】（1）令x∈(−∞,0)，则−x∈(0,+∞)，由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x（2）由m>0，|f(m)|=m2−2m=1，所以m2−2m=±1，解得16．已知函数f(x)=x+4(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间[2,+∞)上为增函数;(2)解不等式fx【答案】(1)证明见解析;(2)[−1,3].【解析】（1）通过计算fx1−fx2（2）利用fx【详解】（1）fx的定义域为x|x≠0.任取0<x1<x2，则当x1,x2∈[2,+∞)时，x1x2−4>0（2）由于x2−2x+4=x−12+3≥3，且由（1）知f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，所以由fx217．已知函数fx为R上的偶函数，当x⩾0时，f(1)求fx(2)求fx在t,t+2t∈R的最大值【答案】(1)f(x)={x2【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据偶函数的性质，结合函数f(x)在(−∞,0)单调递减，在[0,+∞（1）设x<0，则−x>0，且有f(−x)=(−x)由于函数f(x)为R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，因此x<0时，f(x)=x2−2x−3，所以f(x)（2）由函数y=x2−2x−3在(−∞,0)单调递减，函数y=x2+2x−3在当t+2≤0，即t≤−2时，f(x)在[t,t+2]单调递减，故M(t)=f(t)=t当t<0<t+2，即−2<t<0时，f(x)在[t,0)单调递减，在[0,t+2]单调递增，若f(t)>f(t+2)，即−2<t<−1，则M(t)=f(t)=t若f(t)≤f(t+2)，即−1≤t<0，则M(t)=f(t+2)=(t+2)当t≥0时，f(x)在[t,t+2]单调递增，故M(t)=f(t+2)=t综上所述，M(t)={t18．定义域为R的函数fx满足：对任意实数x，y，均有fx+y=fx+fy+2(1)求f0，f(2)证明：当x<1时，fx【答案】(1)f0=−2，【分析】（1）利用赋值法求解（2）当x<1时，2−x>1，则f2−x（1）令x=y=0，则f0=f0+f令x=y=1，则f2=f1令x=1，y=−1，则f0=f1（2）当x<1时，2−x>1，则f2−x因为f2所以fx19．函数fx对任意x，y∈R，总有fx+y=fx+fy，当x<0时，（1）证明fx（2）证明fx在R（3）若fx+fx−3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）0,+∞．【分析】（1）先用赋值法求