广西南宁市沛鸿中学2025-2026学年高二上学期开学摸底考试模拟数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广西南宁市沛鸿中学2025-2026学年高二上学期开学摸底考试模拟数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（

）

A． B． C． D．5．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（

）

A．年甲系列产品收入比年的多B．年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多C．年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的D．年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍6．如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（

）A．m B．15m C．m D．30m7．已知三棱锥的各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°8．“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．在上单调递减C．直线为的一条对称轴D．若为偶函数，则11．已知正实数满足，则下列不等式恒成立的为（

）A． B．C． D．三、填空题12．若复数为纯虚数，则实数.13．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为．14．已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.四、解答题15．已知向量，且.(1)求向量与的夹角；(2)求的值.16．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.17．在锐角中，角的对边为，若．(1)求角的大小；(2)若为的中点，且，求的面积；18．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形.(1)证明：平面PAE⊥平面PBF；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱锥的体积.19．若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.(1)判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值；(3)当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.《广西南宁市沛鸿中学2025-2026学年高二上学期开学摸底考试模拟数学试卷》参考答案题号12345678910答案CDACCDBDADACD题号11答案ABD1．C【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】由不等式，可得，所以，又由不等式，可得，所以，则．故选：C．2．D【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可.【详解】因为复数满足，因此，复数的虚部为.故选:D.3．A【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数，然后根据充分、必要性判断即可.【详解】向量，，若，则，即，解得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．4．C【分析】由圆台的表面积公式求解即可.【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径，下底面半径，母线长的圆台，则该圆台的表面积.故选：C.5．C【分析】利用已知条件可分别得出年和年种系列产品所占总收入的比例，结合该企业年种系列产品年总收入是年的倍，逐一检验选项即可得出答案．【详解】对于A：年甲系列产品收入占了总收入的，年甲系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年甲系列产品收入比年的多，故A选项不符题意；对于B：年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的，该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多，故B选项不符题意；对于C：年丁系列产品收入占了总收入的，年丁系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的，故C选项符合题意；对于D：年戊系列产品收入占了总收入的，年戊系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍，故D选项不符题意.故选：C.6．D【分析】由余弦定理求解．【详解】设，由得，又，，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），故选：D．7．B【分析】取的中点，连接、，或其补角即为直线和直线所成的角，然后利用，，可得，结合，即可求解.【详解】如图取的中点，连接，因为点P棱的中点，所以，所以或其补角即为直线和直线所成的角，连接，Q为棱的中点，所以，取的中点，连接、则，，又因为，平面，所以，所以，且所以是等腰直角三角形，所以故选：B【点睛】本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题.8．D【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可.【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类：第一类，前三次均为甲中，概率为；第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为；第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为；第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为．所以第4次仍然由甲投掷的概率为．故选：D9．AD【分析】根据空间中各要素的位置关系，结合线面平行的判定定理和面面平行的性质定理分别判断即可.【详解】对于A，由线面平行的判定定理，若平面外一条直线与平面内某条直线平行，则该直线与此平面平行，故A正确；对于B，若，则或，故B错误；对于C，设正方体上底面为，下底面内任意取两条直线，有，但不一定有成立，故C错误；对于D，由面面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的所有直线均与另一个平面平行，故D正确；故选：AD.10．ACD【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断.【详解】由图可知：，，则，当时，函数取得最大值，所以，又，所以.所以.对A，的最小正周期为，正确；对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误；对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确；对D，为偶函数，所以，故正确.故选：ACD.11．ABD【分析】利用基本不等式可得A正确；由，两边配方可得B正确；利用，展开后，利用基本不等式可判定C错误；将平方后，利用A的结论可以判定D正确.【详解】∵是正实数，∴，∵，∴，∴，当且仅当时取等号，故A正确；由，∴，∴，当且仅当时取等号，故B正确；，当且仅当时取等号；故C错误；∵，∴，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD12．1【分析】根据复数为纯虚数列式求参即可.【详解】由复数为纯虚数可得，解得.故答案为：1.13．【分析】根据向量垂直的关系式求得，再代入投影向量的公式，即可求解.【详解】由，得，因为，所以，即，则，可得．则向量在向量上的投影向量为．故答案为：.14．【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积.【详解】设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则，若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为，所以，可得，则，所以球体的表面积为.故答案为：15．(1)(2)4【分析】（1）对化简结合数量积的定义可求得结果；（2）先求出，然后由化简可求得答案.【详解】（1）设向量与的夹角为，由，得，因为，所以，即，解得，又，所以，即向量与的夹角为.（2）由（1）知，故.16．（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.【解析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；（2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值；（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可【详解】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为，则，解得.（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，从5人中抽取2人有：，，，，，，，，，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，所以.17．(1)(2)【分析】（1）根据题目条件以及正弦定理和余弦定理计算可得；（2）利用向量法求得中线的向量表示，再由中线长即可得，结合面积公式可得.【详解】（1）由可得，由正弦定理可得，即；由余弦定理可得，所以，又，可得（2）若为的中点，可得，又，所以；由（1）中，可得，所以，解得；可得的面积.18．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）应用线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定证结论；（2）连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，根据二面角的定义找到其对应的平面角，根据题设求该角正弦值即可；（3）根据已知求得PH，结合PH⊥平面ABFE，棱锥的体积公式求体积.【详解】（1）由题设，易知，又为等腰直角三角形，故，由且都在面内，故面，面，所以平面PAE⊥平面PBF；（2）如图，连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，∴GH⊥AB，故∠PGH为二面角的平面角，由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，设，则，，，，故二面角的正弦值为；（3）由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，则，故四棱锥的体积为1.19．(1)不是“依赖函数”，理由见解析(2)(3)4【分析】（1）从存在性或唯一性来说明该函数不是“依赖函数”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判断答案；（2）根据函数单调性的性质，可得，代入可求解；（3）分类讨论，当时，明显不符题意；当时