重难点04 隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、四点共圆）（原卷版）

重难点04隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、四点共圆）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力。该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型01定义型考｜向｜预｜测点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。答｜题｜技｜巧1.根据题意判定动点的变化特性2.找准定点和定长（圆心和半径）3.结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题1．（2024·广西）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．1．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为．2．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（

）A．142 B．96 C．192 D．1243.如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5模型02直角型考｜向｜预｜测点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解。实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键。许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题。一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。答｜题｜技｜巧观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点；数形结合进行分析、解答1．（2024·山东）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．1．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值．模型03等弦对等角考｜向｜预｜测点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧1.观察图形特点，确定定弦和定角；2.根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；3.利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝．2．如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是．模型04四点共圆型考｜向｜预｜测点圆问题中的四点共圆模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧1.观察图形特点，确定定弦和定角；2.根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；3.利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．1．如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（

）

A． B． C．2 D．12.在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为．1．（2023·重庆）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2024·河北）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（

）A．30 B．32 C．35 D．383．（2024·上海）如图，在正方形中，，M，N分别为边，的中点，E为边上一动点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则长度的最小值为（

）

A． B． C． D．4．（2024·福建）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为．1．如图，四边形为矩形，，点P是边上一动点，点M为线段上一点，且，则的最小值为．2．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为；的最大值为．

3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为．4．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是．①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等．5．如图，中，，中