专题10 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（原卷版）

1/10专题10二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题类型二、二次函数中的矩形存在性问题类型三、二次函数中的菱形存在性问题类型四、二次函数中的正方形存在性问题压轴专练类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。例1．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为．(1)求、两点的坐标及直线的函数表达式；(2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值；(3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．类型二、二次函数中的矩形存在性问题1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。例2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式．(2)求三角形的面积；(3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、二次函数中的菱形存在性问题1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。例3．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点，点是直线上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数的表达式；(2)连接，，并把沿轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；(3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.【变式】如图，抛物线与x轴交于点和点．与y轴交于点C，连接，．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线交于点N．当时，请直接写出的长．类型四、二次函数中的正方形存在性问题1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。例4．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点．(1)求a，b的值．(2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E，①当直线经过点D时，求的长；②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点．(1)求该抛物线的解析式：(2)若，请求出点的坐标；(3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．2．已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．3．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，，，试证明为直角三角形；(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线经过两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线表达式；(2)点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由；(3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．5．综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点．(1)求A、B、C三点的坐标．(2)过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标．(3)将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标．7．如图，抛物线与轴交于，顶点为．(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上一点，当时，求点坐标；(3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由．8．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P是抛