专题11 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（原卷版）

1/10专题11二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、二次函数中的等角存在性问题类型二、二次函数中的倍角存在性问题类型三、二次函数中的特殊角存在性问题压轴专练类型一、二次函数中的等角存在性问题知识点：1.二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2.等角的几何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对应角相等。解题技巧：1.构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2.代数化处理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．

(1)求二次函数的表达式及点的坐标．(2)求直线的表达式．(3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标．【变式1-1】如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C．(1)求m的值；(2)①求抛物线顶点C的坐标；②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式；(3)已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标．【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点．交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点．连接，．求面积最大值及此时点的坐标；(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点．点为平移后的新抛物线上一动点，当．请直接写出所有符合条件的点的坐标．类型二、二次函数中的倍角存在性问题知识点：1.三角函数倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan²α)），通过角的正切值关系转化代数等式；2.几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。解题技巧：1.代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2.几何法：构造含倍角的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。例2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标．【变式2-1】如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)设四边形的面积为，求的最大值；(3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．【变式2-2】如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．类型三、二次函数中的特殊角存在性问题知识点：1.特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立线段比例关系；2.二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。解题技巧：1.几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系；2.代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。例3．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点．(1)求点、点的坐标及抛物线的解析式；(2)求的面积；(3)若点是轴上一点．且．求点坐标．【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．(1)求m的值和直线对应的函数表达式；(2)P点是对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标；(3)Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．【变式3-2】如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线的顶点，求出的面积；(3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标．一、解答题1．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；(3)若，求点的坐标．3．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．(1)求的长；(2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标；(3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．4．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标；(3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标；(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标．6．已知抛物线经过点和．(1)求抛物线的函数表达式；(2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图．①求的面积；②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标．7．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为