人教A版数学必修第二册 平面向量的数量积的运算【含答案】

平面向量的数量积的运算一、单选题1．已知等边三角形ABC的边长为2，则（

）A．2 B． C． D．2．已知平面向量的夹角为，且，则（

）A．4 B．4 C．8 D．83．已知向量，，若与的夹角为，则为（

）A． B． C． D．14．已知在边长为6的等边三角形中，，则（

）A．24 B．6 C．18 D．5．直角中，为的外心，（

）A．4 B． C．2 D．6．在中，已知，，，，分别是，边上的中线，则（

）A． B． C． D．7．四边形ABCD中，，，，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．－38．梯形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．已知正三角形的边长为6，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与的夹角为120° D．11．是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值为12．在△ABC中，，F是AC的中点，则下列说法正确的是（

）A．若，点D在线段BC的延长线上，则B．若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则C．若点P在线段AC上，则的值可以是－D．若E是线段AB上一动点，则为定值三、填空题13．在中，已知，，，则____________.14．边长为2的正方形，E为的中点，则的值为___________．15．已知向量，，满足，，，，，则_________.16．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______.17．在中，，，E是中点，则______.18．在菱形ABCD中，，已知点M在线段EF上，且，则___，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为___．19．定义平面非零向量之间的一种运算“”，记（其中是非零向量，的夹角）．若，均为单位向量，且，则________．20．已知同一平面上的和分别是边长为2和4的正三角形（其中A，B，O和C，D，O均按逆时针排列），则的取值范围是______．21．在中，，则的取值范围是____________．22．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．四、解答题23．已知，是夹角为60°的单位向量，设.(1)求；(2)求的最小值.24．已知，与的夹角是.(1)求的值及的值；(2)当为何值时，？25．已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为.(1)求；(2)求(3)若与垂直，求的值.26．如图，在中，，为边的中点．设向量，向量，求：(1)；(2)求．27．如图，在平行四边形中，若，点E，F分别落在边BC，CD上，且．(1)以为基底分别表示，；(2)求的值．28．如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.(1)若，以，为基底表示向量与；(2)若，求的取值范围.29．在如图所示的平面图形中，，，求：(1)设，求的值；(2)若且，求的最小值.30．已知向量､的夹角为，且，设，.(1)求；(2)试用来表示的值；(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.参考答案一、单选题1．【答案】B【分析】由向量数量积的定义求解即可.【详解】因为向量的夹角为，所以，故选：B.【点睛】本题关键是注意两向量的夹角，在判断向量夹角时是起点重合，判断夹角.2．【答案】C【分析】直接利用数量定义求解即可【详解】因为平面向量的夹角为，且，所以，故选：C3．【答案】B【分析】根据已知条件利用数量积的定义求解即可.【详解】因为向量，，若与的夹角为，所以，故选：B.4．【答案】A【分析】由已知条件将用表示出来，然后再计算即可【详解】因为，所以,所以因为边三角形的边长为6，所以，所以，故选：A5．【答案】B【分析】依题意可得为的中点，即可得到且，再代入求解即可．【详解】解：直角中，，，为的外心，为的中点，即，且，，故选：B．6．【答案】D【分析】先求得，然后利用中线结合平面向量基本定理和数量积的运算求解即可.【详解】，，，则,,，，分别是，边上的中线，则,，则，故选：D.7．【答案】D【分析】延长交于，设，结合条件及数量积的定义可得，然后利用二次函数的性质即得.【详解】延长交于，因为，，∴，为等边三角形，设，则，∴，所以当时，的最小值为.故选：D.8．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算求得，，再根据数量积的运算求解即可【详解】，，，，，．故选：D二、多选题9．【答案】CD【解析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B错误，D正确；由，所以，故A错误；由，所以，故C正确.故选：CD【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10．【答案】AD【分析】根据平面向量线性运算法则表示出、、，再根据数量积的运算律及等边三角形的性质计算可得；【详解】解：，故A正确；同理可得，所以，故B错误；如图取的中点，连接，则，因为为等边三角形，所以与的夹角为，故C错误；因为，所以，故D正确；故选：AD11．【答案】ACD【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量的数量积的运算律判断CD.【详解】对于A，当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，∴A正确；对于B，∵在方向上的投影为，∴在方向上的投影向量为，∴B错误；对于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正确；对于D，如下图，取的中点，连接，取中点，连接，则，，，则，显然当重合时，，取最小值，∴D正确.故选：ACD．12．【答案】AD【分析】以为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可.【详解】选项A：若，则，则，故A正确.选项B：令，则所以；令，则.所以即，故B不正确.选项C：设，，则不妨设，则当时，，即，所以不存在，故C不正确.选项D：设，则因为，所以所以(定值)，故D正确.故选：AD.三、填空题13．【答案】6【分析】用表示出后，由平面向量数量积运算律与定义计算，【详解】由已知．故答案为：6．14．【答案】2【分析】以为基底，分别表示，再利用向量的数量积的运算律求解即可.【详解】，故答案为：215．【答案】6【分析】由，得，两边平方化简可得答案【详解】由，得，两边平方，得，因为，所以，得.故答案为：.16．【解析】，则当与同向，即时，取得最大值为.17．【答案】2【分析】由向量的线性运算结合数量积的定义及运算律求解即可.【详解】.故答案为：2.18．【答案】

7

－##【分析】先利用平面向量基本定理求出，再求出，用基底表示，结合二次函数知识求解最值.【详解】设,则，所以，解得，所以；平方可得,所以.设，则，；所以整理可得，当时，取到最小值.故答案为：7，.19．【答案】【分析】由数量积的定义可得，的夹角，利用新定义和向量模长的计算公式以及数量积的定义可得答案．【详解】，且，，又，则；，故答案为：20．【答案】【分析】设，则，根据数量积的运算律转化为关于的三角函数，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：设，所以，，，，．故答案为：．21．【答案】【分析】由向量数量积的定义及正弦定理、两角差的正弦公式变形得，由等腰三角形的性质及向量的加法法则得边上的中线长，这样可用角表示出边，然后由数量积的定义求得数量积，利用二倍角公式，余弦函数的性质得其范围．【详解】记，，，由正弦定理得，，，所以，，设是边上的中线，如图，则，，，，，，，则，，，所以．故答案为：．22．【答案】【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围.【详解】因为是的中线，所以，故，因为，设，则，所以，故当时，取得最小值，最小值为，当或3时，.故答案为：.四、解答题23．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积定义直接计算可得；（2）利用性质，将所求问题转化为关于t的二次函数最值问题.(1)由向量，为夹角为60°的单位向量，可得，.所以.(2)∵，∴，∴.当且仅当时等号成立，∴的最小值为.24．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）∵，与的夹角是，∴，；（2）由题意，，即，解得，即时，.25．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意，根据向量模长的坐标表示，结合数量积的定义式，可得答案；（2）由（1），根据数量积的性质，求解模长，可得答案；（3）根据垂直向量的数量积性质，可得答案.（1），，.（2），∴.（3）若与垂直，则，即，∴，即，∴.26．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数量积的运算律计算出即可.（2）变形，然后利用数量级的运算率计算即可.【详解】（1），.（2）.27．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则结合已知条件求解即可，（2）由（1）可得，化简计算即可（1）因为，所以，，，因为四边形为平行四边形，所以，所以,（2）因为，所以，所以28．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与；（2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围.(1)解：，所以；因为，所以，所以；(2)解：，所以，又，，，所以，所以因为，所以，所以，所以的取值范围为.29．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量减法得，再根据向量共线可得，进而得答案；（2）由题知，设设，进而得，再结合二次函数