山西省晋中市部分学校2025~2026学年高二上册10月阶段性考试数学（B卷）试卷【附解析】

/山西省晋中市部分学校2025-2026学年高二上学期10月阶段性考试数学试题（B卷）一、单选题1．直线：在轴上的截距为（

）A． B． C．1 D．22．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（

）A． B． C． D．3．已知直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．4．如图，在正方体中，点在线段上，点在线段上，且，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．两条平行直线与之间的距离为（

）A．6 B．5 C． D．6．在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．78．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，的长为（

）A． B． C． D．二、多选题9．如果，那么直线通过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．在空间直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．四点共面11．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（

）A．动点的轨迹所围成的图形周长为B．动点的轨迹所围成的图形面积为C．动点离原点的最长距离为2D．动点离原点的最短距离为三、填空题12．已知直线的方向向量为且过点，则的方程为.13．在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为．14．在平行六面体中，，且，若，，则棱的最大值为.四、解答题15．已知的三个顶点的坐标分别为.(1)求边上的中线所在直线的斜截式方程；(2)求边上的高所在直线的截距式方程.16．如图，四棱锥的侧棱底面，已知底面是正方形，若，且是的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．已知直线.(1)已知直线恒过定点，求出点坐标；(2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值.18．如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一动点，且.(1)若，证明：；(2)当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值.19．曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离.(1)已知点，求的值；(2)已知点，点是直线上任意一点，求的最小值；(3)已知在空间直角坐标系中，，动点满足，求动点围成的几何体的表面积.

题号12345678910答案BAADCBBDABCABD题号11答案AC1．B由题意结合截距的概念运算即可得解.【详解】令，代入，得，故选：B2．A根据对称的性质即可求解.【详解】显然关于平面对称点坐标为.故选：A.3．A根据倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，所以，则.故选：A.4．D建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的夹角余弦即可.【详解】设正方体的棱长为1，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则.所以，即与所成角的余弦值为.故选：D5．C借助平行线间距离公式计算即可得.【详解】因为直线与平行，所以，直线即为，所以两条平行直线之间的距离为.故选：C.6．B由点坐标写出向量坐标，然后取与的同向的单位向量，然后即可求得在上的投影，然后由勾股定理求出到直线的距离.【详解】由题意得，取.又，所以，.即到直线的距离.故选：B.7．B由题意，转化为轴上动点到第一象限两定点的距离之和最小值，利用对称性可得三点共线得解.【详解】设.由，得的几何意义为的值.点关于轴对称点的坐标为，所以.故选：B8．D建立空间直角坐标系，设，三棱锥的外接球球心为，外接球半径为，利用得到，根据最小时的值即可得到的坐标即可求出.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.设，则.设三棱锥的外接球球心为，外接球半径为，则，即，化简得，则，当时，最小，此时，即，所以.故选：D9．ABC根据直线的斜率以及轴截距判断即可.【详解】因为，所以，由，得直线斜率，令，所以直线经过第一、二、三象限.故选：ABC.10．ABD利用空间向量平行、垂直的坐标表示，模长公式一一判定选项.【详解】由题可得.所以，即，故A正确；由，得，故B正确；由，得，故C错误；对于选项D，因为，且，所以三点共线，又，所以点不在所在直线上，所以可以确定一个平面，即四点共面，故选项D正确.故选：ABD.11．AC设，结合向量坐标运算及绝对值性质分类讨论可得点轨迹为菱形，则可利用菱形性质得到A、B、C，再利用等面积法计算可得D.【详解】设，则，得.由，得，即.当，且时，方程为；当，且时，方程为；当，且时，方程为；当，且时，方程为；所以点对应的轨迹如图所示：显然，，且点轨迹为菱形，所以其周长为，面积为，所以A正确，B错误；显然当在或点时，离原点距离最长为2，所以C正确；离原点最短距离为，所以D错误.故选：AC.12．先根据直线的方向向量求得直线的斜率，再根据点斜式写出方程即可.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，故的方程为，即.故答案为：.13．由题可知，设，然后根据向量坐标运算求出和的坐标，再利用列出方程，进而求解点M的坐标．【详解】由，得.设，由，得，即.解得，即.故答案为：．14．4设，结合空间向量基本定理，利用数量积的运算律及模的运算列方程得，将代入，得，利用判别式法得，解不等式即可.【详解】设，则有，由，所以，所以，将代入，整理得，所以，即，解得，则棱的最大值为4.故答案为：4.15．(1)(2)（1）先求出边的中点，再有点斜式求出直线的方程，化成斜截式即可；（2）先求出直线的斜率，利用高的性质求出边上的高线的斜率，再由点斜式求出高线方程，化成截距式即可.【详解】（1）由，得的中点.则边上的中线的斜率为.故边上的中线所在直线方程为，化为斜截式方程为.（2）由，可得直线的斜率为.则边上的高所在直线的斜率为.所以边上的高所在直线方程为，化为截距式方程为.16．(1)证明见解析(2)（1）连接交于点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即可证得结论；（2）根据条件建系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）如图，连接交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为是的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为四棱锥的底面是正方形，所以，又因为侧棱底面，所以，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则.所以，设平面的法向量为，则，即，故可取，设直线与平面所成角为.则.即直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)16.（1）根据即可求解定点.（2）根据面积公式，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由，得.显然时，.所以直线恒过定点.（2）由，当时，；当时，.由题意可知，所以，故.当且仅当，即时取等号，故的最小值为16.18．(1)证明见解析；(2).（1）建系，写坐标，先设，由在上，可设出，利用此式子求出用表示的点的坐标，由得到，计算出的值，从而得到是的中点，即得；（2）由三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍，通过转化三棱锥的顶点和底面得到，通过向量法求出的坐标，再求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积求出平面和平面夹角的余弦值即可.【详解】（1）证明：因为矩形所在的平面，所以两两垂直.分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，，因为是的中点，所以.设，则，即，所以，由，得，即，得，即是的中点，所以.（2）设点到平面的距离为，点到平面的距离为，三棱锥的体积，三棱锥的体积，由已知可得，即，得，，设平面的法向量为，则即得，取，得，所以，易得平面的法向量为，则，所以平面和平面夹角的余弦值为.19．(1)(2)2(3)【详解】（1）由题意可得，所以.（2）因为动点为直线上一点，则，所以，即当时，；当时，；当时，.综上，当时，的最小值为2.（3）动点围成的几