湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（

）A． B． C．4 D．83．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（

）A．9 B．10 C．11 D．124．已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．6．的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（

）A． B． C．0 D．407．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（

）A． B． C．2 D．8．数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（

）A．45 B．46 C．90 D．91二、多选题9．已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，，则C．若，，，则D．若，，，，则10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（

）A．若，则直线的斜率为 B．C．(为坐标原点) D．当取最小值时，11．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（

）A． B．角的最大值为C． D．的取值范围是三、填空题12．已知随机变量，若，则实数a的值为．13．直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为.14．若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为．四、解答题15．在中，内角满足．(1)求；(2)若的外接圆半径为2，且，求的面积．16．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．17．如图，四棱锥中，平面，，．(1)作点在平面内的射影，写出作法及理由；(2)若，，且，求二面角的正弦值．18．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标元件数（件）21836404(1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．（i）若，证明：；（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件）19．已知函数.(1)当时，求证：函数有唯一极值点；(2)当时，求在区间上的零点个数；(3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题》参考答案题号12345678910答案CBBCBAABBCDABD题号11答案ABD1．C【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，集合，而，所以.故选：C2．B【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．【详解】由可得，，所以，故选：B.3．B【分析】根据百分位数的定义求出分位数，再根据平均数定义得到方程，求出【详解】因为该组数据共6个，且，所以这组数据的分位数为从小到大第3个数，即6，则，解得．故选：B．4．C【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可.【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为，所以，所以，所以，双曲线C的离心率.故选：C.5．B【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值.【详解】由题设，而.故选：B6．A【分析】利用二项式定理将看作展开，然后找到含，，的项即可求解.【详解】根据二项式定理，则.当时，的展开式中不含，，的项.当时，，这部分含，，的项系数分别为，，.将含，，的项系数相加，即.则的展开式中所有二次项的系数和为.故选：A.7．A【分析】法一：过点作，，垂足分别是、，根据已知得且，即可得；法二：构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得.【详解】法一：如图①，过点作，，垂足分别是，，因为，所以，又，所以四边形为正方形，所以，又，所以，则，故；法二：以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，设，则，因为，所以，，由，得，解得，故.故选：A8．B【分析】利用累加法表示出，先计算时的，然后依次将调整为3可求得的最大值，然后可得解.【详解】由题设可得，其中，故，且奇偶交错出现．若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数；若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数，又，当时，，考虑时，调整为3，则对应的可增加，依次对诸（至少一个）调整为3后，即，从上述的调整过程可得，取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性），当时，取遍了中的奇数，合计46个，故选：B．【点睛】关键点睛：本题关键在于先根据求的最小值，然后依次将调整为3求的最大值，然后分析即可得解.9．BCD【分析】根据线面判断的判定定理即可判断A；根据线面垂直的判定定理即可B；根据线面平行的性质即可C；根据面面垂直的性质即可判断D.【详解】A：若，有可能，故A错误；B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确；C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确；D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确.故选：BCD10．ABD【分析】设出直线，，，根据题意求出和的坐标，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D.【详解】依题意，设直线，，，联立得，则，，则，解得或，则，或，，则直线的斜率为.故A正确；，当且仅当时等号成立.故B正确；因为，所以，故C错误；，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，，当且仅当时取等号，此时，故D正确.故选：ABD11．ABD【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C由已知有得，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于D令代入有，由三角不等式有，解出的范围，又，利用二次函数即可求解，进而判断D.【详解】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确；对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角的最大值为，故B正确；对于C：由有，所以，所以，即，与题干不符，故C错误；对于D：令代入有，由有得解得，所以，由，所以，即的取值范围是，故D正确.故选：ABD.12．2【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，，解得．故答案为：213．【分析】先由向量的坐标运算求出、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可.【详解】依题意，设，，则，，则，由得，解得，则，，则直线的斜率为，方程为即.故答案为：.14．【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解.【详解】由得，由题意知在区间上单调递增.①时，在区间上单调递增，符合题意；②时，在区间上单调递增，若在区间上单调递增，则，即对恒成立，所以成立，故，即；③时，对恒成立，此时，函数由，复合而成，在上单调递增且，而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在上单调递增，则，即.综合①②③可知a的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解.15．(1)(2)【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得，故可求；（2）根据三角变换可得，故可求面积.【详解】（1）在中，，∴，∵，∴，则化简得．又，∴，又∵，∴．（2）∵，∴，∴．即，又，∴记内角的对边分别为，∵的外接圆半径，∴由正弦定理可得，∴，∴.16．(1)(2)．【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可；（2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解.【详解】（1）由题意知，解得，则椭圆的方程为．（2）易知四边形为平行四边形，设，联立直线与椭圆消去并整理得，由韦达定理得，因为与平行，所以这两条直线的距离，则平行四边形的面积．17．(1)答案见解析；(2).【分析】（1）过点作的垂线，垂足即为点在平面内的射影．通过证明平面平面，结合面面垂直的性质，可得平面，得证；（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的余弦值，根据三角函数同角求值，可得答案.【详解】（1）解：设，连接，过点作的垂线，垂足即为点在平面内的射影．下面证明：，，点，在线段的中垂线上，即有，平面，平面，，又，、平面，平面，又平面，平面平面，又平面平面，，平面，平面，故点为点在平面内的射影.（2）由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系，，又，，且，易知，，，在中，，在中，，，则，，，，设平面的法向量为，，，则，，不妨取，则，平面的法向量，设二面角的平面角为，则，又，，所以二面角的正弦值为.18．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）不可信．【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得；（2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果；（ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断.【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，，，；（2）（i）由题：若，则，，又，所以（或），由切比雪夫不等式可知，，所以，（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，，由切比雪夫不等式知，，即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数；（2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数；（3）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解.【详解】（1）函数，有，则在R上单调递增，当时，有，即.当时，由，得，且.当时，.因为，所以.因为对任意恒成立，所以当时，.则在上单调递减，在上单调递增，所以是的唯一极值点.（2）当时，，，当时，，所以在上单调递减，因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点.当时，令，则，当时，有，所以在上单调递增，又因为，所以存在使得，当时，，所以在上单调递减，所以当时，故在上无零点，当时，，所以在上单调递增，又，所以在上有且仅有一个零点.综上所述：在上有且只有2个零点.（3）设曲