2026江苏春季高考数学考试总复习：专题10 概率与统计（知识梳理+考点）（原卷版）

专题10概率与统计

目录

明晰学考要求.......................................................................................................................................1

基础知识梳理.......................................................................................................................................1

考点精讲讲练.......................................................................................................................................4

考点一：统计图表........................................................................................................................4

考点二：平均数、中位数、众数、百分位数计算....................................................................6

考点三：方差与标准差................................................................................................................7

考点四：古典概型........................................................................................................................8

考点五：互斥事件与对立事件....................................................................................................8

考点六：相互独立事件................................................................................................................9

实战能力训练.....................................................................................................................................10

明晰学考要求

1、了解简单随机抽样的含义；

2、会计算样本均值；

3、了解分层随机抽样的特点和适用范围；

4、会用频率分布直方图估计总体；

5、了解样本的平均数、众数、中位数、百分位数的概念；

6、了解样本的标准差、方差、极差.

7、了解样本点和有限样本空间的含义；

8、会用频率估计概率；

9、能计算古典概型中简单随机事件的概率；

10、了解互斥事件和对立时间的概念；

11、了解两个事件独立性的含义.

基础知识梳理

1、总体与个体

在获取数据时，把所有考察对象的全体叫作总体，把组成总体的每一个考察对象叫作个体.从

总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中个体的数目称为样本容量.

为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指

标作为个体.

2、简单随机抽样

（1）一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个不放回的抽取n(1≤n＜N)个个

体，如果每个个体被抽到的机会均等，这样的抽样就是简单随机抽样.

（2）简单随机抽样主要包括抽签法与随机数表法.

3、分层抽样

一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，讲总体中

的个体按不同特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，

这种抽样方法叫作分层抽样.

4、频率分布直方图

频率频率

频率分布直方图中，横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率.

组距组距

各小长方形的面积和等于1.

5、平均数、中位数、众数、百分位数

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.

(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个

数据的平均数.

－1

(3)平均数：如果n个数为x1，x2，…，xn，那么x＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数.

n

(4)百分位数：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步：按从小到大排列原始数据.

第2步：计算i＝n×p%.

第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，

则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

其中，第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数

或上四分位数.

6、方差、标准差

－N

21

（1）如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则称S＝∑(Yi

Ni＝1

－

－Y)2为总体方差，S＝S2为总体标准差.

（2）标准差的意义

标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，

数据的离散程度越小.

7、样本空间

定义字母表示

把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本

样本点用ω表示样本点

点

样本空

全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间

间

基本事

一个事件仅包含一个样本点

件

8、频率与概率

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会

逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用

频率fn(A)估计概率P(A).

9、古典概型

（1）定义：将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，

简称古典概型.特征①有限性，样本空间的样本点只有有限个.

特征②：等可能性，每个样本点发生的可能性相等.

m

（2）概率公式：PA.

n

10、互斥事件与对立事件

（1）互斥事件定义：若AB,即事件A,B不可能同时发生，称为事件A,B为互斥事件.

（2）互斥事件的性质：若事件A,B为互斥，则PABPAPB.

（3）对立事件定义：若AB,且AB，即互斥事件A,B必有一个发生，则它们为对立事件.

（4）对立事件的性质：若事件A,B为对立，则PAPB1.

11、相互独立事件

（1）定义：如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，称A,B为相互独立事件.

（2）性质：若事件A，B独立，则PABPAPB.

考点精讲讲练

考点一：统计图表

【典型例题】

例题1．（2023高三·江苏·学业考试）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖

创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，

每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理

化类的人数多（）

A．16B．30C．32D．62

例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了n名学生进行调查并

根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在30,50的学生有210人，则n

（）

A．300B．360C．400D．480

例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）某地区调查了2000名学生每周的自习时间（单位：小时），制

成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），

[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，估计这2000名学生中每周的自习时间不低于25小时的

人数是（）

A．600B．1400C．560D．1200

【即时演练】

1．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成

绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，70,80，，

50,6060,7080,90

，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（）

90,100

A．0.017B．0.018C．0.020D．0.023

2.下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考

总分，则（）

A．该同学数学学科成绩一定下降B．该同学政治学科成绩一定下降

C．该同学化学学科成绩可能下降D．该同学语文学科成绩一定提升

3.某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该

校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示

的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范

围是2,12，数据分组为2,4,4,6,6,8,8,10,10,12.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学

校社团活动的时长不少于6小时的人数为（）

A．68B．27

C．66D．86

考点二：平均数、中位数、众数、百分位数计算

【典型例题】

例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知五个数2,a,6,5,3的平均数为4，则a（）

A．3B．4C．5D．6

例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，

284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（）

A．290B．295C．300D．330

例题3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试

阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组

数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（）

A．79B．80C．81D．82

【即时演练】

1.已知数据x1,x2,,xn的平均数为4，则数据2x11,2x21,,2xn1的平均数为（）

A．16B．15C．8D．7

2.（2022高三上·江苏徐州·学业考试）数据1，3，6，2，2，4，6，8的平均值是（）

A．3B．4C．5D．6

3.惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、

17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）

A．abcB．bcaC．cabD．cba

考点三：方差与标准差

【典型例题】

例题1．（2024高二·江苏·学业考试）运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2，则

下列关于这组数据说法不正确的是（）.

A．众数为7和9B．平均数为7

C．中位数为7D．方差为s24.8

例题2．数据20，21，22，23，24的方差是.

【即时演练】

1.数据2，4，6，8的方差为（）

A．4B．5C．6D．7

2.若一组数据a1，a2，a3的平均数为4，方差为3，那么数据a12，a22，a32的平均数和方差分别是

（）

A．4，3B．6，3C．3，4D．6，5

3．甲、乙两名篮球运动员在相同站位点各进行6组篮球投篮练习，每组投篮10次，每投进篮筐一次记1

分，否则记0分，他们每组投篮的得分如下：

甲789549

乙787877

则下列说法正确的是（）

A．甲比乙的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定

B．甲比乙的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定

C．乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定

D．乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定

考点四：古典概型

【典型例题】

例题1.（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（）

1112

A．B．C．D．

4323

例题2.（2023高三上·江苏徐州·学业考试）从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正

品的概率是（）

1133

A．B．C．D．

105105

例题3.（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保

宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（）

1123

A．B．C．D．

4334

【即时演练】

1.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概

率是（）

2111

A．B．C．D．

3234

2.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，

则两次都摸到红球的概率P（）

11

A．B．

86

11

C．D．

42

考点五：互斥事件与对立事件

【典型例题】

例题1.（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列

各种情况是互斥事件的有（）

①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；

②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；

③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；

④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；

A．①③B．②③C．②④D．③④

例题2.从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件A“2个数都为偶数”，B“2个数都为奇数”，C“至少

1个数为奇数”，D=“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（）

A．A与B是互斥事件B．A与C是互斥但不对立事件

C．B与D是互斥但不对立事件D．C与D是对立事件

例题3.已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且PA0.2,PC0.7，则PAB（）

A．0.2B．0.5C．0.6D．0.9

【即时演练】

1.明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）

A．三次均未中靶B．只有两次中靶

C．只有一次中靶D．三次都中靶

2.王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件P表示“抽中甲、乙两位同学”，事件Q

表示“抽中甲、丙两位同学”，则（）

A．P是必然事件B．Q是不可能事件

C．P与Q是互斥事件D．P与Q是对立事件

3.已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟

不低于60分的概率为（）

1123

A．B．C．D．

4234

考点六：相互独立事件

【典型例题】

例题1（.2023高三上·江苏徐州·学业考试）天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，

假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（）

A．0.12B．0.42C．0.58D．0.82

例题2.（2023高三·江苏·学业考试）甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，

则密码被破译的概率为（）

A．0.09B．0.42C．0.51D．0.6

【即时演练】

1.甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.6，则恰有一人投中的概率为（）

A．0.44B．0.48C．0.88D．0.98

2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶

的概率为（）

A．0.85B．0.80C．0.70D．0.29

3．现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，从两个盒子各取出1

个球，记事件A为“从甲盒子中取出红球”，记事件B为“从乙盒子中取出红球”，记事件C为“从两个盒子中

取出的球颜色相同”．下列说法正确的是（）

A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥

C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立

实战能力训练

1．一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（）

A．1B．2C．3D．6

2．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成

绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，70,80，，

，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的众50数,6的0估计60值,7是0（）80,90

90,100

A．65B．75C．85D．95

3．下列四组数据中，方差最小的是（）

A．5，5，5，5，5，5，5，5B．4，4，4，5，5，5，6，6

C．3，3，4，4，5，6，6，7D．2，2，2，2，2，5，8，8

4．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）

A．6B．7C．8D．9

5．有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为