2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在能源开发中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在能源开发中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设函数$f(x)=\begin{cases}x^2&\text{if}x\leq1\\ax+b&\text{if}x>1\end{cases}$，其中$a,b$为常数。若$f(x)$在$x=1$处连续且可导，求$a$和$b$的值。二、计算不定积分$\int\frac{x}{x^2+1}\arctanx\,dx$。三、求微分方程$y''-4y'+3y=e^{2x}\sinx$的通解。四、设向量组$\vec{\alpha}_1=(1,1,1),\vec{\alpha}_2=(1,2,3),\vec{\alpha}_3=(1,3,t)$。(1)求$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3$的秩；(2)若$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3$线性无关，求$t$的取值范围。五、设随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}&\text{if}-1\leqx\leq1\\0&\text{otherwise}\end{cases}$。求随机变量$Y=X^2$的概率密度函数。六、某油藏的储量$N$(单位：亿桶)随时间$t$(单位：年)变化的微分方程为$\frac{dN}{dt}=-0.1N$。假设初始储量$N(0)=10$亿桶。(1)求油藏储量$N$随时间$t$变化的表达式；(2)预测油藏开采10年后的储量。七、建立数学模型描述一个风力发电系统的功率输出。系统中，风速$v$(单位：m/s)是一个随机变量，其概率密度函数为$f(v)=\begin{cases}\frac{v}{100}&\text{if}0\leqv\leq20\\0&\text{otherwise}\end{cases}$。风力发电机组的功率输出$P$(单位：W)与风速$v$的关系为$P=\begin{cases}0&\text{if}v<3\\kv^3&\text{if}3\leqv\leq20\end{cases}$，其中$k$是一个常数。求该风力发电系统平均功率输出。八、利用线性规划方法，求解以下优化问题：某公司生产两种产品A和B，需要消耗两种资源X和Y。生产每单位产品A需要消耗2单位资源X和1单位资源Y；生产每单位产品B需要消耗1单位资源X和2单位资源Y。产品A的利润为3元/单位，产品B的利润为2元/单位。公司每周可获得的资源X为100单位，资源Y为80单位。问：如何安排产品A和B的生产计划，才能使公司每周的总利润最大？试卷答案一、$a=2,b=-1$解析：由于$f(x)$在$x=1$处连续，有$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)$。即$1^2=a\cdot1+b$，得$a+b=1$。由于$f(x)$在$x=1$处可导，有$\lim_{x\to1^-}f'(x)=\lim_{x\to1^+}f'(x)$。即$\lim_{x\to1^-}2x=\lim_{x\to1^+}a=a$，得$a=2$。将$a=2$代入$a+b=1$，得$b=-1$。二、$\frac{1}{2}x^2\arctanx-\frac{1}{2}\arctanx+\frac{1}{4}\ln(x^2+1)+C$解析：令$u=\arctanx,dv=\frac{x}{x^2+1}dx$。则$du=\frac{1}{x^2+1}dx,v=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$。利用分部积分公式$\intudv=uv-\intvdu$，得$\int\frac{x}{x^2+1}\arctanx\,dx=\frac{1}{2}x^2\arctanx-\int\frac{1}{2}\ln(x^2+1)dx$对$\int\frac{1}{2}\ln(x^2+1)dx$再次使用分部积分，令$u=\ln(x^2+1),dv=\frac{1}{2}dx$。则$du=\frac{2x}{x^2+1}dx,v=\frac{1}{2}x$。得$\int\frac{1}{2}\ln(x^2+1)dx=\frac{1}{2}x\ln(x^2+1)-\intx\cdot\frac{2x}{2(x^2+1)}dx=\frac{1}{2}x\ln(x^2+1)-\int\frac{x^2}{x^2+1}dx$$=\frac{1}{2}x\ln(x^2+1)-\int1-\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}x\ln(x^2+1)-x+\arctanx+C_1$将结果代回原式，得$\int\frac{x}{x^2+1}\arctanx\,dx=\frac{1}{2}x^2\arctanx-\left(\frac{1}{2}x\ln(x^2+1)-x+\arctanx+C_1\right)$$=\frac{1}{2}x^2\arctanx-\frac{1}{2}\arctanx+\frac{1}{2}x\ln(x^2+1)-x+C$$=\frac{1}{2}x^2\arctanx-\frac{1}{2}\arctanx+\frac{1}{4}\ln(x^2+1)+C$三、$y=C_1e^x+C_2e^{3x}-\frac{1}{2}e^{2x}(\cosx+\sinx)$解析：对应的齐次方程$y''-4y'+3y=0$的特征方程为$r^2-4r+3=0$，解得$r_1=1,r_2=3$。齐次方程的通解为$y_h=C_1e^x+C_2e^{3x}$。由于$\pm2i$不是特征根，非齐次方程的特解可设为$y_p=e^{2x}(A\cosx+B\sinx)$。将$y_p$及其导数代入非齐次方程，得$e^{2x}(-4A\sinx+4B\cosx)+4e^{2x}(-A\cosx-B\sinx)+3e^{2x}(A\cosx+B\sinx)=e^{2x}\sinx$比较系数，得$\begin{cases}-A=1\\-B=1\end{cases}$，解得$A=-1,B=-1$。因此，特解为$y_p=-e^{2x}(\cosx+\sinx)$。所以，非齐次方程的通解为$y=y_h+y_p=C_1e^x+C_2e^{3x}-\frac{1}{2}e^{2x}(\cosx+\sinx)$。四、(1)秩为2(2)$t\neq5$解析：(1)构造矩阵$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$，进行行变换：$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1\tor_2}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1\tor_3}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2\tor_3}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}$矩阵的秩等于非零行数。当$t\neq5$时，矩阵的秩为3；当$t=5$时，矩阵的秩为2。(2)向量组$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3$线性无关等价于它们构成的矩阵的秩为3。由(1)知，当$t\neq5$时，向量组线性无关。五、$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2y}}&\text{if}0\leqy\leq1\\0&\text{otherwise}\end{cases}$解析：$Y=X^2$的值域为$[0,1]$。当$0\leqy\leq1$时，$P(Y\leqy)=P(X^2\leqy)=P(-\sqrt{y}\leqX\leq\sqrt{y})=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}dx=\sqrt{y}$。$Y$的概率密度函数为$f_Y(y)=\frac{d}{dy}P(Y\leqy)=\frac{d}{dy}\sqrt{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$。当$y<0$或$y>1$时，$f_Y(y)=0$。因此，$Y$的概率密度函数为$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2y}}&\text{if}0\leqy\leq1\\0&\text{otherwise}\end{cases}$。六、(1)$N(t)=10e^{-0.1t}$(2)3.68亿桶解析：(1)$\frac{dN}{dt}=-0.1N$是一阶线性微分方程，分离变量法解得$N(t)=N(0)e^{-0.1t}=10e^{-0.1t}$。(2)当$t=10$时，$N(10)=10e^{-0.1\cdot10}=10e^{-1}\approx3.68$(亿桶)。七、$\frac{500}{3}$W解析：平均功率输出为$E(P)=\int_0^{20}Pf(v)dv=\int_3^{20}kv^3\cdot\frac{v}{100}dv=\frac{k}{100}\int_3^{20}v^4dv=\frac{k}{100}\cdot\frac{1}{5}v^5\bigg|_3^{20}=\frac{k}{500}(20^5-3^5)=\frac{323937}{50}k$当$v<3$时，$P=0$，对平均功率无贡献。因此，平均功率输出为$E(P)=\frac{323937}{50}k=\frac{323937}{50}\cdot\frac{1}{3}=\frac{323937}{150}=\frac{107979}{50}=\frac{500}{3}$W。八、生产产品A20单位，产品B40单位，最大利润为140元。解析：设生产产品A的数量为$x$，生产产品B的数量为$y$。目标函数：最大化$Z=3x+2y$。约束条件：$\begin{cases}2x+y\leq100\\x+2y\leq80\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}$画出可行域，即可行域为以(0,4