2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 李群在几何光学中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——李群在几何光学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.设G是一个李群，其Lie代数记为Ğ，则Ğ中的元素可以通过G中元素的对合运算的双线性映射得到。2.在几何光学中，光线映射π:M→M*将黎曼流形M上的点映射为其对应的光线，其中M*表示M的对偶流形。3.若群G作用于流形M，且作用是保测地线的，则光线映射π在G的作用下是G的同胚。4.对于矩阵李群GL(n,ℝ)，其Lie代数gl(n,ℝ)由所有n×n实矩阵组成，其切空间在单位矩阵处的值即为gl(n,ℝ)。5.在几何光学中，不变测地线是指在群G的作用下保持不变的光线，它们构成了一个子流形，其测地线标量曲率处处为零。二、选择题1.下列哪个群是李群？(a)有限群(b)一般线性群GL(n,ℝ)(c)交换群ℤ(d)所有正实数在乘法下的群2.设G是一个李群，Ğ是其Lie代数，则以下哪个说法是正确的？(a)Ğ中的元素就是G中元素的对合运算结果(b)G中的每个元素都可以通过Ğ中的元素唯一确定(c)Ğ是G的一个子群(d)Ğ的元素可以通过G的ExponentialMap得到3.在几何光学中，费马原理可以表述为：(a)光线总是沿着最短路径传播(b)光线传播路径的长度是一个不变量(c)光线传播路径的长度在所有可能路径中取极值(d)光线传播的方向由介质的折射率决定4.设G=SO(3)是三维旋转群，其Lie代数Ğ=ℓ(3,ℝ)是：(a)所有3×3实矩阵的集合(b)所有反对称3×3实矩阵的集合(c)所有正定3×3实矩阵的集合(d)所有3×3实可逆矩阵的集合5.不变测地线在几何光学中的意义是：(a)它们是光线映射的像(b)它们是群G的不变子群(c)它们在群G的作用下保持不变(d)它们的测地线曲率处处为零三、计算题1.设G=O(2)是二维正交群，其Lie代数Ğ=ℓ(2,ℝ)。求Ğ中元素的一般形式，并说明其几何意义。2.考虑黎曼流形M=ℝ²，其上的度量张量为g=diag(1,1)。设群G=ℝ*×ℝ*作用于M，其中G的作用为(t,α)·(x,y)=(tx,αy)。求光线映射π:M→M*在此作用下的形式。3.设G=SO(3)是三维旋转群，其Lie代数Ğ=ℓ(3,ℝ)。考虑G对ℝ³的作用，即旋转。求不变测地线的方程，并说明其物理意义。4.设光线映射π:S²→S²*将单位球面S²上的点映射为其对应的光线（视作单位球面的对偶空间）。证明：如果S²上的一个测地线在G=SO(3)的作用下保持不变，那么它一定是G的一个不变测地线。四、证明题1.证明：对于一个李群G，其Lie代数Ğ中的元素x可以唯一地表示为G中某个元素g的负对数（-logg），即x=-logg，其中对数在李群的标准覆盖空间上取值。2.证明：在几何光学中，如果光线映射π:M→M*是一个G-等变映射（即对G的所有元素g，有π(g·p)=g·π(p)），那么π的像是一个G-不变子流形。3.证明：在三维欧氏空间ℝ³中，所有不变测地线都是直线。试卷答案一、填空题1.对合2.光线3.同胚4.切空间5.测地线标量曲率二、选择题1.(b)2.(d)3.(c)4.(b)5.(c)三、计算题1.解:O(2)是所有2×2实正交矩阵的集合，即满足AᵀA=I₂且det(A)=±1的矩阵。其Lie代数Ğ=ℓ(2,ℝ)由所有2×2实反对称矩阵组成，即满足Aᵀ=-A的矩阵。设Ğ中的元素为A=[ab;-ba]，则A的指数映射为exp(A)=I₂+A+A²/2!+...=cos(θ)I₂+sin(θ)[01;-10]，其中θ是A的迹的一半，即θ=Tr(A)/2。当det(A)=1时，θ∈ℝ，exp(A)∈SO(2)；当det(A)=-1时，θ∈(π/2,3π/2)，exp(A)∈O(2)\SO(2)。几何意义上，ğ代表二维空间中的旋转，exp(ğ)代表旋转角度为θ的旋转矩阵。2.解:光线映射π:ℝ²→ℝ²*将点(x,y)映射为其对应的光线方向，即对偶向量π(x,y)=(x,y)·。在此G作用下，若p=(x,y)∈ℝ²，g=(t,α)∈G，则g·p=(tx,αy)。光线映射π(g·p)=π(tx,αy)=(tx,αy)·。另一方面，g·π(p)=g·(x,y)·=(t,α)·(x,y)·=(tx,αy)·。因此π(g·p)=g·π(p)，即π是G-等变映射。对于任意固定方向(x₀,y₀)·∈ℝ²*，其原像是{(λx₀,λy₀)|λ≠0}，这是一个过原点的直线。G的作用(t,α)·(x,y)=(tx,αy)将此直线变为直线(tλx₀,αλy₀)，仍是一条过原点的直线。因此π的像包含所有过原点的直线，即ℝ²*的原点，即π(ℝ²)=ℝ²*。更准确地说，对于单位向量(x₀,y₀)，π(x₀,y₀)=(x₀,y₀)·，其原像为{(λx₀,λy₀)|λ≠0}。G的作用将此原像变为{(tλx₀,αλy₀)|λ≠0}，即直线{λ(x₀,y₀)|λ≠0}。所以π的像是由ℝ²中所有过原点的直线组成的空间，可以视为ℝ²*。3.解:SO(3)的Lie代数Ğ=ℓ(3,ℝ)由所有3×3实反对称矩阵组成，即ğ=[abc;-bde;-c-ef]。G=SO(3)对ℝ³的作用为旋转。不变测地线是在此作用下保持测地线的曲线。考虑ℝ³中的标准正交基{e₁,e₂,e₃}，其对偶基{e₁*,e₂*,e₃*}满足eᵢ*·eⱼ=δᵢⱼ。光线映射π:ℝ³→ℝ³*将点eᵢ映射为其对偶向量π(eᵢ)=eᵢ*。不变测地线g(t)满足τ'(t)=π(g(t))·τ(t)，其中τ(t)是测地线标量曲率。由于g(t)∈SO(3)，g(t)ᵀg(t)=I₃，求导得g'(t)ᵀg(t)+g(t)ᵀg'(t)=0，即g'(t)ᵀ=-g(t)ᵀg'(t)。将其代入不变测地线方程，得到g'(t)ᵀπ(g(t))·τ(t)=0。由于π(g(t))·τ(t)是一个对偶向量，其与任何反对称矩阵相乘的结果是一个向量。设π(g(t))=R(t)，则R(t)ᵀR(t)=I₃，R'(t)ᵀ=-R(t)ᵀR'(t)。代入得-R'(t)·τ(t)=0。这意味着R'(t)·τ(t)=0。由于R(t)是正交矩阵，其列向量{R(t)e₁,R(t)e₂,R(t)e₃}是ℝ³的一组标准正交基，即{v₁(t),v₂(t),v₃(t)}。上式说明τ(t)与R(t)e₁,R(t)e₂,R(t)e₃都正交。由于{e₁,e₂,e₃}是标准正交基，{v₁(t),v₂(t),v₃(t)}也是标准正交基，τ(t)必须与这个基线性相关。设τ(t)=k(t)v(t)，其中v(t)∈ℝ³是一个单位向量，k(t)是标量函数。将其代入R'(t)·τ(t)=0得R'(t)·k(t)v(t)=0。由于k(t)不恒为零，必须有R'(t)v(t)=0。由于R(t)的列向量是标准正交基，其导数R'(t)的列向量也正交于R(t)的所有列向量。因此R'(t)v(t)=0意味着v(t)必须是R(t)的一个零空间向量。因为R(t)的零空间是唯一的（除了标量倍数），且R(t)的列向量是标准正交基，所以v(t)必须是R(t)的某个列向量的负倍数。不失一般性，设v(t)=R(t)e₃。则τ(t)=k(t)R(t)e₃。由于τ(t)是速度向量，它必须垂直于位置向量g(t)=R(t)e₁。g(t)ᵀτ(t)=0=>R(t)ᵀ[k(t)R(t)e₃]=0=>k(t)[R(t)ᵀR(t)]e₃=0=>k(t)e₃=0。这要求k(t)=0，与τ(t)不恒为零矛盾。因此唯一可能是v(t)=R(t)e₃的负倍数，即v(t)=-R(t)e₃。此时τ(t)=k(t)(-R(t)e₃)。g(t)ᵀτ(t)=R(t)ᵀ[-k(t)R(t)e₃]=-k(t)e₃=0，即k(t)=0。这意味着τ(t)=0，这显然不是测地线。我们需要重新考虑R'(t)v(t)=0的含义。实际上，由于R(t)的列向量是ℝ³的标准正交基，R'(t)的列向量也正交于R(t)的所有列向量。所以R'(t)v(t)=0意味着v(t)必须是R(t)的零空间向量。R(t)的零空间是唯一的（除了标量倍数），且R(t)的列向量是标准正交基，所以v(t)必须是R(t)的某个列向量的负倍数。因此，不变测地线必须与旋转轴平行。对于SO(3)，不变测地线是直线。4.解:设g(t)是SO(3)上的一个测地线，即g(0)=I,g'(0)=ω₀(一个单位向量)，g''(0)=α(ω₀×ω₀)=0(其中α是常数)。需要证明g(t)是不变测地线。根据不变测地线的定义，g(t)是不变测地线当且仅当g(t)满足τ'(t)=π(g(t))·τ(t)，其中τ(t)是g(t)的测地线标量曲率。由于g(t)∈SO(3)，其速度向量g'(t)是切于SO(3)的，且g'(t)ᵀg(t)=0。求导得g''(t)ᵀg(t)+g'(t)ᵀg'(t)=0=>g''(t)ᵀg(t)=0。这意味着g''(t)垂直于g(t)所在的平面。g(t)是SO(3)上的曲线，其切向量是g'(t)。g''(t)垂直于g(t)所在平面，意味着g''(t)平行于g(t)的旋转轴，即g(t)ᵀg''(t)=0。由于g(t)是正交矩阵，g(t)ᵀ=g(t)⁻¹。所以g(t)⁻¹g''(t)=0=>g''(t)=0。这表明g(t)是一个直线（在SO(3)中，直线是测地线）。现在，由于g(t)是直线，设g(t)=R(t)e，其中e是旋转轴（一个单位向量），R(t)是旋转矩阵。由于g(0)=I，R(0)=I，e是单位向量。我们需要验证τ'(t)=π(g(t))·τ(t)。g(t)的测地线标量曲率τ(t)沿着g(t)的方向，即τ(t)=k(t)e，其中k(t)是标量函数。π(g(t))=π(R(t)e)=e*。π(g(t))·τ(t)=e*·k(t)e=k(t)·e=k(t)。τ'(t)=k'(t)e。因此，要求k'(t)=k(t)。这要求k(t)=Ce^t(C为常数)。这表明g(t)=R(t)e是不变测地线当且仅当它是形如R(t)e的直线，其中R(t)是绕轴e的旋转。但是，任何在SO(3)上的直线g(t)=R(t)e（e是轴，R(t)是绕e的旋转）都满足g(t)ᵀg''(t)=0，从而τ'(t)=0=π(g(t))·τ(t)。因此，任何在SO(3)上的直线都是不变测地线。四、证明题1.证明:设G是一个李群，其Lie代数Ğ是G的Lie对应于其李群覆盖π:Ğ→G的映射。对于Ğ中的元素X，考虑其在覆盖空间G̃中的提升g̃。g̃在G̃中的对数定义为满足exp(X)=g的唯一元素g的对数。由于Ğ是G̃中某个开集内的切空间，且exp是从该开集到G̃的同胚，存在唯一的g满足exp(X)=g。因为π(g)=g̃，且π是覆盖映射，所以g̃的对数在G中的值即为g的对数。即Ğ中的元素X可以表示为-log(π(X))。由于π是满射，X=-log(g)对G中某个g成立。指数映射exp:Ğ→G̃是同胚，所以Ğ中的元素可以唯一地表示为-log(g)，其中g∈G。2.证明:设G是一个群，作用于流形M，且作用是G-等变的，即π(g·p)=g·π(p)对所有g∈G,p∈M成立。需要证明π的像π(M)是一个G-不变子流形。首先，由于π是满射，π(M)=M*。我们需要证明M*是G-不变的，即π(g·p)=g·π(p)对所有g∈G,p∈M成立。这正是G-等变映射的定义。因此，π(M)在G的作用下是G-不变的。即对任意g∈G,π(M)·g=g·π(M)。因此，π的像π(M)是一个G-不变子流形。3.证明:在三维欧氏空间ℝ³中，度量张量g=