2021北京高一（上）期中数学汇编：利用基本不等式求最值

1/12021北京高一（上）期中数学汇编：利用基本不等式求最值一、单选题1．（2021·北京·东直门中学高一期中）已知，函数的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2021·北京市海淀区尚丽外国语学校高一期中）若，则的最小值是（

）A．0 B．2 C．1 D．3．（2021·北京育才学校高一期中）已知，，且，那么的最大值等于A． B． C． D．4．（2021·北京市第一五九中学高一期中）若，则的最小值为A．-1 B．3 C．-3 D．1二、双空题5．（2021·北京市第三中学高一期中）函数的最小值是__________，取得最小值时____________．6．（2021·北京市第五十七中学高一期中）已知，求的最小值______，此时_______.7．（2021·北京市第一二五中学高一期中）已知，则的最小值为__________，此时x的值为_________.三、填空题8．（2021·北京市第四十三中学高一期中）若，则的最小值为________________．9．（2021·北京广渠门中学教育集团高一期中）当时，的最小值是___________.10．（2021·北京市育英中学高一期中）当时，则的最小值为______，当取得最小值时的值为______．11．（2021·北京·中关村中学高一期中）若正数x，y满足，则的最小值为______.12．（2021·北京育才学校高一期中）若，则函数的值域为_________．13．（2021·北京市第九中学高一期中）已知，，，则的最小值为________．14．（2021·北京·景山学校高一期中）函数的最小值是___________.四、解答题15．（2021·北京市第一六一中学高一期中）已知函数．(1)求关于x的不等式的解集；(2)区间的长度定义为．当时，区间．（ⅰ）求区间I的长度；（ⅱ）求I的长度的最大值．16．（2021·北京市海淀区尚丽外国语学校高一期中）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

参考答案1．A【解析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：A2．A【解析】根据基本不等式，积定和最小，凑积为定值，即可求出．【详解】因为，所以，∴，（当且仅当时，等号成立），所以的最小值为．故选：A．3．B【解析】利用基本不等式可求得的最大值.【详解】由基本不等式可得，解得，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.4．A【解析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.详解：，当且仅当时等号成立，故选A.点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.5．

【解析】化简函数，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故答案为：；.6．

【解析】由，利用基本不等式直接求最值即可.【详解】由，且，故，当且仅当，即时等号成立，故答案为：；.7．

【解析】先将变形为，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：；.【点睛】本题考查基本不等式求最小值，是基础题.8．【解析】利用基本不等式求得最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故答案为：9．4【解析】利用换元法，令将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【详解】由，可得.可令，即，则，当且仅当，时，等号成立.故答案为：．10．

7

5【解析】通过函数解析式的配凑，即可利用基本不等式可求解【详解】因为，当时等号成立，此时故最小值为7,当取得最小值时的值为5，故答案为：7,5.11．【解析】根据正数x，y满足，利用“1”的代换，得到，再利用基本不等式求解.【详解】因为正数x，y满足，所以，当且仅当，即，等号成立，所以的最小值为，故答案为：12．【解析】根据基本不等式求函数值域即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时等号成立，所以数的值域为故答案为：13．2【解析】由基本不等关系，求得的最小值.【详解】由题知，，解得，当且仅当，即时，等号成立.则的最小值为2.故答案为：214．【解析】通过凑积为定值，即可求出和的最小值.【详解】解：当时，，当且仅当，即时取等号.故答案为：.15．(1)答案见解析(2)（ⅰ）（ⅱ）【解析】(1)分三种情况讨论，解不等式即可；（2）（1）直接根据区间长度定义求解（ⅱ）根据均值不等式求区间长度的最大值.(1)由，当时，可得，即，当时，，所以解得，当时，，解得.综上，时，；时，；时，(2)（ⅰ）由（1）知时，，所以区间I的长度为；（ⅱ）因为，当且仅当时，即时等号成立，所以I的长度的最大值为.16．（Ⅰ）y=225x+（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的