2025《初中数学》专题突破专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法（含答案及解析）

专题反比例由教

K的八种几何模型及解法

模型介绍

考点1一点一垂线模型

【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成

的三角形面积等于!\k\.

【示例】

°△me~°干°△图:卜：，

q-s+s

°△“HD一边动ECDHT°ZM：E，

•q-s

【例1].如图，已知动点A,8分别在％轴，），轴正半轴匕动点尸在反比例函数），=2（x

>0）图象上，/弭Lr轴，△/%〃是以//为底边的等腰三角形.当点A的横坐标逐渐增

大时，△抬B的面积将会()

B.越来越大

C.不变D.先变大后变小

》变式训练

【变1T].如图，点A、B在反比例函数y上的图象上，过点4、8作x轴的垂线，垂足分

X

别是M、N,射线/W交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMN3的面枳是4,则〃

的值为.

【变1-2].如图，在第一象限内，点P(2,3),M(小2)是双曲线y=­(A#0)上的

233

考点2一点两垂线模型

【模型讲解】

反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|川.

【示例】

【例2】.双曲线与y=2在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于1y轴的直线分

XX

别交双曲线于A、B两点,连接04、OB,则AAOB的面积为()

A变式训练

【变27】.如图，函数)，=■!(A->0)和丫屋(x>0)的图象分别是人和，2.设点P在，2

XX

上，以〃)，轴交人于点4,PB〃x轴交人于点8,的面积为.

kiko.

【变2-2]如图，直线4B〃工轴，分别交反比例函数产」和y—（断＜%）图象于小

xx16

8两点，若SgOB=2,则Q-k\的值为.

【变2-3].如图，在平面直角坐标系中，M为），轴正半轴上一点，过点M的直线/〃x轴,

/分别与反比例函数），=K和），='的图象交于A、B两点，若S4AOB=3,则k的值

XX

考点3两曲一平行模型

模型讲解】

两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点

围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合A的几何意义求解.

类型1两条双曲线的A值符号相同

【示例】

S-w（划归到模型四）二

出I—优I边W”

【例3].如图，四边形CMBC是矩形，四边形AQEr是正方形，点4、。在x轴的负半轴

上，点。在），轴的正半轴上，点尸在AB上，点8、E在反比例函数y=&（左为常数，k

WO）的图象上，正方形ADE尸的面积为16,且8F=2AF,则k值为（)

C.-24D.-36

A变式训练

【变37].若正方形045C的顶点8和正方形AOE/的顶点E都在函数y上（k>0）的

X

图象上.若正方形。48c的面积为1,则我的值为:点E的坐标为

【变3-2].如图，A、8两点在双曲线），=自上，分别经过A、8两点向坐标轴作垂线段,

已知S阴影=1.7,则S1+S2等于

【变3-3].如图，在反比例函数y=2（x>0）的图象上，有点为，P2,P3,P4,…，它们

的横坐标依次为1，2,3,4,….分别过这些点作x轴与），轴的垂线，图中所构成的阴影

部分的面积从左到右依次为Si,S2,S3,…，则S1+S2+S3+…+S〃=.（用〃的代数

式表示，〃为正整数）

考点4两点一垂线模型

【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形

面积等于16,反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等

于坐标轴所分的两个三角形面积之和.

【示例】

【例4].如图，正比例函数），=心与反比例函数y=-图■相交于人，C两点，点人的横坐标

x

为-4,过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接8C,下列结论：①*=-]；②不等式

依y的解集为-4Vx<0或x>4；③△ABC的面积等于16.其中正确的结论个数为

x

()

A.0B.1C.2D.3

》变式训练

【变47】.如图所示，一次函数），=依（4<0）的图象与反比例函数），=-刍的图象交于A,

X

B两点,过点B作BULy轴于点C,连接AC,则△/I8C的面积为.

【变4-2].如图，过点。的直线与反比例函数），=返的图象交于A、B两点,过点A作

x

【变4-3].如图，函数y=x与y=K的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于），轴，垂

x

足为C,连接8C,若S/MBC=3,则k=.

考点5两点两垂线模型

【模型讲解】

反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于

2kl.

示例】

【例5].如图，正比例函数），=丘与反比例函数y=的图象交于A,C两点，过点A作

x

轴于点过点C作C7）J_x轴于点。，则△AB。的面积为.

》变式训练

【变57].如图，一次函数），=日与反比例函数y』上的图象交于A,C两点，48〃3，轴,

x

8C〃x轴，若△A8C的面积为4,则*=.

y

【变5-2].如图，正比例函数），="（女＞0）与反比例函数），=」的图象交于A,C两点，

x

过点人作x轴的垂线，交大轴于点8,过点。作x轴的垂线，交x轴于点。，连接八。,

BC,则四边形ABCZ）的面积为.

【变5-3]如图，直线分别与反比例函数），=-2和y=3的图象交于点人和点儿与y轴

XX

交于点尸，且P为线段AB的中点，作轴于点C,轴交于点。，则四边形

ABCD的面积是.

考点6反比例函数上两点和外一点模型

【模型讲解】

反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用

减法.

【示例】

方法一：S^AOB=S^COD-S.\AOC-S&BOD.

方法二：作4E_Lx轴于点E,交。8于点M,B以Lx轴于点尸，贝ijSc°w=S内边形MWS（划归

到模型一），则SaA08=S式珀怫肪AEFB・

方法二:作EML：轴于M,则以O£F=S二角梯形EM"（划归到上一个模型示例）.

【例6].如图，一次函数），=依+》的图象与反比例函数尸K的图象交于A,B两点,则S

△AOB=()

「

13D.6

2

》变式训练

【变67].如图,直线AB经过原点。，且交反比例函数yi•的图象于点B,4,点C在X

X

12,则女的值为（）

C.-6D.6

【变6-2].如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K与直线y=Zx交于48,x轴

x3

的正半轴上有一点C使得NACB=90°,若△OCO的面积为25,则A的值为.

【变6-3].如图，正比例函数y=-当与反比例函数y=K的图象交于43两点，点C

3x

在X轴上，连接AC,BC.若NACB=90°,△ABC的面积为10,则该反比例函数的解

析式是.

考点7反比例函数上两点和原点模型

【模型讲解】

反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两个分支上,

用加法.

【示例】

方法一：S^AOB=gOD•1x8-I=y0C-I)%一泗.

方法二：S^AOB=S^oc4-5AOCD4-S^OBD.

方法三：作轴于点E,8凡Lx轴于点E延长与4尸相交于点M则

S^OB=SAABN-S少OE—SdOBF—S更形OENF.

【例7].如图，直线A8交双曲线y工于A、B,交x轴于点C,3为线段AC的中点，过

X

点B作8MLx•轴于M,连接0A.若0M=2MC,S^OAC=\2.则k的值为

》变式训练

【变7-1].如图，在以。为原点的直角坐标系中，矩形。人BC的两边OC、Q4分别在x轴、

)，轴的正半轴上，反比例函数丫=区(x>0)与48相交于点D,与AC相交于点E,若

x

BD=3A。，且四边形。。8£的面积为21,则％=

【变7-2].如图，点A(3,4),B(3,m)是直线AB与反比例函数y上(x〉o)图象

2x

的两个交点，AC_Lx轴，垂足为点C,已知0(0,1),连接AO,BD,BC.

(1)求反比例函数和直线A8的解析式；

(2)/XABC和△AB。的面积分别为Si,S2,求S2-S1.

考点8两双曲线k值符号不同模型

模型讲解】

两条双曲线上的两点的连线与一条(或两条)坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点

围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合A的儿何意义求解.

类型1两条双曲线的左值符号相同

【示例】

y

CB

0〃A

S短舒OABC=IA]I，

S短彩ODEC二出।

V

=yli.l-yli2l

V

贝“S阴影二S矩形（M8C一S矩形〃"

◎S△〃-S=

"°^OAES四边w（划归到模型四）二

\k}I-\k2\

%I-I4、2I-S四边形AE

【例8].如图，在平面直角坐标系中，函数），=去与y=q■的图象交于A、8两点，过A作

），轴的垂线，交函数的图象于点C,连接3C,则△A4C的面枳为（）

y

C.5D.6

下变式训练

【变87].如图，过x轴正半轴上的任意一点P,作)，轴的平行线，分别与反比例函数y=

2(x>0)和)，=一2(x>0)的图象交于8、A两点.若点C是)，轴上任意一点，则4

9

A.3B.6C.9D.—

【变8-2].如图，点4和点4分别是反比例函数,，=必(x>0)和)，=[(Q0)的图象上

XX

的点，A8_Lx轴，点C为y轴上一点，若SAA8C=2,则〃l〃的值为.

1.如图，R（A4BC的顶点A在双曲线），=区的图象上，直角边BC在不轴上，NABC=%°,

x

ZACB=30°,0C=4,连接OA,N4O8=60°,则k的值是（）

C.2V3D.-2V3

2.如图，平行四边形OABC的顶点B,。在第一象限，点4的坐标为（3,0）,点£>为边

4B的中点，反比例函数），=K（x>0）的图象经过C,。两点，若/COA=a,则%的值

C.4tanaD.2tana

3.如图，在直角坐标系.中，点A,B分别在x轴和y轴，-5|=-|.NAOB的角平分线

与的垂直平分线交于点C,与AB交于点Z）,反比例函数y=K的图象过点C.当以

x

CO为边的正方形的面积为半时，A的值是（）

C.5D.7

4.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数），=2的图象上，第二象限内的点8在反比

例函数），=生的图象上，且。4_LOB,cosA=—，则k的值为（）

3

-4C.-73D.-2V3

5.如图，反比例函数产四（x<0）的图象经过点A（-1,1）,过点A作A4J_y轴，垂足

为B,在），轴的正半轴上取一点。（0,/）,过点夕作直线CM的垂线/,以直线/为对称

轴，点8经轴对称变换得到的点"在此反比例函数的图象上，则/的值是（）

6.如图，菱形OABC的顶点B在），轴上，顶点C的坐标为（-3,2）,若反比例函数），=区

x

（x>0）的图象经过点A,则Z的值为（）

2

A.-6B.-3C.3D.6

7.如图，直线尸工x与双曲线产K（Q。，x>0）交于点A,将直线产工x向上平移4

2x2

个单位长度后，与），轴交于点C,与双曲线），=上（攵>0,x>0）交于点从若0A=3BC,

则左的值为（）

A.3B.6C.—D.9

42

8.如图，己知四边形"CO是平行四边形，BC=2AB.A,4两点的坐标分别是（-1,0）,

（0,2）,C,。两点在反比例函数y=区（k<0）的图象上，则人等于.

9.如图，点E,尸在函数产区（x>0）的图象上，直线E/分别与x轴、），轴交于点A,B,

x

且BE：BF=\zm.过点E作EP±y轴于P,已知△OEP的面积为1,则攵值是,

△OK/7的面积是（用含m的式子表示）

10.如图，在Rtz^CMA中，OA=4,4B=5,点。在O人上，AC=\,OP的圆心P在线段

BC上,且OP与边4B,4。都相切.若反比例函数y=K（女#0）的图象经过圆心P,

x

11.如图，0ABe是平行四边形，对角线03在轴正半轴上，位于第一象限的点4和第二象

k1k

限的点C分别在双曲线＞，=」和,，='"9的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足

xx

分别为M和M则有以下的结论：

AirIki|-I

L

®^=-r-r;②阴影部分面枳是」（ki+k2）；③当NAOC=90"时，刈=|初;

CN|k2|2

④若。44C是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于），轴对称.

其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）.

12.如图，在平面直角坐标系中，已知直线/：y=-x-1,双曲线），=2，在/上取一

点4,过Ai作x轴的垂线交双曲线于点以，过加作），轴的垂线交/于点A2,请继续操

作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点及，过及作），轴的垂线交/于点A3,…，

这样依次得到/上的点A】,A2,A3,…，4,…记点A〃的横坐标为若。1=2,则42

=，42013=；若要将上述操作无限次地进行下去，则m不可能取的值

是.

13.如图，一次函数的图象与反比例函数)，=工(x>0)的图象交于点4(m3),

2x

与)，轴交于点B.

(1)求〃，k的值：

(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点。，AC=A。，连接

CB.

①求△A8C的面积；

②点P在反比例函数的图象上，点。在x轴上，若以点4,B,P,。为顶点的四边形是

平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标.

14.在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于人(5,0)，8(0,,)

两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P,K两点，连接OP,△04。

的面积为9.

4

(1)求一次函数与反比例函数的解析式.

(2)当户>>”时，求x的取值范围.

(3)若C为线段04上的一个动点，当PC+KC最小时，求△尸KC的面积.

15.如图，一次函数？=.计1与反比例函数)，=区的图象相交于A(m,2),B两点,分别连

x

接。4,OB.

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)求△AO8的面积；

(3)在平面内是否存在一点P,使以点0,B,A,尸为顶点的四边形为平行四边形？若

存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

16.已知4(3,0)、B(0,4)是平面直角坐标系中两点，连接43.

(1)如图①，点P在线段/1B上，以点。为圆心的园与两条坐标轴都相切，求过点P的

反比例函数表达式；

(2)如图②，点N是线段08上一点，连接AN,将AAON沿AN翻折，使得点。与线

段上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式.

①

②

4x2(-1<x<0)

17.小华同学学习函数知识后，对函数y14,3、通过列表、描点、连线,

T(x4-1或x>0)

画出了如图1所示的仔象.

X•••-4-3-2-1,31101234

424

y•••14249110-4-2-4-1

3443

请根据图象解答：

(1)【观察发现】

①写出函数的两条性质：___________________________

②若函数图象上的两点(xi,>,i),(x2,y2)满足xi+x2=(),则yi+.y2=0一定成立

吗？.(填“一定”或“不一定”)

(2)【延伸探究】如图2,将过A(-1,4),8(4,-I)两点的直线向下平移〃个单位

长度后，得到宜线/与函数)，=-?(x<-1)的图象交于点P,连接以，PB.

①求当〃=3时,直线/的解析式和△以B的面积；

②直接用含〃的代数式表示△附B的面积.

图1图2

专题反比例由教

K的八种几何模型及解法

模型介绍

考点1一点一垂线模型

【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成

的三角形面积等于!\k\.

【示例】

°△me~°干°△图:卜：，

q-s+s

°△“HD一边动ECDHT°ZM：E，

•q-s

【例1].如图，已知动点A,8分别在％轴，），轴正半轴匕动点尸在反比例函数），=2（x

>0）图象上，/弭Lr轴，△/%〃是以//为底边的等腰三角形.当点A的横坐标逐渐增

大时，△抬B的面积将会（）

A.越来越小B.越来越大

C.不变D.先变大后变小

解：如图，过点8作8C_L以于点C,

则BC=OA,

设点P（x,—）＞

X

贝|JS△附8=2%・4C=工•巨■・x=3,

22x

当点A的横坐标逐渐增大时，△以6的面积将会不变，始终等于3,

故选：C.

下变式训练

【变17].如图，点A、B在反比例函数y上的图象上，过点A、8作x轴的垂线，垂足分

x

别是M、N,射线相交工轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMN5的面积是4,则4

•・•点A、8在反比例函数y=三的图象上，AM10C.BN10C,

：,AM=—,BN=之

a2a

•:S^AOC=SMOM+S四边形AMNB+SmNC,

.・.・Lx3axK=-工k+4・2XaX上，

2a222a

解得上=・皿，

3

故答案为：■凶.

3

[变1-2].如图，在第一象限内，点P(2,3),M(%2)是双曲线)，=K(丘0)上的

解：把尸(2,3),M52)代入)，=K得&=2X3=2〃，解得攵=6,〃=3,

x

设直线0M的解析式为y=mx,

把M(3,2)代入得3加=2,解得〃?=2,

3

所以直线0M的解析式为)，=m，当x=2时，y=-1x2=-^,

所以C点坐标为(2,4),

3

1AA

所以△O4C的面积=3X2XM=3.

233

故选：B.

考点2一点两垂线模型

【模型讲解】

反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于I川.

【示例】

【例2】.双曲线与y二互在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于），轴的直线分

XX

别交双曲线于A、B两点,连接OA、0B,则△A08的面积为（）

解：设直线与x轴交于点C.

•・・A6〃y$h,

••・AC_Lx轴，3C_Lx轴.

•••点A在双曲线），=也的图象上,

x

•••△40。的面积=」X10=5.

2

•••点B在双曲线），=旦的图象上，

:ZOB的面积=2X6=3.

2

:•△AOB的面积=4A0C的面积-△COB的面积=5-3=2.

故选：B.

上，出〃y轴交/1于点4,PB〃x轴交八于点B,的面积为—孩

：.BP=x~—=—x,

44xxx

11239

：•S.\ABP=yBP*AP=y*-x»-»

故答案为:]

【变2-2].如图，直线A3公轴，分刑交反比例函数尸」k■和y，k_(k1<kQ图象于人、

YY1/

B两点,若SMOB=2,则4-%的值为4

,**SA4O3=2,

：.—cd-—ab=2,

22

••cd-ab=4,

:・ki-21=4,

故答案为：4.

【变2-3].如图，在平面直角坐标系中，M为），轴正半轴上一点，过点M的直线/〃x轴,

/分别与反比例函数产K和丁=且的图象交于A、8两点，若S»OB=3,则k的值为-

・・・4MJ_），轴，BMJ_），轴，

，S"OM=2|&|,S^BOM=—X4—2>

22

*»*SZJU4OB=3,

：•S/^OM=1,

:・k=-2,

故答案为：-2.

考点3两曲一平行模型

模型讲解】

两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点

围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合人的几何意义求解.

类型1两条双曲线的左值符号相同

过点。作轴于点/

s用我二*妲

贝“5相册=5短彩。we-S悻*$OFDC-

S&OCD-SdOAE:

（划归到模型四）=

1^,1-1^,1

I%I-1及I-S■边w”

【例3].如图，四边形0A3C是矩形，四边形厂是正方形，点A、。在x轴的负半轴

上，点。在），轴的正半轴上，点F在AB上，点、B、E在反比例函数_y=K（A为常数，A

*0）的图象上，正方形4DEF的面积为16,RF=?AF,则〃值为（)

_36

解：设A(x,0).

:正方形ADEP的面积为16,

厂的边长为4,

：.E(x-4,4),

yBF=2AF,

ABF=2X4=8,

:.B(x,12).

•・•点8、E在反比例函数丁=区(々为常数，kWO)的图象上,

x

.•.4(x-4)=\2x,

解得x=-2,

：,B(-2,12),

:・k=-2X12=-24,

[变3-1].若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y4(k>0)的

(返+』,返

图象匕若正方形OABC的面积为1,则攵的值为1:点E的坐标为.

-2-2-2

解：•・•正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形

Q48C的边长为1.

点坐标为：（1,1）,

设反比例函数的解析式为），=2：

X

xy=k=1,

设正方形4QE/的边长为〃，则E（l+a,a）.

代入反比例函数），=2（X>0）得：1=（1+«）4,又4>0,

解得：a=^L-l.

22

・••点E的坐标为：（亚•+2，返-2）.

2222

【变3-2].如图，A、3两点在双曲线），=自上，分别经过A、3两点向坐标轴作垂线段,

x

解：如图,

S四边形八£0F=4,S四月形月。。。=4,

；・S1+S2=S四边形八KOF+S双边形B/5OC-2XS阴影,

・・・SI+S2=8-3.4=4.6

故答案为：46

【变3-3］如图，在反比例函数y=2（X>O）的图象上，有点P,P2,尸3,〃4,…，它们

X

的横坐标依次为1，2,3,4,….分别过这些点作式轴与），轴的垂线，图中所构成的阴

影部分的面积从左到右依次为Si,52,S3,…，则S1+S2+S3+…+5〃=电•.（用〃的

-n+L

代数式表示，〃为正整数）

解：当x=l时，P的纵坐标为2,

当X=2时，P2的纵坐标I,

当X=3时，尸3的纵坐标2,

3

当x=4时，尸4的纵坐标2，

2

当X=5时，P5的纵坐标2,

5

则Si=ix(2-1)=2-1；

S2=1X（1-—）=i-2；

33

S3=1X21.22

3234

S4=1X（12）―22

2545

q—22

nn+1

SI+S2+S3+..・+S〃=2-i+i-2+2-2+2-2+・・・+2--^.=2-

33445nn+1n+1n+1

故答案为：包.

n+1

考点4两点一垂线模型

【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形

面积等于心1，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴，任一点构成三角形的面积，等

于坐标轴所分的两个三角形面积之和.

【示例】

【例4].如图，正比例函数y=依与反比例函数y=・3相交于A,。两点，点A的横坐标

为-4,过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接8C,下列结论：①%=-工；②不等式

2

kx<-其的解集为-4<x<0或x>4；③AABC的面积等于16.其中正确的结论个数为

・••点A坐标为（-4,2）,

将（-4,2）代入），=打得2=-4七

解得k=W

・••①正确.

由反比例函数及正比例函数的对称性可得点C坐标为（4,-2）,

，当-4VxV0或4>4时，^v<,

X

・••②正确.

S^AOC=S^OB+S^BOC=—OH*yA+—OI^（->'C）=—B0（yA-yc）=—X4X（2+2）

乙乙乙乙

=8,

・••③错误.

故选：C.

》变式训练

【变47】.如图所示，一次函数），=依《<0）的图象与反比例函数），=-刍的图象交于4,

X

B两点,过点B作BCLy轴于点C,连接4C,则△八BC的面积为4.

解：・・・8C_L），轴于点C,

—I-4|-2»

2

•・•正比例函数），=依a>o）与反比例函数），=-9■的图象均关于原点对称,

X

・•・04=08,

S^AOC=S&COB=2>

S&ABC=Si\AOI$+S△BO^u2+2—45

故答案为:4.

【变4-2］如图，过点。的直线与反比例函数），=返的图象交于A、8两点，过点A作

X

AC_Lx轴于点C,连接8C,则△A8C的面积为

解：二•点A反比例函数y=Y2的图象上，过点A作AC±x轴于点C,

x

A5MOC=—|^|=—,

22

•・•过点。的直线与反比例函数），=亚的图象交于A、B两点,

x

・・・0A=0B,

V2

•'•S^BOC=S^AOC=--

2

SMBC=2SMCo=y[2，

故答案为：V2-

【变4-3].如图，函数y=x与y=三的图象交于A、B两点，过点A作4c垂直于.y轴，垂

足为C,连接4C,若SA48C=3,则k=3

解：设A(a,a)(«>0),

•:函数>'=x与y=K的图象的中心对称性，

x

a,-a),

1

••S/\ABC~^~*Cl*2,(1—(I9=3,

2

；・A(«，V3)>

把4(«，V3)代入)=乜得火=«xV§=3.

X

故答案为：3.

考点5两点两垂线模型

【模型讲解】

反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等广

2闻.

示例】

【例5].如图，正比例函数y="与反比例函数＞=的图象交于4,C两点，过点4作

x

4B_Lx轴于点B,过点C作COLx•轴于点D,则△ABD的面积为4.

解：•・•点A在反比例函数），=-刍上，且4乩Lx轴，

X

•S一」-4|

•,SAAB0-2

•••A,C是反比例函数与正比例函数的交点，且COlx轴，

••・。是8。的中点，

S^ABD=2s4AB0=4.

故答案为：4.

》变式训练

【变57].如图，一次函数｝，=左1与反比例函数y=K上的图象交于A,C两点，，轴,

解：设48交1轴于点

由反比例函数系数的几何意义可得SMDO的面积为」豆，

2

由函数的对称性可得点。为AC中点，即DO为△ABC中位线,

.SAADO_1

••~———9

SAABC4

:.S^ABC=4S^ADO=2\k\=4.

**•k="2.

故答案为：-2.

【变5-2].如图，正比例函数），=丘（&>0）与反比例函数），=」•的图象交于A,C两点，

x

过点A作不轴的垂线，交x轴于点8,过点C作x轴的垂线，交x轴于点。，连接AQ,

RC,则四边形A及。）的面枳为2.

・・・A、C关于原点对称，

•.•CQ_Lx轴，轴,

：.OA=OC,OB=OD,

S^AOB=S^BOC=S^DOC=SMOD,

乂•・•4点在反比例函数），=上的图象上，

X

===

*,•S/^OHS/\BOCS/\DOC5ZXA（）/>^-x1=—,

22

=

:.S四边形ABCD=4s4X-^-=2,

乙

故答案为:2.

【变5-3].如图，直线分别与反比例函数），--2和y—3的图象交于点A和点8,与），轴

XX

交于点P,且尸为线段AB的中点，作ACJ_x轴于点C,轴交于点。，则四边形

ABCD的面积是5.

解：过点4作Ar_Ly轴，垂足于点F：过点3作8£Ly轴，垂足为点£.

•・•点P是48中点.

：.PA=PB.

又,：4APF=/BPE,/AFP=NBEP=90°,

・•・△API&ABPE.

；・S&APF=SdBPE.

，S四动形48c2)=S四边形4co”+s四边形EO/M=|-2|+|3|=5.

故答案为：5.

考点6反比例函数上两点和外一点模型

【模型讲解】

反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用

减法.

方法二：作AE_Lx轴于点日交0B于点M,B£Lx轴于点尺则SZ^M=S四边形.阳（划归

到模型一），则S,MO8=Sr用梯影AEFB.

方法二：作EM_Lx轴于M,则5小0杼=5立卅悌形EMI尸（划归到上一个模型示例）.

【例6].如图，一次函数），=»+%的图象与反比例函数_y=K的图象交于A,B两点，则5

MOB=()

解：把人(-4,1)代入)，=K的得：k=-4,

x

・••反比例函数的解析式是y=-刍，

x

,：B(1,m)代入反比例函数y=-'得：，〃=-4,

x

・・・B的坐标是(1,-4),

把4、8的坐标代入一次函数得：(4a+bT,

Ia+b=~4

解得：a=-1,b=-3,

・•・一次函数的解析式是)，=・x・3；

把x=0代入一次函数的解析式是)，=-戈-3得：y=-3,

：.D(0,-3),

S^\AOH=SAOD+S/\BOl)=—x3义(1+4)=H.

22

【变67].如图，直线A8经过原点O,且交反比例函数y上的图象于点4,A,点C在x

X

轴上，且BC[BA.若&BCA=12,则上的值为()

cx

A.12B.-12C.-6D.6

解：作AQ_Lx轴于。，轴于E,

•・•点4、B在反比例函数y±的图象上，直线AB经过原点,

X

：.OA=OB=^-AB,

2

7BC-yBA-S^BCA=\2,

：.OB=BC,S^BCO~—"Szij?CA=6>

2

，：BELOC,

：.OE=C