【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升（华东师大版）专题05 轴对称、平移、旋转（解析版讲义）

专题05轴对称、平移、旋转

国

沿7条行笠齐登、

TH形色境—台

定义对麻林沿事听般的直线

I对称点对折后■台的点

境点转动一个用度平面阴彩」转沿一条且蛾折入

*朝Wj个G——X

望看旋转的点旄转中心!合

茂义经迎蛀四中点与找坦显惠的东线

EW三要素

性技空2［平分网上的点到a2曲酬他离相净

转动的用旄转角■此脸到线及百个徜总乐虎用等的总行。♦平分线上

一对对成点

两个阳彩中心对稀珈对环对理点

金山平分优

兜宴向0680*tra

屿自身■合一«彩中心神8n影关犍点

庭转前.后相彩金等国对称的更形

对应点到会转中心值阍相第

国转

对应点八C-y)

所谀回的迪—--—------突前」废林角

与生标系关于X帕时梆

,—废•中U性质

及过血中心对林a4麻天力湘苏杯

过冰点连线

口诀与港对怀遵不变

被。的中心平分中心对称

68W

，例称、平移.法转定义图先沿西线移动

电专机>建转方向虎秫角<>21

大小

关城点❷扰平移

—1_形状

■接关一启W-转中心。Ats»

方向

不对应点显裤方向与徒怯角（S怙。便四要素

---------距湎

对血点❷连

作倒

关也点与丽点连点

•形状相两

66无全小合的图形

gKtSfgegK大小和罚

金芬附

对标点-对稀a力中C时稼

记录相等0取点斫叩金

关9点对华2H》

BB彩的全雪将先对应展

对弥点。评点!对庙边

______p(X,y)点坐标:对应用

全*二■班

网溺存弓祖反马5_对好中心与生口祭

对应边相等

P5M时林点坐既tl喷

对应彻胸

回回善回

知识点L轴对称

轴对称与轴对称图形

轴对称轴对称图形

图形

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能如果一个平面图形沿i条直线折叠，直线两旁的

定义够与另一个图形重合，那么就说这两个图形部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称

关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.图形.这条直线就是它的对称轴.

1）轴对称是指两个图形折叠重合.1）轴对称图形是指本身折叠重合.

区别2）轴对称对称点在两个图形上.2）轴对称图形对称点在一个图形上.

3）轴对称只有一条对称轴.3）轴对称图形至少有一条对称轴.

1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合.

联系2）如果把轴对称的两个图形看成•个整体，那么它就是•个轴对称图形；反过来，如果把轴对称

图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两人图形就关于这条直线成轴对苻.

性质1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.

2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.

判定1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对•称.

2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.

做轴对称图形的一般步骤；

1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：

①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；

②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称

点.

2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：

①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）

②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点

③连.按原图对应连接各对称点

知识点2：平移

平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移.平移不

改变图形的形状和大小.

平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离.

平移的性质：

1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.

2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.

3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.

作图步骤：

1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；

2）找出原图形的关键点；

3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点：

4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形.

知识点3：旋转

定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转过一个角度，这样的图形运动叫旋

转.这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角.

三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

性质：

1）对应点到旋转中心的距离相等；

2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

3）旋转前后的图形全等.

作图步骤：

1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；

2）找出原图形的关键点；

3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；

4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形.

中心对称与中心对称图形：

中心对称中心对称图形

X

图形4vzsc

BCB(

如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自

如果一个图形绕某点旋转180。后与另一个图

定义身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，

形重合，我们就把这两个羽形叫做成中心对称.

这个点叫做它的对称中心.

区别中心对称是指两个图形的关系中心对称图形是指具有某种特性的一个图形

两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”

联系就是中心对称图形：反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这

“两个图形”中心对称.

中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分;

2）中心对称的两个图形是全等图形.

作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤：

1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点一一连接关键点和对称中心，并

延长一倍确定关键点的对称点.

2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图

形.

找对称中心的方法和步歌;

方法1:连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.

方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.

知识点4：图形的全等

全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.

特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.

全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做

对应角.

表示方法：全等用符号“名”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置

上.

全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.

全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.

2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.

3）全等三角形的周长相等、面积相等.

＞题型归纳

【题型1利用轴对称的性质求解】

1.（22-23七年级下•山西临汾・期末）如图，在A8C中，将△46沿直线MN折叠，使点。与点3重合,

连接BM.

⑴若NA=80。，ZC=40°,求44M的度数；

⑵若A8=5,AC=8,求二A8W的周长.

【答案】（l）NA8M=20。.

⑵13

【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关

键.

（1）先由三角形的内角和定理求得再根据折叠的性质，得到ZMBN=/C=4O°,从而即可求解.

（2）根据折叠的性质，得到=进而计算周长即可.

【详解】（I）解：VZ4+ZC+ZABC-1800,N4-8O。，NC-4O。.

，ZABC=180°-80°-40°=60°.

由折叠可知，NMBN=NC=4()。.

*//ABC=ZABM+/MBN,

・••ABM=ZABC-ZMBN=60"-40°=20°.

(2)解：rh折叠可知，M8=MC.

・•・一ABM的周长=AB+AM+8M=AB+AM+CM=A8+AC=5+8=13.

2.(22-23七年级下•浙江温州•阶段练习)如图，将一长方形纸片ABC。沿着石厂折叠，CE交■于点G,

H为BE上一点、,连结G〃，4CGH=4UFE.

⑴请说明〃瓦1的理由；

（2）若N/7E4=a,求NHGE的度数.（用含a的代数式表示）

【答案】（1）证明见解析

（2）90。-]

【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的判定与性质，列代数式，根据题目的已知条件并结

合图形进行分析是解题的关键.

（I）根据长方形的性质可得力从而可得力/〃。'从然后利用平行ZQ的性质可得//7E4=/CV7A.从

而利用等式的性质可得NAG”=4在，最后利用平行线的判定即可解答；

（2）先利用平行线的性质可得〃用="GE=a,ZAFE=NFEC,再利用折叠的性质可得NFEC=NF£G,

然后利用等量代换以及三角形内角和定理可得4在=/产田=90°-；。，最后利用平行线的性质可得

NHGE=NFEG=9（r-;a,即可解答.

【详解】（1）证明：•「四边形ABC。是长方形，

:.D卜〃CB,

:.iyF//CE,

:.ZryFA=ZCGA,

ZC'GH=4DFE,

Z.CGH-Z.CGA=力FE-ZD'FA,

：.ZAGH=ZAFE,

..GH//FE-

(2)iyF//CE,ZE/FA=a,

:.ZiyFA=/FGE=a,

AF〃BC,

：.ZAFE=AFEC,

由折叠得：/FEC=4FEG,

/.ZAFE=NFEG=-(180°-ZFGE)=\=90°-耳a,

GH//EF,

/.ZHGE=ZFEG=9O°--a,

2

..々GE的度数为90。-ga.

3.(22-23七年级下•陕西咸阳•阶段练习)如图，在4A8c中，ZC4/?=36°,N8=48。，点石分别是线

段A4和线段BC上的点，连接A£,aACE和"关于AE所在直线对称，连接。。交人£于点凡求NCOE

的度数.

【答案】24。

【分析】本题考查了对称的性质、三角形的外角定理等知识，根据对称有AC=4),EC=ED,从而

/ACD=/ADC,/ECD=/CDF..“J先求出/CTM的度数，然后根据外角/。。4=/8+/"7?,进而求出

NDCE的度数，从而求解.

【详解】解：LACE和..AQE关于更线AE对称，

AAC=AD,EC=ED,

/.ZACD=ZADC,NECD=NCDE.

•・•ZC4B=36°,

・•・ZACD=NADC=1(180°-ZCAB)=72°.

又；ZB=48°

・•・ZACB=180°-ZG4^-ZB=96°

・•・ZCDE=NECD=ZACB-ZACD=24°

【题型2将军饮马问题】

将军饮马模型

将军坎马司题概述：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地军士r巡视，应该怎样走才能使路程最短？

原理问题模型最值原理问题模型最值

求线

基

变线段垂直平

段差

本

式分线上的点在直线I上求一点P,

的最

模

六到线段两端求PA-PB的最小值

小值

型

距离相等

在直线Lt求一点M,求

AM+BM的用小值

变

变

式

式

求

一AB

七

线

段

段

线

点

两

和

差的三角形两边在直线L±求一点P,

间

之

最大

的之差小于第求PA-PB的晶大值

段

线

便直

最

短

最

变

变

小在直线AB和BC上分别

式

式

值取一点M、N,求4

二

八AB'

PMN周长的最小值

（一动两定）

线段在克线可

变

变MNI

在直线AB和BC上分别

移动,当MN移动到

式

式取一点M、N,求四边AB+

什么位置时，求

九

三形PQNM周长的最小

AM+MN+NB最小MN

值（两动两定）

值

平移平行四边形

的性质+两

类最

点之间线段

小值

最短

变

变

求在直线AB和BC上分别A,B是河两侧的定

式

式AB+

线取一点M、N,求点，怎样造桥,可

十

四

段MN

PM+PN的最小值以让总路程最短

和

垂线

的

段最

最

知

小

变在直线和上分别

值ABBC

式取一点M、N.求

五PM+PN的最小值（一

定两动）

4.（22-23七年级下•山东青岛•期末）探究（一）

如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和止庄B向山外运农产品，免费车只能在公路/

上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？

请通过尺规作图表达你的观点.

A•A•

RR

图①图②

探究（二）

如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄4向山外运农产品，免费车只能在公路/

上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你

的观点；也可以文字叙述你的做法.

探究（三）

如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和止庄B向山外运农产品，免费车只能在公路/

上行驶，你认为停在哪里，|必-PB|最大？

请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法.

图③

拓展应用

如图④，中，ZC=90°,ZZMC=60°,BC=6,E是A3的中点，P是BC边上的一动点，则小+P£

的最小值为:

【答案】探究（一）：见解析；探究（二）：见解析；探究（三）：见解析；拓展应用：6

【分析】探究（-）：作线段A3的垂直平分线与直线/的交点即为所求；

探究（二）：作点八关于直线/的对称点N.连接A0交直线/于。.点。即为所求：

探索（三）：延长B4交直线/于P,点户即为所求；

拓展应用：如图所示，作点A关/直线BC的对称点R连接E广交BC于G,连接P广，则当尺P、E三点

共线时夕b+依最小，即也+PA,此时最小值为E/L点P与点G重合，根据含30度角的比角三角形的

性质得至|JA8=2AC,进而证明&△E4E,得到防=8C=6,则2E+Q4的最小值为6.

【详解】解：探究（一）：如图所示，线段A8的垂直平分线与直线,的交点。即为所求；

I

!图①

乂

探究（二）：如图所示，作点人关于直线/的对称点4,连接44交直线/于Q,点Q即为所求;

图②

探索（二〉：如图所示，延长期交直线/于九点P即为所求;

在直线/上任取一点不与点P重合的点P-

■:FA-PB<AB,PB—PAvAB,

,,

：t\PA-PB\<AB,

又•・・|E4-P网=48,

，当点P与点夕重合时，|巴4-"网=4A,

・•・直线I上任意一点P一定满足|丛-尸到<AB,

，点夕即为所求；

pP'

图③

拓展应用：如图所示，作点A关于直线BC的对称点凡连接EF交BC于G,连接尸产，

:.24二尸产，

,PE+PA=PF+PE,

••・当/、P、E三点共线时尸尸+尸£最小，即正+Q4,此时最小值为m，点〃与点G重合

*/A8c中，ZC=90°,Z/MC=60°,

:.N8=30°,

：./IB=2AC,

IE是48的中点，AC=CF,

：.AF=2AC=AB,AE=-AB=AC,

2

又,：ZBAC=4FAE,

：.△R48△必石(SAS),

，EF=BC=6,

:.PE+PA的最小值为6,

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性

质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，利用轴对称的性质去构造最短路径的情形是解题

的关键.

5.（22-23七年级下•甘肃酒泉•期末）小河的同旁有甲、乙两个村庄（如图），现计划在河岸A3上建一个

水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题.

•乙•乙

甲・甲・

A-------------BA-------------B

⑴如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸A8上的何处？

（2）如果要求建造水泵站到甲乙两村庄距离最近，水泵站M又应建在河岸八A上的何处？

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（I）连接甲、乙两点，作线段的垂直平分线，与A8的交点即为点

（2）作甲（或乙）关于A8的对称点，连接对称点和另一点，与48的交点即为点P.

【详解】（1）解：如图①，点M即为所求；

连接NP,根据对称性可知，NP=CP、

：.NP+KP=CP+KP,

•・•两点之间线段最短，

・••此时NP+KP最短，即建造水泵站到甲乙两村庄距离最近.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质和

两点之间线段最短.

6.（21-22八年级上•福建宁德•阶段练习）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P/（制，p）,P2（x2,

”），其两点间的距离尸/夕2=-+（X-乃尸

问题解决：己知A<1,4）,13<7,2）

⑴试求A,8两点的距离；

⑵在x轴上找一点。（不求坐标，画出图形即可），使%+P8的长度最短，求%+PB的最短长度.

【答案】（1）2标

（2）P点作图见解析，R1+P8的最短长度为6近

【分析】（1）根据点人和点8的坐标，直接运用公式，从而求得结果；（2）作点A关于点x轴的对称点A"

连接&B,求得4B的长，从而得出结果.

【详解】（1）解：:A（1,4）,B（7,2）

"8=J（l-7>+（4-2）2=2厢;

（2）如图，

作点A关于x轴的对称点A，（1，-4）,连接AB,交x轴于点P,

则阴+P8的最小值是A2的长，

■:AfB=J（l-7>+（-4-2>=6垃,

・・・M+PB的最小值=60.

【点睛】本题考查了通过阅读使用坐标系中两点之间的距离公式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键

是熟练掌握“将军饮马”等模型.

7.（23-24八年级上•河南商丘・期末）如图I,在Rt/\ABC中Z4CB=90°,NA=30。，AB=6,平分NACB,

交边AB于点、D，点E为边AC上的一个动点,连接。£1.

cc

(2)芥△CEO是以CD为腰的等腰三角形，求ZCDE的度数：

(3)如图2,点尸是的中点，点Q在线段CD上，连接尸。、EQ,直接写出「。十七。最小时CE的长.

【答案】(1)3

(2)90。或67.5。

(3)1.5

【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的最值等知识，熟练掌握相关知识是

解题的关键.

(1)由勾股定理求出BC,根据轴对称的性质即可得出答案；

(2)分类讨论等腰三角形的腰和底，根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解：

(3)作七点关于C。的对称点，对线段进行转化，从而根据垂线段最短、两点之间线段最短确定点的位置,

从而可求解.

【详解】(I)解：在中NAC8=90。，ZA=30°,AB=6

则BC=3

CO是四边形8CEO的对称轴

:.CE=BC=3.

(2)当CO=CE时，4CED=NCDE

Z4CB=90°,CO平分NAC8

:.NECD=45。

ZCED+ZCDE+ZECD=180°

AZCDE=67.5°

当CZ)=OE时，NCED=NECD=45。

\2CDE90?

综上所述ZCDE=90。或NCDE=67.5°.

(3)在8上截取B=CE,连接£/、QF

CF=CE,CD^^^ACB

.,.CO垂直平分"'

:.EQ=FQ

;.PQ+EQ=PQ+FQ

-PQ+FQ>PF

.•.PQ+FQ=PF，且'的值最小时，PQ+A2的值最小，此时PQ+EQ的值最小则当炉J.5C,且点。在

P尸上时，PQ+E。的值最小

过P作产“'_L3C

点P是44的中点，ZACB=90°

PF'\AC

：.CF=BF，=LBC

3

:.CE=CF,=-=\.5

2

\CE=\.5

8.(22-23八年级下•四川泸州•期末)如图，在平面直角坐标系X。/中，矩形ABC。顶点4、C分别在)，轴

和I轴上，已知。