等比数列及前n项和讲义

第第②运用错位相减法求数列的前项和【知识回顾】1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的_______等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫等比数列的______，通常用字母_______表示。其定义式可写为________________________2、通项公式：_______________________________例1：在等比数列中,则（）.A.-4B.4C.-2D.2例2：在等比数列中，，，，则项数为（）A.3B.4C.5 D.6例3：已知数列为等比数列，，，则及的值分别为()A．B.C.D.例4：是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（）①也是等比数列②()也是等比数列③也是等比数列④也是等比数列A．4 B．3 C．2 D．13、等比中项：若，，成等比数列，则叫与的等比中项，即性质：若，则____________；特别的若，则__________例5：已知两个数分别为和，则这两个数的等比中项为（）A．B.C.D.不存在例6：等比数列中，已知，则此数列前17项之积为（）A.B.C.D.例7：已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=（）A．–4B．–6C．–8D．–104、前项和公式（求和时注意考虑公比是否等于1的情况）例8：试求数列···，的前项和。5、等比数列的性质（1）等比数列的通项可以推广为：，公比（2）等比数列中每隔项取出一项，按原来的顺序排成一个新数列，则该数列仍为等比数列，公比为.如······仍成等比，公比为_____________。（3）若数列是两个项数相同的等比数列，则数列和（其中是非零常数）也是等比数列。（4）若数列的项数为，则；若项数为，则【题型分析】题型一、等比数列的判定与证明：定义法：若（为非零常数，）或（为非零常数，且），则是等比数列。（2）等比中项法：若数列中，，，且，则数列是等比数列。（3）通项公式法：若数列的通项公式可写成（均为不为0的常数，），则是等比数列。（4）前项和公式法：若数列的前项和（为常数且不为0，）则是等比数列。思考：若数列的前项和为，数列是等比数列吗？例1：已知数列的前项和.（1）求证：数列是等比数列；（2）求的通项公式.变式训练1：设的前项和为，若，求证：数列是等比数列.变式训练2：设数列的前项和为，已知.设，证明数列是等比数列；求数列的通项公式.题型二、等比数列基本量的运算【提示】在等比数列的通项公式和前项和公式中，一共涉及五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程组求解。在进行等比数列的基本量运算时，要恰当运用等比数列的性质，这样可以简化运算，提高效率。例2、在等比数列中，已知，，求及.例3：已知等比数列中，=8，求及变式训练1：等比数列的前项和为，已知成等差数列。（1）求的公比；(2)若,求。变式训练2：有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数。题型三、等比数列性质的应用例4：等比数列的各项为正数，且，则等于（）A.12B.10C.8D.2+例5：已知数列为等比数列，若，且，则的值是___________.例6：已知等比数列共有项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比=__________.变式训练1：已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则=____________.变式训练2：项数为偶数的等比数列的首项为1，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则此数列的公比=_________,项数=__________.题型四、等比数列的综合问题例7：已知数列中，，，且数列是公差为-1的等差数列，其中.数列是公比为的等比数列，其中，求数列的通项公式及它的前项和.例8：在等比数列中，，公比，且，又的等比中项为2，，数列的前项和为，则当最大时，求的值【拓展提升】已知数列的前项和(,,为非零常数),则数列为()A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列2.若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（）A． B．C．D．不确定3.已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（）A． B． C．D．4.如果，，，，成等比数列，那么（）A．， B．，C．，D．，5.在等比数列中，，，则等于（）A． B． C． D．6、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．7、等比数列中，和是方程的两个根，则的值为（）A． B． C． D．8、在等比数列中，首项，若是递增数列，则公比满足（）A． B． C． D．9、若数列为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（）=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸；=6\*GB2⑹A． B．C． D．10、在等比数列中，若，，则的值为（）A．B．C．或D．不存在11、等比数列中，和是方程的两个根，则=（）A.B．C．D．12.…+128的值是（）A.B.C.D.13.已知是等比数列，，则=（）A.16（）B.6（）C.（）D.（）14、若为等比数列，且，则公比________．15.首项为的等比数列的第项是，第项是，则________．16.已知等比数列中，，则17.数列的前项和记为，（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的各项为正数，其前项和为，且，又成等比数列，求.18.等比数列的前项和为，已知对任意的,点均在函数的图象上.求的值；当时，记，求数列的前项和.19.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数。20.已知数列中